2018版高考数学一轮总复习第6章不等式推理与证明6.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题模拟演练理

2018版高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 6.3 二元

一次不等式(组)及简单的线性规划问题模拟演练 理

[A 级 基础达标](时间:40分钟)

1.[2016·北京高考]若x ,y 满足????

?

2x -y ≤0,x +y ≤3,

x ≥0,则2x +y 的最大值为( )

A .0

B .3

C .4

D .5

答案 C

解析 画出可行域,如图中阴影部分所示,令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4.故选C.

2.设关于x ,y 的不等式组????

?

2x -y +1>0,x +m <0,

y -m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满

足x 0-2y 0=2,则m 的取值范围是( )

A.?

????-∞,43

B.?

????-∞,13

C.? ????-∞,-23

D.?

????-∞,-53 答案 C

解析 图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y =1

2x -1上的点,只需要可行域的

边界点(-m ,m )在y =12x -1下方,也就是m <-12m -1,即m <-2

3

.故选C.

3.已知z =2x +y ,x ,y 满足????

?

y ≥x ,x +y ≤2,

x ≥m ,

且z 的最大值是最小值的4倍,则m 的值

是( )

A.17

B.16

C.15

D.1

4 答案 D

解析 画出线性约束条件

????

?

y ≥x ,x +y ≤2,x ≥m

的可行域,如图阴影部分所示.由可行域知:目标函数z =2x +y 过点

(m ,m )时有最小值,z min =3m ;过点(1,1)时有最大值,z max =3,因为z 的最大值是最小值的4倍,所以3=12m ,即m =14

.

4.[2017·江西模拟]某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:

植面积(单位:亩)分别为( )

A .50,0

B .30,20

C .20,30

D .0,50 答案 B

解析 设种植黄瓜x 亩,种植韭菜y 亩,因此,原问题转化为在条件

?????

x +y ≤50,

1.2x +0.9y ≤54,x ≥0,y ≥0

下,

求z =0.55×4x +0.3×6y -1.2x -0.9y =x +0.9y 的最大值.画出可行域如图.利用线

性规划知识可知,当x ,y 取?

??

??

x +y =50,1.2x +0.9y =54的交点(30,20)时,z 取得最大值.故选B.

5.变量x ,y 满足约束条件????

?

y ≥-1,x -y ≥2,

3x +y ≤14,

若使z =ax +y 取得最大值的最优解有无

穷多个,则实数a 的取值集合是( )

A .{-3,0}

B .{3,-1}

C .{0,1}

D .{-3,0,1} 答案 B

解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z =ax +y 与x -y =2或3x +y =14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a =1或-a =-3,

∴a =-1或a =3.

6.[2014·安徽高考]不等式组????

?

x +y -2≥0,x +2y -4≤0,

x +3y -2≥0

表示的平面区域的面积为________.

答案 4

解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可知S △ABC =1

2×2×(2+2)=

4.

7.[2017·厦门模拟]设变量x ,y 满足约束条件????

?

x +y -2≥0,x -y -2≤0,

y ≥1,

则目标函数z =x +

2y 的最小值为________.

答案 3

解析 画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分).

由z =x +2y ,得y =-12x +12z ,作直线l :y =-1

2x ,平移l ,由图形可知当l 经过可行

域中的点A (1,1)时,z 取最小值,所以z min =1+2×1=3.

8.[2017·辽宁模拟]设变量x ,y 满足????

?

x -y ≤10,0≤x +y ≤20,

0≤y ≤15,

则2x +3y 的最大值为

________.

答案 55

解析 不等式组表示的区域如图所示,令z =2x +3y ,目标函数变为y =-23x +z

3

,因此

截距越大,z 的取值越大,故当直线z =2x +3y 经过点A 时,z 最大,由于???

??

x +y =20,

y =15?

?

??

??

x =5,

y =15,故点A 的坐标为(5,15),代入z =2x +3y ,得到z max =55,即2x +3y 的最大值为

55.

9.当x ,y 满足约束条件????

?

x ≥0,y ≤x ,

2x +y +k ≤0,

(k 为负常数)时,能使z =x +3y 的最大值为12,试求k 的值. 解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示).

当直线y =-13x +1

3

z 经过区域中的点A 时,截距最大.

由?

