微积分发展简史(二)
微积分发展简史（二）
微积分的创立，由于运算的完整性和应用的广泛性，使其成为研究自然科学的有力工具，被誉为“人类精神的最高胜利”。自18世纪以来，微积分在被广泛应用的同时，也得到了不断发展和完善，内容越来越丰富。
一．广义积分
黎曼积分是在被积函数有界且积分区间为有穷的限制下定义的，但在应用时需要取消这些限制，这就导致了广义积分概念的产生。广义积分包括无穷积分和瑕积分两种。1823年，法国数学家柯西(A.L. Cauchy,1789~1857)在他的《无穷小分析教程概论》中论述了在积分区间的某些值处函数值变为无穷（瑕积分）或积分区间趋于∞时（无穷积分）的反常积分，他还结合物理意义提出积分主值的概念。广义积分的概念后又被推广到含参变量的广义积分。在广义积分和含参变量广义积分的性质以及收敛性研究等方面，柯西、阿贝尔(N.H. Abel, 1802~1829)、狄里克莱(P.G .L Dirichlet, 1805~1859)以及维尔斯特拉斯(K.T.W. Weierstrass, 1815~1897)等数学家做了大量的工作。
二. 多元微积分学
多元函数的微积分学，是微积分学的一个重要组成部分。多元微积分是在一元微积分的基本思想的发展和应用中自然而然地形成的。其基本概念都是在描述和分析物理现象和规律中，与一元微积分的基本概念合为一体而产生的。将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。
偏导数的朴素思想，在微积分学创立的初期，就多次出现在力学研究的著作中，但这一时期，普通的导数与偏导数并没有明显地被区分开，人们只是注意到其物理意义不同。偏导数是在多各自变量的函数中，考虑其中某一个自变量变化的导数。牛顿从x 和y 的多项式0),(=y x f 中导出f 关于x 或y 的偏微商的表达式。雅各布·伯努利(James Bernoulli, 1655~1705)在他关于等周问题的著作中使用了偏导数。尼古拉·伯努利(Nicholas Bernoulli, 1687~1759)在1720年的一篇关于正交轨线的文章中也使用了偏导数，并证明了函数),(y x f 在一定条件下，对x ，y 求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有
x y y x f y x y x f ??????=
),()
,(22 。 偏导数的理论是由欧拉和法国数学家方丹(Alexis Fontaine des
Bertins,1705~1771)、克莱罗(A.C. Clairaut,1713~1765)与达朗贝尔(Jean le Rond D ’Alembert,1717~1783)在早期偏微分方程的研究中建立起来的。欧拉在关于流体力学的一系列文章中给出了偏导数运算法则、复合函数偏导数、偏导数反演和函数行列式等有关运算。1739年，克莱罗在关于地球形状的研究论文中首次提出全微分的概念，建立了现在称为全微分方程的一个方程0=++Rdz Qdy Pdx ，讨论了该方程可积分的条件。达朗贝尔在1743年的著作《动力学》和1747年关于弦振动的研究中，推广了偏导数的演算。不过当时一般都用同一个记号d 表示通常导数与偏导数，现在用的专门的偏导数记号直到19世纪40年代才由雅可比(C.G .J. Jacobi, 1804~1851)在其行列式理论中正式创用并逐渐普及。
重积分的概念，牛顿在他的《原理》中讨论球与球壳作用于质点上的万有引力时就已经涉及到，但他是用几何形式论述的。在18世纪上半叶，牛顿的工作被以分析的形式加以推广。1748年，欧拉用累次积分算出了表示一厚度为c δ的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：
??
