2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第三章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin α
cos α．
简记口诀：把角统一表示为k π
2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．
[做一做]
1．tan 330°＝( ) A.3 B ．－ 3 C.33
D ．－
33
答案：D
2．若cos α＝1
3，α∈????－π2，0，则tan α等于( )
A ．－
24
B.24
C ．－2 2
D ．2 2
答案：C
1．辨明两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α
cos α
化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π
4＝….
[做一做]
3．cos ????
－20π3＝( )
A.1
2 B.32
C ．－12
D ．－
32
答案：C
4．若sin θ2cos θ＝1
2，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )
A ．－2
B ．2
C ．±2
D.1
2 解析：选B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1
cos θsin θ＝2.
,[学生用书P 57～P 58])
考点一__利用诱导公式化简三角函数式________
(1)sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin (－1 050°)＝________．
(2)设f (α)＝
2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）
1＋sin 2α＋cos
????3π2＋α－sin 2???
?π2＋α(1＋2sin α≠0)，则
f ?
???－23π6＝________．
[解析] (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1050°
＝－sin(33360°＋120°)cos(33360°＋210°)－cos(23360°＋300°)·sin(23360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos (360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝
32332＋1231
2
＝1. (2)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α
1＋sin 2α＋sin α－cos 2α
＝
2sin αcos α＋cos α2sin 2
α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1
tan α
， ∴f ?
???－23π6＝
1tan
????－23π6＝1
tan ???
?－4π＋π6
＝
1
tan π6
＝ 3. [答案] (1)1 (2) 3
[规律方法] 利用诱导公式化简三角函数式的原则
遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．
1.(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)·sin(－261°)＋tan(－1
089°)tan(－540°)＝________．
(2)化简：tan （π＋α）cos （2π＋α）sin ?
???α－3π
2cos （－α－3π）sin （－3π－α）
＝________．
解析：(1)原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＋tan 1 089°tan 540° ＝－sin(33360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)sin(270°－9°)＋tan(33360°＋9°)tan(360°＋180°)
＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°tan 180°＝0＋0＝0.
(2)原式＝tan αcos αsin ????－2π＋?
???α＋π
2cos （3π＋α）[－sin （3π＋α）]
＝tan αcos αsin ????π
2＋α（－cos α）sin α＝tan αcos αcos α（－cos α）sin α
＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.
答案：(1)0 (2)－1
考点二__利用诱导公式求值____________________
(1)已知sin ????π3－α＝1
2，则cos ????π6＋α＝________；
(2)已知tan ????π6－α＝3
3，则tan ????56π＋α＝________． [解析] (1)∵????π3－α＋????π
6＋α＝π2，
∴cos ????π6＋α＝cos ????π2－????π
3－α
＝sin ????π3－α＝12
. (2)∵??
??π6－α＋????
5π6＋α＝π，
∴tan ????56π＋α＝－tan ????π－????5
6π＋α ＝－tan ????π6－α＝－3
3.
[答案] (1)12 (2)－3
3
[规律方法] 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；
π
3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π
4
－θ等．
2.(1)已知sin ??
??7π12＋α＝2
3，则cos ?
???α－
11π12＝________． (2)若tan(π＋α)＝－1
2，则tan(3π－α)＝________．
解析：(1)cos ????α－11π12＝cos ????
11π12－α ＝cos ????π－????π12＋α＝－cos ????π
12＋α，
而sin ??
??7π12＋α＝sin ???
?π2＋????π
12＋α
＝cos ????π12＋α＝23，
所以cos ????α－11π12＝－2
3.
(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－1
2，
所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝1
2.
答案：(1)－23 (2)1
2
考点三__同角三角函数基本关系式(高频考点)____
同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：
(1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．
(1)(2015·辽宁省五校高三联考)已知cos ??
??π2＋α＝3
5，
且α∈????π2
，3π2，则tan α＝( )
A.4
3 B.3
4 C ．－34
D ．±34
(2)已知tan α＝2，求下列各式的值： ①
2sin α－3cos α
4sin α－9cos α
；
②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.
