四川省眉山一中办学共同体2019届高三数学上学期期中试题文

四川省眉山一中办学共同体2019届高三数学上学期期中试题 文

第I 卷（选择题）

一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案）

1. 集合2

{230}M x x x =--≥，{13}N x x =≤≤，则R C M N = ( )

A. {10}x x -<≤

B. {03}x x <<

C. {13}x x ≤<

D. {03}x x <≤

2.复数5112i z i

=--

+（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.已知命题:p x R ?∈,都有210x x ++>，命题:q x R ?∈,使得sin cos 2x x +=，则下列命题中是真命题的是 （ ） A. p 且q

B. p 或q

C. p ?或q

D. p ?且q ?

4. 已知2tan =θ，则=+θθθ2cos cos sin ( )

A ．

51 B ．52 C. 53 D ．5

5 5. 设1

3

12a ??=

???,12

13b ??= ???

,

1ln 3c =，则 ( ) A. c a b << B. b a c << C. a b c << D. c b a <<

6. 如图所示，已知3=，OA a = ，OB b = ，OC c =

，则下列等式中成立的是（ ）

A. 3122c b a =-

B ．2c b a =-

C ．2c a b =-

D ．3122

c a b =-

7. 有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．3

4

8. 设n S 为等比数列{n a }的前n 项和，47270a a +=，则4

2

S S ＝（ ）

A ．10

B ．9

C ．－8

D ．－

5

9. 曲线()2x f x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）

A ．210x y --=

B ．10x y -+=

C ．0x y -=

D ．10x y --= 10. 正方体1111D C B A ABCD -中，已知点

E 、

F 分别为棱AB 与BC 的中点，则直线EF 与 直线1BC 所成的角为（ ）

A ．30° B．45° C．60° D．90°

11. 已知抛物线()2

:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点()2,M m 满足6MF =，则

抛物线C 的方程为（ ）

A ．22y x =

B ． 24y x = C. 28y x = D ．216y x = 12. 函数()sin()f x A x ω?=+(,,A ω?是常数，0,0,2

A π

ω?>>≤)的部分图像如图所示，

若方程()f x a =在[,]42

ππ

-

上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A.?

???

?

??2,22 B.???

????2,22

—

C. ???

???

?226

，— D. ???

?

?

??226，

第II 卷（非选择题）

二、填空题（共20分，每小题5分）

13. 已知向量)3,2(=a ，)2,1(-=b ，

若 b n a m +与 b a

2-共线，则 n

m 等于___________. 14. 已知函数223,(2)

()1,(2)

x x x f x x x ?--≤=?-+>?，若()()gx

f x b =-恰有一个零点，则实数b 的取值范围是________. 15. 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

2cos 2c B a b =+，若ABC ?

的面积S =，则ab 的最

小值为____________．

16. 设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则

)2cos 1)(102

0x x ++（=____________. 三、解答题（共70分）（17-21为必做题，22、23为选做题）

17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足25a =，

613a =.

（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）令

1

n n

b S =

，求数列{}n b 的前n 项和. 18. （本小题满分12分）已知函数

()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=?-+,[0,]2

x

∈，

（1）求()6

f π

； （2）求()f x 的最大值与最小值.

19. （本小题满分12分）如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：

（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；

（2）根据（1）的判断结果，建立y 与x 之间的回归方程，并预测当24x =时，对应的利

润?y

为多少（???,,b a y 精确到0.1）.附参考公式：回归方程中???y bx a =+中?b 和?a 最小二乘估计分别为1

2

2

1

?n

i i

i n

i

i x y

nx y b x

nx ==-=

-∑∑,??a

y bx =-，相关系数n

i i x y

nx y

r -=

∑

参考数据：

8

8

2

1

1

241,6i i

i i i x y

x =====∑∑．

20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P -ABC 中，

4,AB BC PA PB PC AC O ======为AC 的中点.

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，

求点C 到平面POM 的距离.

21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x =-+. （1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()a

g x x x

=+有相同的极值点 ① 求实数a 的值； ② 若对121,[,3]x x e

?∈，不等式

12()()

11

f x

g x k -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.

选考题：

共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）.

（1）若1a =-，求C 与l 交点的直角坐标； （2）若C 上的点到l 求a .

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()12f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；

（2）若不等式2

()f x x x m ≥-+的解集非空，求实数m 的取值范围.

高2019届第五期半期考试数学（文）答案

一、选择题

1-6：C C B C D A 7-12：A A D C D B 二、填空题 13. 2

1

-

14. )1[)4,(∞+---∞， 15. 48 16. 2 三、解答题 17. 解：（1）由 115

513

a d a d +=??