++23222)(y x c cdxdy c δ ， 积分区域由椭圆12222
=+b y a x 围成。1769年，欧拉建立了平面有界区域上二
重积分理论，他给除了用累次积分计算而重积分的方法。而拉格朗日(J.L. Lagrange,1736~1813)在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力。为了克服计算中的困难，他转用球坐标，建立了有关的积分变换公式，开始了多重积分变换的研究。与此同时，拉普拉斯(P.S. Laplace, 1749~1827)也使用了球坐标变换。
1828年，俄国数学家奥斯特洛格拉茨基在研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式，现在称为奥斯特洛格茨基—高斯公式（高斯也曾独立地证明过这个公式）。同一年，英国数学家格林(G . Green,1793~1841)在研究位势方程时得到了著名的格林公式。1833年以后，德国数学家雅可比建立了多重积分变量替换的雅可比行列式。与此同时，奥斯特洛格拉茨基不仅得到了二重积分和三重积分的变换公式，而且还把奥—高公式推广到n 维的情形。变量替换中涉及到的曲线积分与曲面积分也是在这一时期得到明确的概念和系统的研究。1854年，英国数学物理学家斯托克斯(G .G. Stokes, 1819~1903)把格林公式推广到三维空间，建立了著名的斯托克斯定理。多元微积分和一元微积分同时随着其理论分析的发展在数学物理的许多领域获得广泛的应用。
三．无穷级数
在数学史上级数出现的很早。古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1(大于零)的几何级数可以求出和数。阿基米德(Archimedes, BC.287~BC.212)也求出了公比为4
1的几何级数的和。14世纪的法国数学家奥雷姆证明了调和级数的和为无穷，并把一些收敛级数和发散级数区别开来。但直到微积分发明的时代，人们才把级数作为独立的概念。
无穷级数是现代微积分的重要组成部分，它从离散的角度来研究函数关系。无穷级数几乎是和微积分同时产生的，由于级数是研究复杂函数性质的有力工具，所以18世纪时，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。实际上，在微积分的初创时期，就为级数理论的建立提供了基本素材。许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的纯形式的结合，得到了一些初等函数的幂级数展开式。如，1669年，牛顿在他的《分析学》中，
给出了x sin ，x cos ，x arcsin ，x arctan 和x e 的级数展开，格雷戈里
(J.Gregory, 1638~1675)得到了x tan ，x sec 等函数的级数，莱布尼茨也在1673年独立地得到了x sin ，x cos 和x arctan 的级数。在微积分早期阶段，研究超越函数时，用它们的级数来处理是所用方法中最富有成效的，在这个时期，级数还被用来计算一些特殊的量，如π和e 以及求隐函数的显式解。
17世纪后期和18世纪，为了适应航海、天文学和地理学的发展，摆在数学家们面前的问题之一是函数表的插值。由于对函数表的精确度要求较高，数学家们开始寻求较好的插值方法，牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式。1721年，泰勒(B. Taylor,1685~1731)在牛顿—格雷戈里公式的基础上，提出了函数展开为无穷级数的一般方法，建立了著名的泰勒定理。18世纪末，拉格朗日在研究泰勒级数时，给出了我们今天所谓的泰勒定理，即
n n h
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)(++++=n h n n n h x f R θ ，10<<θ 现在被称为拉格朗日余项。1742年，马克劳林(C. Maclaurin,1698~1746)给出了泰勒级数在0=x 时的特殊情形，称为马克劳林级数。雅各布·贝努利、欧拉、斯特灵(J. Stirling,1692~1770)等都对级数理论的早期发展做了大量的工作。
18世纪，级数方法的研究取得了很多的成就，这一时期，许多的数学家都把级数看作多项式的代数的推广，级数的收敛和发散问题虽然没有被完全忽视，但也没有引起数学家们的足够重视。由于工作中产生的明显困难，在1810年前后，数学家们开始确切地表述无穷级数。高斯在其《无穷级数的一般研究》（1812年）中，第一个对级数的收敛性作出重要而严密的探讨。
1821年，柯西给出了级数收敛和发散的确切定义，并建立了判别级数收敛的柯西准则以及正项级数收敛的根值判别法和比值判别法，推导出交错级数的莱布尼茨判别法，然后他研究函数项级数，给出了确定收敛区间的方法，并推广到复变函数的情形。
函数项级数的一致收敛性概念最初由斯托克斯和德国数学家赛德尔认识到。1842年，维尔斯特拉斯给出一致收敛概念的确切表述，并建立了逐项积分和微分的条件。狄里克莱在1837年证明了绝对收敛级数的性质，并和黎曼(B. Riemann,1826~1866)分别给出例子，说明条件收敛级数通过重新排序使其和不相同或等于任何已知数。到19世纪末，无穷级数收敛的许多法则都已经建立起来。
傅立叶级数。18世纪中叶以来，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日和克莱罗等人在研究天文学和物理学中的问题时，相继得到了某些函数的三角级数表达式。人们逐渐认识到不仅只是周期函数，非周期函数也可以表示成三角级数的形式，并开始寻求如何把所有类型的函数都表示成三角级数的方法，18世纪末，这个问题已经非常引人注目了。
到了19世纪，法国数学家傅立叶(J. Fourier,1768~1830)在研究热传导问题时，创立了傅立叶级数理论。1807年，傅立叶向法国科学院提交了一篇关于热传导问题的论文，提出了任意周期函数都可以用三角级数表示的想法，成为傅立叶分析的起源。但当时这篇论文并没有被采纳。1822年，傅立叶发表了他的经典著作《热的解析理论》，书中研究的主要问题是吸热或放热物体内部任何点处的温度随时间和空间的变化规律，同时也系统地研究了函数的三角级数表示问题，并断言“任意（实际上有一定条件）函数都可以展成三角级数”，他列举了大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性。他首先认为，如果)(x f 是一个以π2为周期的函数，那么)(x f 可以表示为
∑∞
=++=
12)sin cos ()(0n n n a nx b nx a x f ， 其系数由 ?-=π
ππnxdx x f a n cos )(1， （ ,2,1,0=n ） ?-=π
ππnxdx x f b n sin )(1， （ ,2,1=n ） 确定，这就是我们通常所称的傅立叶级数。
不过傅立叶从没有对“任意”函数可以展成傅立叶级数这一断言给出过任何完全的证明，也没有指明一个函数可以展成三角级数必须满足的条