[解析] (1)因为cos ????π2＋α＝35，所以sin α＝－3
5，显然α在第三象限，所以cos α＝
－45，故tan α＝3
4
. [答案] B
(2)解：①原式＝2tan α－34tan α－9＝232－3432－9＝－1.
②∵sin 2α＋cos 2α＝1，
∴4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α
＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1
＝
434－332－5
4＋1
＝1.
[规律方法] 同角三角函数关系式及变形公式的应用：
(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α
cos α＝tan α可以
实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3.(1)已知α是第二象限的角，tan α＝－1
2
，则cos α＝________．
(2)已知sin α＋3cos α
3cos α－sin α
＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________．
(3)(2015·浙江杭州模拟)若θ∈????π4，π2，sin 2θ＝1
16，则cos θ－sin θ的值是
________．
解析：(1)因为α是第二象限的角，所以cos α<0.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α
＝－12，所以cos α＝－25
5.
(2)依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.
∴sin 2
α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos α
sin 2α＋cos 2α
＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.
(3)(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝1516.
∵π4＜θ＜π
2
，∴cos θ＜sin θ. ∴cos θ－sin θ＝－（cos θ－sin θ）2＝－15
4
. 答案：(1)－255 (2)25 (3)－154
,[学生用书P 58])
方法思想——方程思想在三角函数求值中的应用
已知sin θ＋cos θ＝7
13
，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．
[解析] 法一：因为sin θ＋cos θ＝7
13，θ∈(0，π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49
169，
所以sin θcos θ＝－60
169
.
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60
169＝0的两根，
所以x 1＝1213，x 2＝－5
13
.
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－5
13.
所以tan θ＝sin θcos θ
＝－12
5.
法二：同法一，得sin θcos θ＝－60
169，
所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2
θ＝－60169， 弦化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60
169，
即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－5
12.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝7
13>0，
sin θcos θ＝－60
169
<0.
所以θ∈????π2，3π4，所以tan θ＝－12
5.
[答案] －12
5
[名师点评] 本题利用方程思想，所谓方程思想就是把所研究问题转化为方程式(组)求出未知数及各量的值．
法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．
法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．
(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝1
2
，则sin θ
＋cos θ＝________.
解析：∵tan(θ＋π4)＝1
2，
∴1＋tan θ1－tan θ＝12
，解得tan θ＝－1
3.
∴(sin θ＋cos θ)2
＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ
sin 2θ＋cos 2θ
＝tan 2
θ＋2tan θ＋1tan 2
θ＋1
＝19－2
3＋1
19
＋1＝25.
∵θ为第二象限角，tan θ＝－1
3，
∴2k π＋3π
4<θ<2k π＋π，
∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－105
. 答案：－105
1．若α∈????－π2，π2，sin α＝－3
5，则cos(－α)＝( )
A ．－4
5
B.45
C.35
D ．－35
解析：选B.因为α∈????－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝4
5.
2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π
2
，则θ等于( ) A ．－π
6
B ．－π3
C.π6
D.π3
解析：选D.∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<
π2，∴θ＝π3
. 3．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－1
5，则m ＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．－4
解析：选D.由题意得sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9，所以m m 2＋9＋3m 2＋9
＝－1
5，
即
m ＋3
m 2＋9
＝－1
5，解得m ＝－4.
4．(2015·成都外国语学校月考)已知tan ()α－π＝3
4，且α∈????π2，3π2，则sin ????α＋π2＝( )
A.45 B ．－45
C.35
D ．－35
解析：选B.tan(α－π)＝34?tan α＝3
4.
又因为α∈????π2
，3π
2，
所以α为第三象限的角，sin ?
???α＋π2＝cos α＝－4
5.
