2018版高考数学一轮总复习第6章不等式推理与证明6.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题模拟演练理
2018版高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 6.3 二元
一次不等式(组)及简单的线性规划问题模拟演练 理
[A 级 基础达标](时间:40分钟)
1.[2016·北京高考]若x ,y 满足????
?
2x -y ≤0,x +y ≤3,
x ≥0,则2x +y 的最大值为( )
A .0
B .3
C .4
D .5
答案 C
解析 画出可行域,如图中阴影部分所示,令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4.故选C.
2.设关于x ,y 的不等式组????
?
2x -y +1>0,x +m <0,
y -m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满
足x 0-2y 0=2,则m 的取值范围是( )
A.?
????-∞,43
B.?
????-∞,13
C.? ????-∞,-23
D.?
????-∞,-53 答案 C
解析 图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y =1
2x -1上的点,只需要可行域的
边界点(-m ,m )在y =12x -1下方,也就是m <-12m -1,即m <-2
3
.故选C.
3.已知z =2x +y ,x ,y 满足????
?
y ≥x ,x +y ≤2,
x ≥m ,
且z 的最大值是最小值的4倍,则m 的值
是( )
A.17
B.16
C.15
D.1
4 答案 D
解析 画出线性约束条件
????
?
y ≥x ,x +y ≤2,x ≥m
的可行域,如图阴影部分所示.由可行域知:目标函数z =2x +y 过点
(m ,m )时有最小值,z min =3m ;过点(1,1)时有最大值,z max =3,因为z 的最大值是最小值的4倍,所以3=12m ,即m =14
.
4.[2017·江西模拟]某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
植面积(单位:亩)分别为( )
A .50,0
B .30,20
C .20,30
D .0,50 答案 B
解析 设种植黄瓜x 亩,种植韭菜y 亩,因此,原问题转化为在条件
?????
x +y ≤50,
1.2x +0.9y ≤54,x ≥0,y ≥0
下,
求z =0.55×4x +0.3×6y -1.2x -0.9y =x +0.9y 的最大值.画出可行域如图.利用线
性规划知识可知,当x ,y 取?
??
??
x +y =50,1.2x +0.9y =54的交点(30,20)时,z 取得最大值.故选B.
5.变量x ,y 满足约束条件????
?
y ≥-1,x -y ≥2,
3x +y ≤14,
若使z =ax +y 取得最大值的最优解有无
穷多个,则实数a 的取值集合是( )
A .{-3,0}
B .{3,-1}
C .{0,1}
D .{-3,0,1} 答案 B
解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z =ax +y 与x -y =2或3x +y =14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a =1或-a =-3,
∴a =-1或a =3.
6.[2014·安徽高考]不等式组????
?
x +y -2≥0,x +2y -4≤0,
x +3y -2≥0
表示的平面区域的面积为________.
答案 4
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可知S △ABC =1
2×2×(2+2)=
4.
7.[2017·厦门模拟]设变量x ,y 满足约束条件????
?
x +y -2≥0,x -y -2≤0,
y ≥1,
则目标函数z =x +
2y 的最小值为________.
答案 3
解析 画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分).
由z =x +2y ,得y =-12x +12z ,作直线l :y =-1
2x ,平移l ,由图形可知当l 经过可行
域中的点A (1,1)时,z 取最小值,所以z min =1+2×1=3.
8.[2017·辽宁模拟]设变量x ,y 满足????
?
x -y ≤10,0≤x +y ≤20,
0≤y ≤15,
则2x +3y 的最大值为
________.
答案 55
解析 不等式组表示的区域如图所示,令z =2x +3y ,目标函数变为y =-23x +z
3
,因此
截距越大,z 的取值越大,故当直线z =2x +3y 经过点A 时,z 最大,由于???
??
x +y =20,
y =15?
?
??
??
x =5,
y =15,故点A 的坐标为(5,15),代入z =2x +3y ,得到z max =55,即2x +3y 的最大值为
55.
9.当x ,y 满足约束条件????
?
x ≥0,y ≤x ,
2x +y +k ≤0,
(k 为负常数)时,能使z =x +3y 的最大值为12,试求k 的值. 解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示).
当直线y =-13x +1
3
z 经过区域中的点A 时,截距最大.