件。狄里克莱第一个给出函数)(x f 的傅立叶级数收敛于它自身的充分条件。黎曼也对傅立叶级数的研究做出了贡献，他建立了重要的局部性定理，并证明了傅立叶级数的一些性质。德国数学家海涅(E. Heine, 1821~1881)、G ·康托(G. Cantor,1845~1918)以及匈牙利数学家费耶尔(E. Fischer, 1875~1959)等等，许多数学家都为傅立叶级数理论的发展做了大量的工作。
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定积分的发展史.docx
定积分的发展史 起源 定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公 元前 240 年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。 公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的 形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（ 17 世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成， 直到牛顿 -- 莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立 发展起来。 未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16 世纪。此时的卡瓦列利与 他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9×N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。17世纪初巴罗提 供的第一个证明微积分基本定理。 牛顿和莱布尼茨 在一体化的重大进展是在 17 世纪独立发现的牛顿 ?? 和莱布尼茨的微积分 基本定理。定理演示了一个整合和分化之间的连接。这方面，分化比较容易 地结合起来，可以利用来计算积分。特别是微积分基本定理，允许一个要解决 的问题更广泛的类。同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学
框架。由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。 正式积分 定积分概念的理论基础是极限。 人类得到比较明晰的极限概念，花了大约 2000 年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。经过十八、十九世纪 一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有 了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。现代教科书 中有关定积分的定义是由黎曼给出的。 术语和符号 艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。或牛顿用来指示分化和方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。 1675 年戈特弗里德莱布尼茨改编的积分符号，∫，从字母S（“总结”或“总”）。 ∫符号表示的整合 ; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合 ; f是积，x 在区间 [a ，b] 上的变化进行评估;
微积分发展简史
微积分发展简史 一、微积分的创立 微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。 大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。这四个问题是： 1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动， 使瞬时变化率的研究成为必要； 2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等； 3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提 出的求函数的极大值、极小值问题； 4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与 重心等问题。 第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。 1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以
几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。这个比较接近于微积分基本定理。 牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。 牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。1665年5月，牛顿发明“正流数术”（微分法）；1666年5月，发明“饭流数术”（积分法）。1666年10月将此整理成文名为《流数简论》，此文虽未发表，却是历史上第一篇系统的微积分文献。将从古希腊依赖用无穷小的方法来解各种问题的特殊技巧统一为两类算法，正、反流数术，记微分与积分；并指出两者是互逆关系，即是一对矛盾。还应用已简历起来的统一算法，用来求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求面积、求引力与引力中心等16类问题，现实了这中算法的普遍性、系统性以及强大威力。 莱布尼兹于1673年提出特征三角形（ds， dx， dy），认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差
微积分发展史
微积分发展史 摘要：本文将介绍微积分的由来以及发展过程以及他对于人类发展的重大意义。并且在文章中也会对微积分的一些基本内容和理论等进行说明和归纳 关键词：微积分，微分，积分，建立 一、微积分学的建立 微积分在如今的数学领域中占到了非常重要的地位，并且作为 一门学科，微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应 用的数学分支。它的起源可以追溯到其诞生的2000多年前， 比如，古代的人用方砌圆，我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，魏晋时刘徽的“割圆术”等等，都涉及到了以“直”代“曲” 的极限观念，属于微积分的朴素思想，阿基米德更可称为时微 积分学的先驱，他不仅成功地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓 形那样复杂地曲边形地面积中，而且在求积时应用了各种微积 分学地思想。但微积分思想真正形成是在十七世纪，由牛顿总 结和发展了前人的工作，几乎同时建立了微积分的方法和理论 微积分的起源。牛顿是从物理角度建立了微积分的思想，而德 国数学家莱布尼兹从几何角度出发，独立地创立了微积分 （1675-1676）。这两位数学家总结出处理各种有关问题地一般 方法，并揭示出微分学和积分学之间的本质联系。两人各自建