5．已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）cos （－π－α）tan α，则f ????－31
3π的值为( ) A.1
2 B ．－13
C ．－12
D.13
解析：选C.∵f (α)＝sin αcos α
－cos αtan α＝－cos α，
∴f ????－313π＝－cos ????－313π＝－cos ????10π＋π3 ＝－cos
π3＝－1
2
. 6．(2015·浙江宁波模拟)如果sin α＝1
5，且α为第二象限的角，则sin ????3π2＋α＝
________．
解析：∵sin α＝1
5，且α为第二象限的角，
∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265
，
∴sin ??
?
?3π2＋α＝－cos α＝26
5. 答案：265
7．化简sin ????π2＋αcos ???
?π
2－αcos （π＋α）＋
sin （π－α）cos ???
?π
2＋αsin （π＋α）
＝________.
解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α（－sin α）
－sin α＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin(θ－5π)sin ????3π
2－θ＝________．
解析：由sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝3
10，
∴sin(θ－5π)sin ???
?3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 答案：3
10
9．已知sin α＝25
5，求tan(α＋π)＋sin （5π
2＋α）
cos （5π
2－α）
的值．
解：∵sin α＝25
5＞0，∴α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋sin （
5π
2＋α）cos （5π2
－α）
＝tan α＋cos α
sin α
＝
sin αcos α＋cos αsin α＝1
sin αcos α
. (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55
， 原式＝
1sin αcos α＝5
2
.
(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－5
5
， 原式＝
1sin αcos α
＝－5
2.
10. 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．
解：由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，两式平方相加得2cos 2A ＝1. 即cos A ＝
22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝
22时，cos B ＝3
2
， 又角A 、B 是三角形的内角，
∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π
12.
(2)当cos A ＝－
22时，cos B ＝－3
2
. 又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝3π4，B ＝5π
6
，不合题意．
综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π
12
.
1．(2015·广东深圳调研)若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α
1－sin 2α
＋1－cos 2α
cos α的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2
D ．0
解析：选D.原式＝sin α|cos α|＋|sin α|
cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限的角平分线
上，sin α与cos α的绝对值相等、符号相反，所以原式＝0.
2．(2015·湖北黄州联考)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B.∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B >π2，
∴A >π2－B >0，B >π
2
－A >0，
∴sin A >sin ????π2－B ＝cos B ，sin B >sin ????π
2－A
＝cos A ，
∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0， ∴点P 在第二象限．
3．已知cos(75°＋α)＝1
3，－180°<α<－90°，则tan ()15°－α＝________．
解析：由－180°<α<－90°，得－105°<α＋75°<－15°， 故sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）＝－22
3.
而cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)， sin(15°－α)＝sin[90°－(75°＋α)]＝cos(75°＋α)， 所以tan(15°－α)＝－24
. 答案：－
24
4．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2x
cos 2x ＝
________．
解析：∵f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ，
∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，
即3sin x ＝cos x ，得tan x ＝1
3
，
于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos x cos 2 x
＝tan 2x －2tan x ＝19－23＝－5
9.
答案：－5
9
5．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β.② 由①÷②得9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝38，∴cos α＝±6
4
.
6．(选做题)已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）
cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )．
(1)化简f (x )的表达式；
(2)求f ????π2 016＋f ????
1 007π
2 016的值． 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（232k ＋1）π－x ]
＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）
＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2
＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；
当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，
f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[23（2k ＋1）＋1]π－x }
＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[23（2k ＋1）π＋（π－x ）]
＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）
＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2
＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )． 综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得
f ????π2 016＋f ????
1 007π
2 016＝sin 2π2 016＋sin 21 007π2 016
＝sin 2
π2 016＋sin 2????
π2－π2 016
＝sin 2
π2 016＋cos 2π
2 016
＝1.
