特殊的平行四边形复习讲义

沃根金榜一对一学科教师辅导讲义

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______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备 ]

课前检查：

作业完成情况：优（）良（）中（）差（）

复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ]

特殊的平行四边形讲义

考试考点综述：

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形

是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，

使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：

1.矩形、菱形性质及判定的应用

2. 相关知识的综合应用

教学过程

知识点归纳

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角；

性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

矩形的判定

矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．

矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补

例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，?H，

求证：?四边形EFGH是矩形．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交

AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分

例3、如图，在 ABCD

别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、

BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。求证：AM=BE 。

例6、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；

（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围

.

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称

正方形的判定方法：

? (1)有一个角是直角的菱形是正方形； ? (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

A

B

C

D

E

F

O

1

2

B

M A

D

C

E

?注意：1、正方形概念的三个要点：

?（1）是平行四边形；

?（2）有一个角是直角；

?（3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB

上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E 在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.

①求出y关于x的关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

实战演练：

1.对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形 C ．矩形、正方形 D ．菱形、正方形

2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形

3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形

C ．当∠ABC=900时，它是矩形

D ．当AC=BD 时，它是正方形

4.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．

的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形

B ．如果90BA

C ∠=，那么四边形AEDF 是矩形

C ．如果A

D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形

D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形

5.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A

．

B

． C

．

D ．8

6.如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm

7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点）， 若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为

8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，已知120 2.5AOD AB ∠==，，则AC 的长为 ．

D B

A Ａ

Ｆ Ｃ Ｄ

Ｂ Ｅ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ

Ａ

A D

A

B

C

D

A

B

C D

9.边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是.

10.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC BD

，相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）．

11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是．

12.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB CD

，的延长线分别交于E F

，．

（1）求证：BOE DOF

△≌△；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A E C F

，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

应用探究：

1.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，若

22.5

DBC

∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）

A．6个B．5个C．4个D．3个

2.如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）

A．

3

10

B．

1

3

C．

2

5

D．

4

9

A D

C

B

O

B C

D

A

P

F

D

O

C

B

E

A

第12题图

B

C'

22.5

C

B

M

3.已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______2

.cm

5.如图，将矩形纸ABCD

的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，

若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.

6.如图：矩形纸片ABCD ，AB =2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．

本次课作业： 家长签字： 1、 预习：

2、 写： 教学主管签字：

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A

B C

P

D

E

B

A C

1

2

B A

D

C B

A

C

1 2

D 1

2

B

A

D C

B F C

D

E G