立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及 其符号。这位日后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要 的基础。微积分的创立，极大地推动了数学地发展，过去很多 初等数学束手无策地问题，通过运用微积分，往往引刃而解。 使得微积分学地创立成为数学发展地一个里程碑式的事件。二、微积分建立的重要意义 恩格斯曾经说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世 纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如 果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就 正是在这里。”在微积分建立之前，人类基本还处于农耕文明时 期。但在微积分建立之后它为创立许多新的学科提供了源泉。 可以说微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类智 慧的结晶，它极大地推动了科学地进步，并且对社会也有深远 的影响。有了微积分，就有了工业革命，它是世界近代科学的 开端，同时也摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学， 对社会产生了极大的影响，使人们进入了现代化的社会。这一 切都表面了微积分学的产生是人类历史上的一次空前飞跃。三、微积分理论的基本介绍和归纳 微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出， 求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入 不定积分即得到积分值，微分则是倒数值与自变量增量的乘积。 作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求
微积分概述
微积分概述 一、微积分的来历 早在公元前三世纪，在古希腊就出现了微积分的雏形。阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积等问题中，就隐含了近代积分的思想。到了十七世纪，有许多科学问题亟需解决，第一类是瞬时速度问题；第二类是求任意曲线的切线问题；第三类是最值问题；第四类是求曲线长、曲线所围面积等问题。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决以上问题做了大量的研究工作，例如费马、笛卡尔、巴罗、开普勒、伽利略等等。 十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立研究和完成了微积分的创立工作。他们最大的功绩就是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题，一个是求积问题。 二、微积分的主要内容 众所周知，微积分由微分、积分组成，微分与积分互为逆运算，但是很多学生学完整本微积分，仍然对于微积分没有一个清晰的了解。下面我们通过一个例子来具体地了解微积分的主要问题。 引例：路程函数()()S S t v v t ==与速度函数，我们首先考虑匀速的情况； 上述两个图像表达的都是一个速度恒为1的匀速直线运动。我们可以根据图（1）画出图（2），也可以根据图（2）画出图（1）。这就说明一个运动的路程函数与速度函数有内在的联系。 然后，我们来考虑变速的情况：
请大家根据图（3）得出图（4）并解释运动的具体情况。 通过图（1）画出图（2）以及通过图（3）画出图（4），这个过程就是微分，即由路程函数微分可得速度函数。通过图（2）画出图（1）以及通过图（4）画出图（3）这个过程就是积分，即由速度函数积分可得路程函数。 类似的例子还有很多，通过这个例子，大家应该清楚微积分其实就是事物内部的某种规律。例如，一个运动的路程函数与速度函数的关系；一个物体体积与表面积的关系等。 所以，我们研究微积分其实就是帮助我们更好地了解世界中某些事物内部的规律变化。 三、微积分的应用 微积分在工程学、经济学、天文学、力学等许多领域都有着广泛的应用。实际上，只要有变量的问题，微积分就有其具体的应用。所以我们在大学期间要学习微积分这门课程。通过学习掌握好微积分的基本方法以后，我们在许多自然科学里能找到许多的基础应用。这是我们学习专业知识的基础。 四、微积分的基本构架 函数→极限→微分→应用 ↓ 积分→应用
微积分学习方法
《微积分》学习方法 来源：东财网院 很多同学都会认为，数学是一门比较难学的学科，有那么多的定义、公式、定理，还有图像以及各种曲线等等，总是让人头疼。所以同学们在接触微积分之前，可能就已经对它产生了心理恐惧，甚至是排斥心理。而事实并非如此，之所以会这样是因为你还没有掌握正确的学习方法。 首先，大家应该大致翻一下教科书，或者是看看目录和前言，了解学习这么课程所需具备的基础知识是什么。从第一章的内容中，大家可以了解到，微积分的起点是中学里的函数概念和解析几何。所以，如果以往的知识不牢固，或是没有接触过，那么最好找来中学的教科书复习一下。接下来，大家就接触到了极限，数列的极限以及函数的极限。大家可能会发现，极限的定义很难看懂。那是不是就能以此为借口，停顿在这里呢？当然不能，我们可以先把这个问题放一下，继续向下。实际上，极限的概念是很直观的，理解其思想即可，看不懂定义并不影响下面的学习。 接下来的部分就较为重要了，而且不能跳过。导数的概念其实也很简单，就是一个量关于另一个量的变化率。下面可能牵扯到很多导数的公式和运算技巧，很少有人会马上记住，这也不要紧，可以在平时的练习中慢慢掌握。可能有些同学喜欢解题，喜欢推导和运算，这固然是好事，但不要过度的沉浸在题海中。接触到微分，大家会发现，它和导数没有实质性的区别，只是在表达方式上有所不同，这是需要大家分清楚地。 下一个难点就是积分了。积分的数学定义可能较难理解，那么可以从图形下手，可以充分发挥想象力：为了求得曲线所围的面积，用无数小梯形去无限逼近，这也就是极限的思想。其实积分的本质就是极限。理解它的本质后，运算技巧可以暂放一下，在考试前可以集中解决运算技巧的问题。 对于多数同学来说，微积分的后半部分会更难些。对于无穷级数，同学们还是重在理解思想。多元函数微积分比前面的一元函数稍微复杂了些，但是基本的思路是一样的。最后一个难点，就是关于微分方程了。首先，要理解微分方程的有关概念以及微分方程的解，这样才能对微分方程有所识别。其次，对各种类型的微分方程，都要抓住其特征的本质，领会每一道例题中解题的方法和含义。 在学习数学的过程中，前后的连贯性较为重要，所以要注意知识点之间的衔接。但也不排除个别的情况，比如前文中说到的极限和级数。事实上很多人的亲身经历也证明了，微积分并不可怕，关键看你肯不肯下功夫。相信在大家的努力和老师的帮助下，微积分的难关是可以攻克的。 微 积 分》 的 学 习 方 法 读书好比走路。不知道去那里干什么，走起路来也没 劲儿。读书也是这样，没有目的，读起书来也没兴趣。 走路也得有方法，方法对走起路来才省劲儿。读书也 是这样，方法得当才能收到好效果。学生在校期间， 读书当然应以教科书为主，但是大学生与中小学生不