初三数学三角函数经典复习讲义
济川中学初三数学锐角三角函数复习讲义 一．基础训练： 1.△ABC中a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 2.如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的 米180米 3.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 第2题 第4题第5题4.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度1:5 i=，则AC 的长度是 cm． 5.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD：AD=1：4，则 tan∠BCD的值是 6.如图所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P?是AB?延长线上 一点，?BP=2cm，则tan∠OPA等于 7..计算： （1）-3－2+(2π－1)0－ 3 3 tan30°－cos45°（2） 2 45 tan 45 cos 2 30 cos 60 tan 45 sin + ? + 8.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. 8m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m．已知斜坡CD的坡比i=1AB。（结果保留整数，参≈1.7）
9.如图，在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC =14，AD=12，sinB=0.8 求：（1）线段DC 的长； （2）tan ∠EDC 的值。 二．典型例题 例1：如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别是小正方形的顶点，在△ABC 与 △DEF 中，下列结论成立的是（ ） A ．∠BAC=∠EDF B ．∠DFE=∠ACB C ．∠ACB=∠EDF D ．以上都不对 例2. （1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA ·tanB= sinA cosB cosA sinB sin 2A+cos 2 A= （2）已知∠A 为锐角，且cosA ≤，那么∠A 的范围是 （3）若α为锐角，且cos α=,则m 的取值范围是 例3：水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图9所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为 固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度． 例4：如图Rt △ABC ，∠C=90°，AC=AB ，用尺规作图，作一个角等于22.5° (不写作法，保 留作图痕迹)，并求tan22.5° 的准确值。 例5：求证：三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半； E D C B A A B C A B C D E
初高中知识点衔接初中锐角三角函数复习
高一（ ）班 号 姓名： 初高中知识点衔接（3）初中锐角三角函数复习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 A 90 B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对边 邻边 A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
锐角三角函数练习题(B) 一、填空题： 1． 若α为锐角，则0______ sin α_______ 1； 0______ cos α_______ 1． 2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a=1，b=2，则cosA=________ ，tanA=_________． 3． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB=5，BC=3，则sinA=________ ，cotA=_________． 4． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A=300，b=3，则a=__________，c=__________． 5． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA=5 3 ，则cosB=_________． 6． 已知cosA= 2 3 ，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________． 7． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________． 8． ∠A 为锐角，已知sinA=13 5 ，那么cos (900-A)=___________ ． 9． 已知sinA= 2 1 (∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________． 10．若α为锐角，αtan =3 3 ，则α=__________ ，αcot =_______． 11．若00<α<900，sin α=cos600，则tan α=_________． 12．若tan α· tan350=1，则锐角α的度数等于__________． 13．若cosA>cos600，则锐角A 的取值范围是__________． 14．用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420． 15．若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 16．计算： 2sin450- 2 1 cos600=____________． 17．计算： 2sin450-3tan600=____________． 18．计算： (sin300+tan450)·cos600=______________． 19．计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________． 20．计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________． 二、选择题： 1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ） A ． 4 3； B ． 3 4 ； C ． 5 3 ； D ． 5 4． 2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA= 2 2 ，则cosB 的值是( ) A ． 2 1； B ． 2 3； C ．1； D ．2 2
锐角三角函数--讲义资料