+=?得：13,2a d ==

所以21n a n =+， 21()

22

n n n a a S n n +=

=+ 11111()(2)22

n n b S n n n n =

==-++ 记{}n b 的前n 项和为n T ，则1111111111(1)232435112

n T n n n n =

-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++31142224n n =--++

18. 解：（1）,23)6

cos(=

-

π

，1

sin 62π=所以,3)2

323(212)6(=+?=πf

（2）()2sin cos cos 3f x x x x π????=?-+ ??????

?12sin cos cos 2x x x x ????=?+?? ? ???????

)3sin 21cos 22x x =

-26x π??=- ??

?. 因为02x π?

?∈???

?，，所以52666x πππ??-∈-????，.

又因为sin y z =在区间62ππ??-????，上是递增，在区间52

6ππ??

????，上递减.

所以，当26

2

x π

π

-=

，即3

x π

=

时，()f x

； 当26

6

x π

π

-=-

，即0x =时，()f x 有最小值0.

19. 解：（1）由题意得6,4x y ==． ··························· 2分

又

88

2

1

1

241,6i i i

i i x y x ====≈=∑∑，

所以

8

8241864

0.990.818.256

i i x y

x y

r --??=

≈

≈>?∑， ············

5分 所以y 与x 之间具有线性相关关系. ··························· 6分

因为8

1

8

2

22

1

8241864

?0.7356868i i

i i

i x y

x y

b

x

x ==--??==≈-?-∑∑， ····················· 8分

（2）因为??40.760.2a

y bx =-≈-?=-， ······················ 10分 所以回归直线方程为?0.70.2y

x =-， 当24x =时，?0.70.20.7240.216.6y x =-=?-=，即利润约为166万元. （12分）

20. 解：（1）因为4,O PA PC AC ===为AC 的中点，所以

PO AC ⊥，

且

OP =OB ，因为2

AB BC AC ==

，所以ABC ?为等腰直角三角形，且1

,22

OB AC OB AC ⊥=

=，由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥，

由,OP OB OP AC ⊥⊥，知OP ⊥平面ABC ； （2）作CH OM ⊥，垂足为H ，

又由（1）可得OP CH ⊥，所以CH ⊥平面POM ， 故CH 的长为点C

到平面POM 的距离． 由题设可知

0122,45233

OC AC CM BC ACB =

==

=∠=，

所以sin OC MC ACB OM CH OM ∠=

==

C 到平面POM

的距离为．

21.解：（1）由已知可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 2

'

222()2x f x x x x

-=-=，令

'

()0f x >，即

2

220x x

->，解得01x <<；令'()0f x <，得1x >。所以函数在(0,1)

单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以max ()(1)1f x f ==-，故函数()f x 的最大值为

1-。 ......3分

（2）①因为函数()f x 与()g x 有相同极值点，'

2()1a

g x x

=-

，所以'(1)0g =，所以1a =。 ......4分

②由（1）可知max ()(1)1f x f ==-。 ......7分

由①可知，1()g x x x =+

，'

21()1g x x =-，在1[,1)e 上单调递减，在[1,3]上单调递增，所以min ()(1)2g x g ==。211

()2f e e

=--，(3)2ln 39f =-，所以min ()2ln39f x =-，

11()g e e e =+，10(3)3g =，所以max 10

()3

g x =。 ......9分 对于121

,[,3]x x e ?∈，不等式

12()()11

f x

g x k -≤-恒成立，则1k ≠。 当1k >时，12()()1f x g x k -≤-恒成立，所以1max 2min ()()1f x g x k -≤-，所以

121k --≤-，即2k ≥-，所以此时实数k 的取值范围为1k >。

当1k <时，12()()1f x g x k -≥-恒成立，所以1min 2max ()()1f x g x k -≥-，所以

102ln 3913k --

≥-，解得34

2ln 33k ≤-，所以此时实数k 的取值范围是34

2ln 33

k ≤-。 ......11分

综上，实数k 的取值范围为34

(,2ln 3](1,)3-∞-+∞ 。 ......12分

22.解 ：（1）曲线C 的普通方程为2

219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.

由22

430

19x y x y +-=???+=?

?解得30x y =??=?或2125

2425x y ?=-????=??

.

从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525

-

. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为

d =

当4a ≥-时，d

=8a =；

当4a <-时，d

=16a =-. 综上，8a =或16a =-.

23. 解：（1）①当1x ≤-时，()(1)(2)31f x x x =-++-=-≤无解；

②当12x -<<时，()1(2)21f x x x x =++-=-，由112≥-x ，可得1≥x ，∴12x << ③当2x ≥时，3)2(1)(=--+=x x x f ， 13>，∴2≥x . 综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.

（2）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥， 成立，即 2

max [()]f x x x m -+≥，

当2x ≥时，2()3g x x x =-++，

其开口向下，对称轴为12

x =

， ∴()(2)4231g x g ≤=-++=， 综上 max 5()4

g x =

， ∴m 的取值范围为 5(,

]4

-∞.