微积分发展史
微积分发展史 微积分在数学发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等。这个伟大的成就当然首先应该归功于牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)，但是在他们创立微积分之前，微积分问题至少被17世纪十几个大数学家和几十个小数学家探索过，得出了一些有价值的结论，且具有很大启发性。牛顿和莱布尼茨是在前人的基础上将微积分发展到了高峰。 17世纪遇到了哪些问题呢？主要有四类问题。第一类是速度和加速度问题。17世纪遇到的速度和加速度问题大都是变量问题，即变速与变加速。这与17世纪以前所遇到的大量常速问题所不同，如何求速度与加速度成为当时科学家们所关心的问题。第二类是切线问题。17世纪光学是一门重要的学科，例如透镜如何设计，这涉及切线与法线。切线问题在17世纪以前虽也解决过，但只限于圆锥曲线，而切线的定义是只与曲线接触一点的直线，这种情况不能适应17世纪所遇到的复杂的曲线的切线问题，另外物体运动时在它轨迹上的运动方向也涉及切线。第三类是最大值和最小值问题。炮弹的最大射程如何求，行星运行时离开太阳的最远和最近距离如何求，都是17世纪迫切要解决的。第四类是求曲线的长、曲线围成的面积和曲面围成的体积、物体的重心、引力等。这些问题在17世纪之前个别地解决过，但必须有较好的技巧，且方法缺乏一般性。 尝试解决这四类问题在牛顿、莱布尼茨之前已经有过不少经验，罗贝瓦尔(Roberval)从炮弹的水平速度与垂直速度构成矩形的对角线出发，认为这条对角线就是炮弹的轨迹切线。牛顿的老师巴罗(Barrow)，也给出了求切线的方法。17世纪开普勒(Kepler)证明了所有内接于球的，具有正方形底的正平行四面体中立方体的容积最大。当越来越接近最大体积时，相应尺寸的变化对体积的变化越来越小(就是我们现在所说的极值处的导数为0)。费马(Fermat)在1629年已经找到与现在求最大值和最小值的方法实质相同的方法。卡瓦列利(Cavalieri)在他老师伽利略(Galileo)和开普勒的影响下，并在他老师的敦促下，考查了微积分，并且获得n为正整数时的积分公式(1639年) 1634年罗贝瓦尔求出了旋轮线x=R(t-s in t)，y=R(1-c os t)一个拱下的面积。他还求出了正弦曲线一个拱下的面积及它绕底旋转的体积。一些图形的重心也计算出来了。格利哥利(Gregory)在1647年算出了 以上都是一些具体的结果，在原则性的问题上，如微积分的主要特征——积分与微分互逆，也早为人们所遇到。托里拆利(Torricelli)通过特殊的例子看到了变化率问题本质上是面积问题的反问题。费马同样也在特殊的例子中知道了面积与导数的关系。格利哥利1668年证明了切线问题是面积问题的逆问题。巴罗也看到了这种关系，但他们不是没有看到其普遍意义或一般性，就是没引起重视和看到其重要性。17世纪的前三分之二的时间内，微积分的工作被困拢在一些细节问题里，作用不大的细微末节的推理使数学家们精疲力竭了。
数学史答案
一、刘徽在数学上的贡献 刘徽在数学上的贡献，主要在其《九章算术注》一书。《隋书》卷16《律历上》载：“魏陈留王景元四年刘徽注《九章》”。是知《九章算术注》完成于景元四年（263年）。《隋书》卷34《经籍志三》有《九章算术》十卷、《九章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内有关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其中第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。刘徽这两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上也有一定的地位。今述其主要贡献如下： 1.极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获。刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想。刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。这是因为，圆内接正多边形无限多时，其周长极限即为圆周长，面积即为圆面积。他算到正192边形时，求得圆周率为3.14的近似值。他又用几何方法把它化为。后人即将3.14或叫作“徽率”。 2.关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4。很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为“刘徽定理”。 3.十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，刘徽建立了十进分数制。他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也”。
第一章 微积分的发展历史简介
第一章 微积分的发展历史简介 1.1微积分的概念 微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。 基本定义 设函数0)(=x f 在],[b a 上有解，在],[b a 中任意插入若干个分点 n n x x x x x a <<<<<=-1210 把区间],[b a 分成n 个小区间 ].,[],,[],,[12110n n x x x x x x - 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点)(1i i x i x i <<-ζζ，作函数值)(i f ζ与小区间长度的乘积x i f ?)(ζ并作出和如果不论对],[b a 怎样分法，也不论在小区间上的点i ζ怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分记作K 。 微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 一元微分定义 设函数)(x f y =）在某区间内有定义，0x 及x x ?+0在此区间内。如果函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?可表示为 0ox x A y +?=?（其中A 是不依赖于x ?的常数），而x o ?是比x ?高阶的无穷小，那么称函数)(x f 在点0x 是可微的，且x A ?称作函数在点0x 相应于自变量增量x ?的微分，记作dy ，即x A dy ?= 通常把自变量x 的增量x ?称为自变量的微分，记作dx ，即x dx ?=。于是函数)(x f y =的微分又可记作dx x f dy )('=。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。 几何意义 设x ?是曲线)(x f y =上的点M 的在横坐标上的增量，y ?是曲线在点M 对