锐角三角函数 讲义 一、基础知识点: 1.定义: 如图在△ABC 中，∠C 为直角, 我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；c a A =sin 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ;c b A =cos 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ;b a A =tan 2、三角函数值 (1）特殊角的三角函数值 角度 三角函数 0° 30° ４5° ６０° 90° s ｉｎA 0 12 22 32 １ cosA １ 32 2 2 12 0 ｔanA 3 1 3 不存在 (２）锐角三角函数值的变化：（1)当α为锐角时，各三角函数值均为正数,且0
角形的基本类型如下表： 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边ｃ和 锐角Ａ 2 90,sin ,cos ,sin cos B A a c A b c A S c A A ο=-=== 直角边a 和 锐角A 90,,,tan sin a a B A b c A A ο=-== 两条边 两条直角 边a 和b 22c a b = +,1 ,90,2 A B A S ab ο =-= 直角边ａ和 斜边c 2 2 ,sin ,,90a b c a A A B A c ο=-==- 备注:a 、ｂ、c 为三角形的三边;A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积 三、典型例题： 1． 锐角三角函数的相关概念 例1、如图１，在RT △A ＢＣ中，∠C=９0°,si ｎA ＝5 3 ,则tanB 的值为（?） A ．34? B.54 ?C ．45 ??D ．4 3 例5 例2、如图,⊙O 是△A ＢC 的外接圆,A Ｄ是⊙Ｏ的直径,若⊙O 的半径是2 3 ，AC=２,则ｓinB 的值是（ ) Ａ.32?? B.23???C ．43 ??D ．3 4? 例3：已知在Rt ABC △中,∠C 为直角，A Ｃ = ４cm ，ＢＣ = 3cm ，sin ∠A ＝ ． 例4：在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则 tan A = ． 例5:如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝9０°,ＡB =5,AC ＝２，则cos Ａ的值是( ) A.错误! B.错误! C.错误! D ．错误! A C B 图1 A B C D O 例2
高中数学三角函数知识点(复习)
三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：）
2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为：
§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心
1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：
高一三角函数复习资料
复习讲义：三角函数 一、知识点归纳： ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin α= ，cos α= ，tan α= ． 10、三角函数在各象限的符号： 第一象限 为正，第二象限 为正，第三象限 为正，第四象限 为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：
锐角三角函数知识点与典型例题讲义
《锐角三角函数》讲义 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=；∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围
完整九年级数学锐角三角函数学生讲义.docx
锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题 . 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c， B c a A b C 锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ； 斜边c 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ； 斜边c 锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a . A的邻边b 同理 sin B B的对边b ； cos B B的邻边 a ； tan B B的对边 b ． 斜边c斜边c B的邻边a 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条
，， ，不能理解成sin 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、
高考数学三角函数复习专题
三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质
①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )
三角函数讲义适用于高三第一轮复习
三角函数 1．同角三角函数的基本关系式：1 cos sin2 2= +α αα α α tan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） α α πsin ) sin(- = +α α πcos ) cos(- = +α α πtan ) tan(= + α α πsin ) sin(= -α α πcos ) cos(- = -α α πtan ) tan(- = - α α π cos ) 2 sin(= +α α π sin ) 2 cos(- = +α α π cos ) 2 sin(= - α α π sin ) 2 cos(= -α αsin ) sin(- = -α αcos ) cos(= - 3．两角和与差的公式 , β α β α β αsin cos cos sin ) sin(+ = +β α β α β αsin cos cos sin ) sin(- = - β α β α β αsin sin cos cos ) cos(- = +β α β α β αsin sin cos cos ) cos(+ = - β α β α β α tan tan 1 tan tan ) tan( - + = + β α β α β α tan tan 1 tan tan ) tan( + - = - 4．倍角公式α α αcos sin 2 2 sin=1 cos 2 sin 2 1 sin cos 2 cos2 2 2 2- = - = - =α α α α α α α α 2 tan 1 tan 2 2 tan - = 5．降幂公式 2 2 cos 1 sin2 α α - = 2 2 cos 1 cos2 α α + =α α α2 sin 2 1 cos sin= 6．幅角公式x b x aω ωcos sin+) sin( 2 2? ω+ + =x b a，其中 a b = ? tan 8．补充公式α α α α α2 sin 1 cos sin 2 1 ) cos (sin2± = ± = ±， 2 cos 2 sin sin 1 α α α± = ± * 知识点睛 图象 ）
锐角三角函数超经典讲义
锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数 1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin 。 3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos 。 4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan 。 sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5 4 ，则AC ：BC ：AB=（ ） A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、1 n cosB C 、cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三
初三数学三角函数复习
锐角三角函数： 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． 第1题图 ①斜边 )( sin =A ②斜边 )(cos =A ③的邻边 A A ∠=)( tan ． 例2．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ． 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．35 D ．4 5 3.（2009·中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 4. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知 8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．3 4 Ｂ．4 3 Ｃ．35 Ｄ． 45 A D E C B F 5. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一 D C B A O y x 第8题图
点，若1 tan 5 DBA ∠=，则AD的长为( ) A．2 B．2 C．1D．22 类型三. 化斜三角形为直角三角形 例1．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值． 2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B． 特殊角的三角函数值 锐角30° 45° 60° sin
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
初三数学三角函数复习(供参考)
锐角三角函数： 例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°． 第1题图 ① 斜边 ) ( sin= A ② 斜边 ) ( cos= A ③ 的邻边 A A ∠ = ) ( tan． 例2．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3． 求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR． 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点． DE∶AE＝1∶2． 求：sin B、cos B、tan B． 2．如图，直径为10的⊙A经过点(05) C，和点(00) O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（） A． 1 2 B． 3 2 C． 3 5 D． 4 5 D C B A O y x 第8题图
3.（2009·齐齐哈尔中考）如图， O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为3 2 ，2AC =，则 sin B 的值是（ ） A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 4. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．3 5 Ｄ． 45 A D E C B F 5. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 类型三. 化斜三角形为直角三角形 例1．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ABC 的值． 2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
中考锐角三角函数复习教案
锐角三角函数复习教案一、【教材分析】 二、【教学流程】
运用 第2题图 3．式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的 值是 ( ) A．2 3－2B．0C．2 3D．2 4.在△ABC中，若|cos A- 1 2|＋(1－tan B)2＝0，则 ∠C的度数是 ( ) A．45°B．60°C．75°D．105° 【组内交流】 学生根据问题解决的思路和解题中所呈现的问 题进行组内交流，归纳出方法、规律、技巧. 【成果展示】 教师要有意识引导 学生体会锐角三角 函数在题目解决中 所体现的解题规 律. 给学生充足的时间 思考分析 通过学生思考梳 理锐角三角函数 的知识运用. 一生展示，其它小 组补充完善，展示 问题解决的方法， 注重一题多解及解 题过程中的共性问 题，教师注意总结 问题的深度和广 度. 直击1.(威海中考)如图，在下列网格 中，小正方形的边长均为1，点A， B，O都在格点上，则∠AOB的 正弦值是( ) 3101110 A B C D 102310 ．．．． 第1题图 2.(重庆中考)计算6tan 45°-2cos 60°的结果是 ( ) A. B.4 C. D.5 教师展示问题，学 生有针对性独立思 考解答，3 4 3 5
三、【板书设计】 锐角三角函数复习 作 业 必做题 1.(重庆中考)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为 点D ，若BC =14，AD =12，tan ∠BAD = 求sin C 的值． 1题图 2.(苏州中考)如图,在△ABC ,AB =AC =5, BC =8.若∠BPC = ∠BAC , 则tan ∠BPC = . 选做题 2题图 3. 的值，求为锐角，若αααααcos sin 3 4cos sin -=+ 第一,二题学生课下独立完成，延续课堂. 第三题课下交流讨论有选择性完成. 以生为本，正视学生学习能力、认知水平等个体差异，让不同的学生都能学有所得，学有所成，体验学习带来的成功与快乐. 34， 1 2锐角三角函数 1、锐角三角函数的定义 ⑴、正弦 ⑵、余弦 ⑶、正切 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值 3、各锐角三角函数间的函数关系式 ⑴、互余关系； ⑵、平方关系； ⑶、相除关系
中考数学三角函数综合复习