??

??

y =x ,2x +y +k =0,

得x =y =-k

3

.

∴点A 的坐标为? ????

-k 3

,-k 3,

则z 的最大值为-k 3+3? ????-k 3=-4

3

k ,

令-4k

3=12,得k =-9.

∴所求实数k 的值为-9.

10.变量x ,y 满足????

?

x -4y +3≤0,3x +5y -25≤0,

x ≥1.

(1)设z =y

x

,求z 的最小值; (2)设z =x 2+y 2,求z 的取值范围;

(3)设z =x 2

+y 2

+6x -4y +13,求z 的取值范围.

解 由约束条件

????

?

x -4y +3≤0,3x +5y -25≤0,x ≥1

作出(x ,y )的可行域如图所示.

由?

??

??

x =1,3x +5y -25=0,

解得A ?

????1,225.

由?

??

??

x =1,

x -4y +3=0,解得C (1,1).

由???

??

x -4y +3=0,

3x +5y -25=0,

解得B (5,2).

(1)因为z =y x =

y -0

x -0

,所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率.

观察图形可知z min =k OB =2

5

.

(2)z =x 2

+y 2

的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min =|OC |=2,d max =|OB |=29,所以2≤z ≤29.

(3)z =x 2

+y 2

+6x -4y +13=(x +3)2

+(y -2)2

的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min =1-(-3)=4,d max = -3-5 2

+ 2-2 2

=8.所以16≤z ≤64.

[B 级 知能提升](时间:20分钟)

11.设x ,y 满足约束条件????

?

x ≥2,3x -y ≥1,

y ≥x +1,

则下列不等式恒成立的是( )

A .x ≥3

B .y ≥4

C .x +2y -8≥0

D .2x -y +1≥0

答案 C

解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由图象可知x ≥2,y ≥3,A 、B 错误;点(3,8)在可行域内,但不满足2x -y +1≥0,D 错误;设z =x +2y ,y =-12x +1

2z ,

由图象可知当其经过点(2,3)时,z 取得最小值8.

12.[2017·太原模拟]设不等式组????

?

2x +y ≥2,x -2y ≥-4,

3x -y ≤3

所表示的平面区域为M ,若函数y

=k (x +1)+1的图象经过区域M ,则实数k 的取值范围是( )

A .[3,5]

B .[-1,1]

C .[-1,3] D.????

??-12,1

答案 D

解析 画出不等式组 ????

?

2x +y ≥2,x -2y ≥-43x -y ≤3

,所表示的平面区域M ,如图中阴影部分所示,函数y =k (x +1)+1

的图象表示一条经过定点P (-1,1)的直线,当直线经过区域M 内的点A (0,2)时斜率最大,为1,当直线经过区域M 内的点B (1,0)时斜率最小,为-12,故实数k 的取值范围是??????-12,1,

选D.

13.[2017·山西质检]若变量x ,y 满足?

??

??

|x |+|y |≤1,xy ≥0,则2x +y 的取值范围为

________.

答案 [-2,2]

解析 作出满足不等式组的平面区域,如图中阴影部分所示,平移直线2x +y =0,经过点(1,0)时,2x +y 取得最大值2×1+0=2,经过点(-1,0)时,2x +y 取得最小值2×(-1)+0=-2,所以2x +y 的取值范围为[-2,2].

14.[2016·天津高考]某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A ,B ,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:

现有A 种原料200吨,B 种原料360吨,C 种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x ,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.

(1)用x ,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.

解 (1)由已知,x ,y 满足的数学关系式为

?????

4x +5y ≤200,

8x +5y ≤360,

3

x +10y ≤300,x ≥0,y ≥0.

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:

(2)设利润为z 万元,则目标函数为z =2x +3y .

考虑z =2x +3y ,将它变形为y =-23x +z 3,这是斜率为-23,随z 变化的一族平行直线.

z 3

为直线在y 轴上的截距,当z

3取最大值时,z 的值最大.又因为x ,y 满足约束条件,所以由

图2可知,当直线z =2x +3y 经过可行域上的点M 时,截距z

3

最大,即z 最大.

解方程组?

??

??

4x +5y =200,

3x +10y =300,得点M 的坐标为(20,24).

所以z max =2×20+3×24=112.

答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.

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