微积分发展简史
微积分发展简史 参与人员 院系：数学科学学院 专业： 信息与计算科学 年级：2011级 日期：2012年六月一日 目录 学号 姓名 20114500 李海洲 20114502 吴亚锋 20113917 卢任之 20113919 郭 越 20111738 王心影 20114975 哈森其其格
1 中文摘要 (Ⅰ) 2 abstract (Ⅱ) 3微积分简介 (1) 4产生背景 (2) 5 酝酿时期 (3) 6发展历程 (4) （1）牛顿的微积分 (4) （2）莱布尼茨的微积分 (5) （3）柯西与魏尔斯特拉斯的贡献 (6) （4）外国其他科学家的贡献 (7) （5）中国数学家的思想 (8) 7微积分创建的历史意义 (9) 8微积分的应用与新分支的形成 (10) 9参考文献 (11) 中文摘要：
本文以对微积分的发展有突出贡献的一些数学家为切入点，简略的介绍了微积分学的产生背景、发展过程以及其产生的重大历史意义。 关键词： 微积分；发展史；微分；积分；极限；牛顿；莱布尼茨
English Abstract : In this paper, some mathematicians of outstanding contributions to the development of calculus as a starting point, briefly introduced the calculus background, development process and its major historical significance. Key Words : Calculus；History of the development；Differential；Integral；Limit；Newton；Leibniz
关于微积分学习的感受
学习微积分的感想和建议 班级：国际商务一班姓名:沈识宇学号：171400151 对于学习方面,以前我总觉得数学一直处于主心骨的位置,它是我从小的梦想、我的骄傲。可是自从大学以来的第一个学期,微积分却着实让我们倍受打击。成绩的不再拔尖,沉痛的打击了我的自信心。但是,通过和老师交流,与同学讨论,让我明白强中自有强中手, 而自己,并不是笨,只是有些方面自己做的不够,只要深切的去思考自己的学习方法,自己依旧有很大的进步空间。 首先我们觉得大学里的学习课后巩固很重要,光靠一周两次大课的学习,远远不够。并且,课上老师可能会因为进度问题而降得很快,很多时候我们会跟不上老师的速度,这时, 如果课后不再看老师局的例题,课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的，然而课后的巩固应该从两方面着手,一方面是教学大纲上要求必须掌握的内容,这些是 考试必考内容,或许看似很简单的内容,确实解题目的最基本的基础。秋季学期的期末考，正是由于自己对基本知识忽略,在一些很简单的题目丢了分,惨痛的教训给了我们深刻的教 训,夯实基础知识,才能为考试打下良好的基础。 另一方面。是自己认为在内容掌握上的盲点和误区,这些事最容易忘记的,也是熟练度最差的。而考试不会因为这是自己认为的难点就会不考,所以认真钻研这些题目便可为自己在分数上的突破起决定性作用。
同时,复习一定要有耐心,要持之以恒。学习上最大的忌讳便是三天打鱼两天晒网,这 样的学习不会有任何收获。知识既然学习了,我们就要好好消化,不能让它成为太脑中的累赘。周期性的复习才不会使大脑一片空白,一周一次或两周一次,可以根据自己的记忆力而 定,以适合自己的为基准便可以。 复习的时候,第一,便是要克服浮躁的毛病,静心看课本。考试题目几乎都是从课本知识中发散来的,所以,复习中必须要看课本,反复看,细节很重要,特别是不被重视的基本概念和定理。力争课后复习参考题每题都过关。第二,是要制定好复习计划,针对自身情况 分配好时间,各个击破。第三,要理清知识结构网络图,从上学期到现在,我们已经学了极限、连续不连续、导数、定积分、不定积分等知识内容,然后根据知识结构网络图区发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题,对本章节的内容有个清晰的思 路,这样就可以在整体上把我书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握。对于试卷中的问答题,可以从多角度去理解和把握,这样就能做到回答问题的严密性。第四,将课上老师所讲授的典型例题及做题过程中遇到的难题还有易错的题归纳整理,分析。数学中,我们很容易遇到同一个问题有不同方法的解决方法。第五,最好多看看往年真题,针对出现频率较高的题型,适当做些有针对性的模拟试题。对于自己认为薄弱的环节更要加强钻研,与同学和老师多交流,更要勇于舍弃那些偏题、怪题。
微积分的起源与发展
微积分的起源与发展 主要内容： 一、微积分为什么会产生 二、中国古代数学对微积分创立的贡献 三、对微积分理论有重要影响的重要科学家 四、微积分的现代发展 一、微积分为什么会产生 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题： 第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以45°角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
微积分论文
“微积分”课程论文首页
微积分中的导数思想与应用 蔡淑铭 摘要：微积分在天文、力学、数学、化学、生物学、物理学、工程学和社会科学等领域都有什么样重要的作用,微积分的基本原理和思想在我们的日常生活中、学习、工作中也经常用到。一、导数在经济学中的应用导数反映函数的自变量在变化过程中,相应的函数值变化的快慢程度——变化率。如果在函数y- f(x)在某一点x_0处可导的前提下,若函数y-f(x)在某区间内每一点处都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记y=f'(x)为y=f(x) 在该区间内的可导函数(简称导数)。 关键词：流数术、可导、变化 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X 在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的 比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x 0处的导数，记作f'(x )或 df/dx(x )。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 2.导数的历史沿革 2.1起源
学习微积分的心得体会