考点精要解析 考点一：锐角三角函数的概念 1．定义：在 Rt? ABC 中，锐角 A 的正弦、余弦和正切统称为锐角 A 的三角函数． 考点二：特殊角的三角函数 30o ，45o ， 60o 特殊角的三角函数 考点二：解直角三角形 1．直角三角形的性质 在 Rt?ABC 中，∠ C=90o ，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ，b ，c ，斜边中线长为 d ． 2．解直角三角形 （1）定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求所有未知元素的过程，叫作解直角三角形． 四）锐角三角函数 2．在 Rt? ABC 中，∠ C ＝90o ，∠ A ，∠ B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ， 1）正弦：锐角 A 的对边与斜边的比叫作∠ 的正弦，记作 sinA ， 即 sin A 2）余弦：锐角 A 的邻边与斜边的比叫作∠ 的余弦，记作 cosA ， 即 cosA 3）正切：锐角 A 的对边与邻边的比叫作∠ 的正切，记作 tanA ， 即 tan A A 的对边 = a ； 斜边 = c A 的邻边 = b ； 斜边 c A 的对边 = a ； A 的邻边 = b
2）解直角三角形的基本类型 注：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中，化斜为直． （3）几种常见的三角形： 考点四：解直角三角形的应用 1．相关概念： （1 ）仰角和俯角：它们都是视线与水平线所成的角，如图4—2—83（a）所示，视线在水平线上方的 角叫作仰角，视 线在水平线下方的角叫作俯角． （2）坡度与坡角：如图4—2—83（b）所示，坡面的垂直高度 h和水平宽度 l 的比叫作坡度（坡 比）．用字母 i表示，即i h．把坡面与水平面的夹角，记作（叫作坡角），那么i h＝tan ．ll （3 ）指北或指南方向线与与目标方向线所成的小于90°的角，叫作方向角．如图4—2—83（c）所示，OA，OB，OC， OD 的方向角分别为：北偏东30 °，南偏东45 °（东南方向），南偏西30°，北偏西45°（西北方向）．
三角函数复习(原创)经典讲义
三角函数基本概念及方法指导 一、角的概念的推广 1、角的定义： 2、角的分类： （1）角按旋转方向的分类：正角：负角： 零角： （2）角按终边位置的分类：象限角： 轴线角 【注：角的顶点与始边】 特别：终边相同的角表示： 【注：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。】 例题讲解： 例1、角概念的理解：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 例2、象限角的理解 第一象限角的集合： 第二象限角的集合： 第三象限角的集合： 第四象限角的集合： 练习：－1120°角所在象限是 例3、如何表示终边相同的角: 与30°角的终边相同的角的表达式. 练习：1、角α的终边落在一、三象限角平分线上,则角α的集合是 2、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 3、写出与-2250角终边相同角的集合，并在集合中求出-7200~10800内的所有角。 例4：已知角α是第二象限角，求：（1）角2 α 是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。 【注：两种方法说明。延伸3倍关系】 思考：若α是第四象限的角，则α- 180是第几象限角？ 二、弧度制 1、弧度概念：在半径为单位长度的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度角度制 2、角度制转化为弧度制：（实质说清楚）例1、把'3067 化成弧度 3、弧度制转化为角度制：如：把rad π5 3化成度 例1、若α＝－3，则角α的终边在第几象限？ 转化过程要求必须非常熟悉：掌握0到360内所有特殊角转化 4、弧长、面积公式;180r n l π=r α=?,3602R n S π=扇12 lR =【注：要求不记公式，要掌握推导过程】 例1、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 2、某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 3、半径为1的圆上有两点A,B 若AMB 的长=2,求弓形AMB 的面积 角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 sin cos tan
初中锐角三角函数专题
第1页 目录 课题：锐角三角函数课件 ........................................................................................................................................ 1 解直角三角形应用题 ................................................................................................................................................ 5 解直角三角形的方法技巧 ...................................................................................................................................... 10 锐角三角函数考点 .................................................................................................................................................. 15 锐角三角函数 课后检测 . (18) 课题：锐角三角函数课件 【引题】 例题1：操作与探究 （1）度量下列一组直角三角形30度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （2）度量下列一组直角三角形45度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （3）猜想：当∠A 取其它一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比值是否定值？为什么？ （4）用同样的方法探讨∠A 的邻边与斜边、∠A 的对边与邻边的比有什么规律？为什么？ 45? 45? 45? C 2 B 2 A 2 A 1 B 1 C 1B ★【归纳与总结】 三角函数的定义：如图，在RtΔABC 中,∠C=90°， 例题2：如图：利用特殊直角三角形求特殊角的三角函数。 （1）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，求30°角、60°角的三角函数，并填出表格。 （2）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，求45°角的三角函数，并填出表格。 （3）分析上面特殊角的三角函数，你能从表格中发现什么规律？ A C B 45? 60? C B A 30?
高中数学三角函数知识点
高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o