浦东新区2012学年度第一学期期末数学测试

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷（理科） 2013.1

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．若集合},0{m A =，}2,0{=B ，}2,1,0{=B A ，则实数=m 1 . 2．已知二元一次方程组???=+=+2

22111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是???

?

??-31

1

111

，则此方程组的解是 2

1x y =??=?

. 3．函数)2(log 2-=

x y 的定义域为 ),3[+∞ .

4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为 116

.

5．函数1y =+

0≥x ）的反函数是 2

(1)y x =-（1≥x ） .

6．函数()2sin sin 44f x x x π

π????

=-+

? ?????

的最小正周期为 π . 7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项和13S = 52 . 8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，

则lim n n S →∞

的值为

3

16 .

9．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π 2

cm .

10．二项式

n

x ?

+ ?

的展开式前三项系数成等差数列，则n = 8 .

11．已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击

相互独立，

那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为 0.98

. 12．已知向量a 与向量b ，2a = ，3b = ，a 、b

的夹角为60?

，当12,02m n ≤≤≤≤时，

m a n b +

的最大值为

13．动点P 在边长为1的正方体1111A B C D A B C D -的对角线1B D 上从B 向1D 移动，点P 作垂直于

面11BB D D 的直线与正方体表面交于,M N ，,BP x MN y ==，

则函数

()

y f x =的解析式为

,0,32,,32x x y x x ??∈?????

=?

??

∈ ? ???

或

|3

622|2x -

-]3,0[∈x 给分.

14．1,2,,n 共有!n 种排列12,,,n a a a （2,n n N *≥∈），其中满足“对所有1,2,,k n = 都有2k a k ≥-”的不同排列有 223n -? 种.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“cos cos a A b B = ”的 （ A ）

()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件 16．已知函数2

41)(+=x

x f ，若函数1()4

y f x m =+-

为奇函数，则实数m 为 （ C ）

()A 12

-

()B 0 ()C 12

()D 1

17． 若1x ，2x ，3,x ，2013x 的方差为3，则13(2)x -，23(2)x -，33(2),x - ，

20133(2)x -的

方差为 （ D ）

()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 27

18．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)O N O A O B λλ=+-

，

(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈. 若不等式M N k ≤恒成立，

则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近

A B c 1

B

C

似阀值．

下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ D ） ()A 2y x = ()B 2y x

= ()C s i n 3

y x π= ()D 1

y x x

=-

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ?∠=. （1）求点A 到平面1A BC 的距离； （2）求二面角1A A C B --的大小.

解：（1）2,45,90AB AC ABC BAC ??==∠=∴∠= ，

1

43

A A B

C V -∴=

.

111A BC A B BC A C S ?===∴= …3分

设点A

到平面距离为h ，由

111,3

3

A BC A ABC h S V h ?-?=

∴=

.∴点A 到平面距离为

3

. ……6分

（2）设1A C 的中点为M ，连结,BM AM .

1111,,,BA BC AA AC BM A C AM A C ==∴⊥⊥ .

AM B ∴∠是二面角1

A A C

B -

-的平面角.………………………8分

tan arctan AM B AM B ∠=∴∠=

∴二面角1A A C B --的大小为arctan

.………………………………12分

20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形A M P N 健身场地，如图点M 在A C 上，点N 在A B 上，且P 点在斜边B C 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x . （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形A M P N 健身场地每平方米的造价为S

k 37，再把矩形A M P N 以外（阴影部分）铺

上草坪， 每平方米的造价为

S

k 12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =；

试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）. 解：（1）在PMC Rt ?中，显然x MC -=30||，

60=∠PCM ，

∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=

∠?=，………………2分

矩形A M P N 的面积)30(3||||x x MC PM S -=?=，[10,20]x ∈…4分

于是3225

3200

≤≤S 为所求.……………………………6分

（2） 矩形A M P N 健身场地造价=1T S k 37 ……………………7分 又ABC ?的面积为3450

，即草坪造价=

2T )3450(12S S

k -，……………8分

N

由总造价21T T T +=，∴)3

216

(25S

S k T +

=，32253200≤≤S .…10分

36123

216

≥+S S ，……………………………………………………11分

当且仅当S

S 3

216

=

即3216=S 时等号成立，……………………………12分

此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，

所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分

21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知复数122sin ,1(2cos )z z i θθ=-=+，[,]3

2

ππ

θ∈.

（1）若12z z ?为实数，求角θ的值；

（2）若复数12,z z 对应的向量分别是,a b

，存在θ使等式()()0a b a b λλ→→→→+?+=成立，

求实数λ的取值范围.

解：

（1）

[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-

=?(2sin )(2sin 2i R θθθ=++-

∈，……2分

2

32sin =∴θ，……………………………………………………………………4分

又

πθπ≤≤23

2，πθ3

22=∴，即3

π

θ=

.……………………………………6分

（2）22

8a b += ，………………………………………………………………………8分

2sin a b θθ?=-

，………………………………………………………10分

)()(→

→

→

→

+?+b a b a λλ0)1()(2

2

2=?+++=→

→→→b a b a λλ.

得0)cos 32sin 2)(1(82

=-++θθλλ，整理得

)3

sin(122

π

θλ

λ-

-=+.……12分

因为]6

,

0[3

π

π

θ∈-

，所以]21,0[)3sin(∈-

π

θ. 只要012212≤+≤-λ

λ即可，………………13分 解得32-

-≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分

22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立， 那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．

（1）设12-=n a n ，n

n q b =（01<<-q ），*∈N n ，判断数列}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动

数列”，

并说明理由；

（2）已知“-p 摆动数列”}{n c 满足1

11+=

+n n c c ，11=c ，求常数p 的值；

（3）设(1)(21)n n d n =-

?-

，且数列}{n d 的前n 项和为n S ，求证：数列}{n S 是“-p 摆动数列”，

并求出常数p 的取值范围.