学习微积分的心得体会 微积分学习心得 学号11120472 姓名吴心怡班级七班学号11120471 姓名吴亚男班级七班时间，如同轨道上疾驰的列车，匆匆行驶，不留一点痕迹的我们的寒假就这样over掉了了。恍惚之间，我们就要开始正式上课了。我们依稀还记得，放假前，老师们说让好好复习，来学校不久便是冬季学期的期末考试了，可是，嘿嘿~~自己却不得不承认有很大一部分的时间是被荒废了的。但早早来学校，我们好好静下心来思考了一下学习的经验和方法。突然有了要好好学习的冲动，可能以前真的是我们对学习不够上心的缘故吧。 对于学习方面，以前我总觉得数学一直处于主心骨的位置，它是我从小的梦想、我的骄傲。可是自从大学以来的第一个学期，微积分却着实让我们倍受打击。成绩的不再拔尖，沉痛的打击了我的自信心。但是，通过和老师交流，与同学讨论，让我明白强中自有强中手，而自己，并不是笨，只是有些方面自己做的不够，只要深切去思考自己的学习方法，自己依旧有很大的进步空间。 首先我们觉得大学里的学习课后巩固很重要，光靠一周两次大课的学习，远远不够。并且，课上老师可能会因为进度问题而降得很快，很多时候我们会跟不上老师的速度，这时，如果课后不再看老师局的
例题，课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的。 然而课后的巩固应该从两方面着手，一方面是教学大纲上要求必须掌握的内容，这些是考试必考内容，或许看似很简单的内容，确实解题目的最基本的基础。秋季学期的期末考正是由于自己对基本知识忽略，在一些很简单的题目丢了分，惨痛的教训给了哦我们深刻的教训，夯实基础知识，才能维纳最重要的考试打下良好的基础。 另一方面。是自己认为在内容掌握上的盲点和误区，这些事最容易忘记的，也是应用熟练程度最差的。而考试不会因为这是自己认为的难点就会不考，所以认真钻研这些题目便可为自己在分数上的突破起决定性作用。 同时，复习一定要有耐心，要持之以恒。学习上最大的忌讳便是三天打鱼两天晒网，这样的学习不会有任何收获。知识既然学习了，我们就要好好消化，不 能让它成为大脑中的脂肪。周期性的复习才不会使大脑一片空白，一周一次或两周一次，可以根据自己的记忆力而定，以适合自己的为基准便可以。
概述定积分的发展及应用
概述定积分的发展与应用 摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用 微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分. 定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段. 1准备阶段 主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用. 2 创立阶段 主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门. 牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来
微积分发展简史
微积分发展简史 微积分是17世纪发现的最具威力的数学工具，是人类思维最珍贵的成果. 正如美国当代数学家柯朗所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗结晶，这种奋斗已经历了两千五百年之久，它深深地扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已.” 恩格斯也对微积分的发现予以高度评价，认为这是“人类精神的最高胜利.” 一、微积分思想萌芽 微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代. 在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏有朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子. 在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子 天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，是我国较早出现的极限思想. 但把极限思想运用于实践解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽. 他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元. 刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次边数加倍，则正多边形面积愈来愈接近圆面积. 正如他说的：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣.”按照这种思想，计算到圆内接正192边形面积，则得圆周率的近似值为3.14. 大约两个世纪后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于“与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一. 其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，在西方称为“卡瓦利原理”，应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题. 欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题. 较为重要的当数安提芬的“穷竭法”. 他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积. 但他的方法却没有被数学家接受. 后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯那里得到补充和完善. 之后，阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题. 他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法. 他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较. 但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的. 平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形. 与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了. 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题. 阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分）