由?
??
??
y =x ,2x +y +k =0,
得x =y =-k
3
.
∴点A 的坐标为? ????
-k 3
,-k 3,
则z 的最大值为-k 3+3? ????-k 3=-4
3
k ,
令-4k
3=12,得k =-9.
∴所求实数k 的值为-9.
10.变量x ,y 满足????
?
x -4y +3≤0,3x +5y -25≤0,
x ≥1.
(1)设z =y
x
,求z 的最小值; (2)设z =x 2+y 2,求z 的取值范围;
(3)设z =x 2
+y 2
+6x -4y +13,求z 的取值范围.
解 由约束条件
????
?
x -4y +3≤0,3x +5y -25≤0,x ≥1
作出(x ,y )的可行域如图所示.
由?
??
??
x =1,3x +5y -25=0,
解得A ?
????1,225.
由?
??
??
x =1,
x -4y +3=0,解得C (1,1).
由???
??
x -4y +3=0,
3x +5y -25=0,
解得B (5,2).
(1)因为z =y x =
y -0
x -0
,所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率.
观察图形可知z min =k OB =2
5
.
(2)z =x 2
+y 2
的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min =|OC |=2,d max =|OB |=29,所以2≤z ≤29.
(3)z =x 2
+y 2
+6x -4y +13=(x +3)2
+(y -2)2
的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min =1-(-3)=4,d max = -3-5 2
+ 2-2 2
=8.所以16≤z ≤64.
[B 级 知能提升](时间:20分钟)
11.设x ,y 满足约束条件????
?
x ≥2,3x -y ≥1,
y ≥x +1,
则下列不等式恒成立的是( )
A .x ≥3
B .y ≥4
C .x +2y -8≥0
D .2x -y +1≥0
答案 C
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由图象可知x ≥2,y ≥3,A 、B 错误;点(3,8)在可行域内,但不满足2x -y +1≥0,D 错误;设z =x +2y ,y =-12x +1
2z ,
由图象可知当其经过点(2,3)时,z 取得最小值8.
12.[2017·太原模拟]设不等式组????
?
2x +y ≥2,x -2y ≥-4,
3x -y ≤3
所表示的平面区域为M ,若函数y
=k (x +1)+1的图象经过区域M ,则实数k 的取值范围是( )
A .[3,5]
B .[-1,1]
C .[-1,3] D.????
??-12,1
答案 D
解析 画出不等式组 ????
?
2x +y ≥2,x -2y ≥-43x -y ≤3
,所表示的平面区域M ,如图中阴影部分所示,函数y =k (x +1)+1
的图象表示一条经过定点P (-1,1)的直线,当直线经过区域M 内的点A (0,2)时斜率最大,为1,当直线经过区域M 内的点B (1,0)时斜率最小,为-12,故实数k 的取值范围是??????-12,1,
选D.
13.[2017·山西质检]若变量x ,y 满足?
??
??
|x |+|y |≤1,xy ≥0,则2x +y 的取值范围为
________.
答案 [-2,2]
解析 作出满足不等式组的平面区域,如图中阴影部分所示,平移直线2x +y =0,经过点(1,0)时,2x +y 取得最大值2×1+0=2,经过点(-1,0)时,2x +y 取得最小值2×(-1)+0=-2,所以2x +y 的取值范围为[-2,2].
14.[2016·天津高考]某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A ,B ,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
现有A 种原料200吨,B 种原料360吨,C 种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x ,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x ,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.
解 (1)由已知,x ,y 满足的数学关系式为
?????
4x +5y ≤200,
8x +5y ≤360,
3
x +10y ≤300,x ≥0,y ≥0.
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
(2)设利润为z 万元,则目标函数为z =2x +3y .
考虑z =2x +3y ,将它变形为y =-23x +z 3,这是斜率为-23,随z 变化的一族平行直线.
z 3
为直线在y 轴上的截距,当z
3取最大值时,z 的值最大.又因为x ,y 满足约束条件,所以由
图2可知,当直线z =2x +3y 经过可行域上的点M 时,截距z
3
最大,即z 最大.
解方程组?
??
??
4x +5y =200,
3x +10y =300,得点M 的坐标为(20,24).
所以z max =2×20+3×24=112.
答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.