解：（1）假设数列}{n a 是“-p 摆动数列”，

即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，

不妨取1=n 时则31<

由n n q b =，于是01

21<=++n n n q

b b 对任意n 成立，其中0=p . 所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”. ………………………………………………4分

（2）由数列}{n c 为“-p 摆动数列”， 11=c 2

12=?c ，

即存在常数

12

1<

即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，………………6分 所以p c p c p c n >??>>?>-1231 .……………………………………7分 同理p c p c p c n

所以122-<

1--<+n n c c ，解得2

1512->

-n c 即215-≤p .…9分

同理

n n c c 221

1>+，解得2

152-<

n c ；即2

15-≥

p . 综上2

15-=p .……………11分

（3）证明：由)12()1(-?-=n d n

n n S n n ?-=?)1(，…………………………………13分

显然存在0=p ，使对任意正整数n ，总有0)1()

1(1

21<+?-=++n n S S n n n 成立， 所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”； …………………………………………………14分 当n 为奇数时n S n -=递减，所以11-=≤S S n ，只要1->p 即可 当n 为偶数时n S n =递增，22=≥S S n ，只要2

综上21<<-p ，p 的取值范围是)2,1(-.………………………………………16分 （取)2,1(-中的任意一个值，并给予证明均给分） 如取2

1=

p 时，]2

1)1()

1][(2

1)1[()21)(21(1

1-+---=--

++n n S S n n

n n

41

)1(2

1)1(4

1)1(2

1

)1()

1(1

2+

-+

+-=+

-++?-=+n

n

n n n n n . 因为4

34

1)1(214

1≤

+

-≤

-

n

，2)1(-≤+-n n ，存在2

1

=

p ，使0)2

1)(21(1<-

-

+n n S S 成立.

所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”.

23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分） 设函数12,02

()12(1),12

x x T x x x ?

≤

（1）求函数??

? ?

?

=)2sin(

x T y π

和???

??=)(2sin x T y π的解析式； （2）是否存在非负实数a ，使得()()a T x T a x =恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；

（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x = ()n N *∈ ① 当10,

2n

x ?

?

∈????

时，求()n y T x =的解析式； 已知下面正确的命题：当11,2

2n n i i x -+??∈????(121)n

i N i *∈≤≤-，时，都有-1()()2n n n i T x T x =-恒成立.

② 对于给定的正整数m ，若方程()m T x k x =恰有2m 个不同的实数根，确定k 的取值范围； 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ()12m n ≤≤，求数列{}n x 所有2m 项的和.

解：（1）函数152sin 44+4+4+2233sin()21522sin 4+4+233x x k k k k k Z y T x x x k k k Z πππ???????∈∈ ?? ????

????????==????????

??-∈∈ ????????? ，，，

函数()()

()[]1sin

20,2

2sin ()=sin 0,121sin 2-2,12

2x x y T x x x x x ππππ?

??

∈?

???

????==∈?

??????

∈??

???

?

……4分

（2）12,02()12(1),12ax x y aT x a x x ?≤

()12(1),12ax ax y T ax ax ax ?

≤

当0a =时，则有(())()0a T x T ax ==恒成立.

当0a >时，当且仅当1=a 时有(())()()a T x T ax T x ==恒成立.

综上可知当0a =或1a =时，(())()a T x T ax =恒成立；………………………8分

（3）① 当10,

2n x ??∈???

?

时，对于任意的正整数11j N i n *

∈≤≤-，，都有1022j x ≤≤ 故有2

1

12()(2)(2)(2)(2)2j

n n

n n n n j y T x T x T x T x T x x ----======== …13分

② 由①可知当10,

2n x ?

?∈????

时，有()2n

n T x x =，根据命题的结论可得， 当1202,,2222n n n n x ????∈?????????时，有110102,,22222n n n n n x -????

-∈?????????

，

故有1

1

11()(

)=2(

)222

2

n

n

n n n n T x T x x x --=--=-+.

因此同理归纳得到，当1,

22n

n i i x +??∈?

???

(021)n

i N i ∈≤≤-，时， 21

1

()(1)(2)=2221n

i

n

n n

x i i T x x i x i i ?-?=---+?

-++??，

是偶数，是奇数

……………………15分 对于给定的正整数m ，1,

2

2m

m i i x +??∈?

?

??

(021)m

i N i ∈≤≤-，时，

解方程()m T x kx =得，()1

21(1)2

(1)2i

m i

i x k

++--=

--，

要使方程()m T x kx =在[]0,1x ∈上恰有2m 个不同的实数根，

对于任意021m

i N i ∈≤≤-，，必须

()1

21(1)12

2

(1)22

i

m

m i

m

i i i k

++--+<

<

--恒成立，

解得2

(0,

)21

m

m

k ∈-, 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ，

由此可得()1

21(1)2

(1)2n

n m n

n x k

+-+-=

+- ()12m

n N i *∈≤≤，.……………………17分

故数列{}n x 所有2m 项的和为：

12212m m S x x x x -=+++

024(22)

2462

22m

m

m

m

k

k

++++-++++=

+

-+ 1

2

2

(42)

4m m

m

k k

--=

-.……18分