数学史试题及答案
浙江师范大学成教2006学年第2学期 《数学史》考试卷（A）（式样一） 一、单项选择题(每小题2分，共26分) 1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是( B ) A.刘徽 B.祖冲之 C.阿基米德 D.卡瓦列利 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C ) A.秦九韶 B.杨辉 C.朱世杰 D.贾宪 3．就微分学与积分学的起源而言( A ) A.积分学早于微分学 B.微分学早于积分学 C.积分学与微分学同期 D.不确定 4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D ) A.《孙子算经》 B.《墨经》 C.《算数书》 D.《周髀算经》 5．发现著名公式e iθ=cosθ+i sinθ的是( D )。 A.笛卡尔 B.牛顿 C.莱布尼茨 D.欧拉 6．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。 A.两汉时期 B.隋唐时期 C.魏晋南北朝时期 D.宋元时期 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )。 A.莱布尼茨 B.约翰·伯努利 C.雅各布·伯努利 D.欧拉 8．1834年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B )。 A.高斯 B.波尔查诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 9．古埃及的数学知识常常记载在（A）。 A.纸草书上 B.竹片上 C.木板上 D.泥板上
10．大数学家欧拉出生于（A ） A.瑞士 B.奥地利 C.德国 D.法国 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。 A.塔塔利亚 B.卡当 C.费罗 D.费拉利 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（D）。 A.比例术 B.面积术 C.体积术 D.开方术 13．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。 A.美索不达米亚 B.埃及 C.阿拉伯 D.印度 二、填空题(每空1分，共28分) 14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、____完备性_______、____独立性_______。 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为____杨辉____三角，而数学史学者常常称它为_____贾宪___三角。 17．欧几里得《几何原本》全书共分13卷，包括有____5____条公理、____5____条公设。 18．两千年来有关欧几里得几何原本第五公设的争议，导致了非欧几何的诞生。 19.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用__几何____方法对这一解法给出了证明。 20．在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的微分三角形方法以及瓦里士的曲线弧长的计算等。 ε-语言的数学家是维尔斯特拉斯。 21．创造并最先使用δ 22．数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间，1882年德国数学家林德曼证明了数π的超越性。 23．罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点，至少有两条直
微积分的历史发展顺序与理论发展顺序的区别
微积分的理论展开顺序与历史展开顺序的联系与区别 在本学期，我们学习了数学史，这门课让我对我们所学的数学知识有了更深度认识。尤其在微分学的知识上，我知道了微积分的理论展开顺序与历史展开顺序是有联系与区别的。对此，我将浅谈一下我的认识。 一、微积分的历史展开顺序 1.微积分的创立 解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代。我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。 在古代，刘徽撰写的《九章算术·商功》中提到：“斜解立方，得两壍堵。斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。”他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出"幂势既同则积不容异"，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。卡瓦列利运用祖暅原理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，是现行中学立体几何教材求几何体积的基本雏形。 在现代，1638年伽利略《关于两门新科学的对话》中，他建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45°时达到，等待。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》论述了圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。他的方法要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲变形的面积及旋转体的体积。解析几何的创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”，本质上是一种代数方法。就在同一年，费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数方法。1666年10月，牛顿著作了《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。但是《流数简论》在许多方面是不成熟的，牛顿经过研究后加以改正，最后牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出现的力学著作《自然哲学的数学原理》。 2．微积分的发展 微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。 在从17世纪到18世纪的过渡时期，雅各布伯努利和约翰伯努利推广了莱布尼茨的学说。18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的，他在1748年出版的《无限小分析引论》以及他随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的