10数一解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 解析与点评
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。
(1) 极限=???
???
??+?∞→x
x b x a x x ))((lim 2
(A )1 (B)e (C) (D) 【C 】 b a e ?a b e ?【解析与点评】(方法1)凑成标准型:
x x b x a x x ???
?????+?∞→))((lim 2
2()()lim 1()()x
x x x a x b x a x b →∞????+=+???+?? ()lim 1()()x
x a b x ab x a x b →∞
???+=+???+??1
()()()()()()
()lim 1()()a b x ab a b x ab
x x a x b x a x b x a b x ab x a x b ????+?+?
???+?+??→∞??
?+=+???+??
2()lim
()()()x a b x abx a b x a x b e
e →∞?+??+==
(方法2)直接写成复合指数对数形式,利用极限运算法则。
)
)((ln
2
2
lim ))((lim b x a x x x x x
x e b x a x x
+?∞
→∞→=??????
?
?+?,只需考虑
b a b x a x b a x b x a x x x b x a x x x x x x ?=+??=?+?=+?∞→∞→∞→)
)(()
(lim )1))(((lim ))((ln lim 222 因此=
???
?????+?∞→x
x b x a x x ))((lim 2b
a e ?。 考点:标准极限2,初等函数运算,复合极限运算法则,极限运算,无穷小量替换。本题属于水木艾迪基本例题类型。
(2) 设函数),(y x z z =由方程0,=??
?
?
??x z x y F 确定,其中为可微函数,,则F 02≠′F =??+??y
z
y x z x
(A )x (B)z (C)x ? (D)z ? 【B 】 【解析与点评】0,=??
??
??x z x y F 120y z F d F d x x ????
′′??+?=????????
1222
0xdy ydx xdz zdx
F F x x
??′′??
+?=12()()F xdy ydx F xdz zdx 0′′???+??=
()2211x F dz z F y F dx x F d ′′′?=+?y ′12122y F z F F dz dx dy x F F ′′′
+?=
?′′
12122y F z F F z z x
y x y x y
x F F ′′+???+=
?′′??′22z F z F ′
==′ 考点:多元函数微分法。水木艾迪春季班与暑期强化班教材的基本例题类型。 (3)设均为正整数,则反常积分
n m ,dx x
x n
m
∫
?10
2)
1(ln 的收敛性
(A )仅与的取值有关。(B )仅与n 的取值有关
m (C )与的取值都有关。(D )与的取值都无关。 【D 】
n m ,n m ,2ln (1)
m
n
x x
?在[]0,1中有二个奇点010,1x x ==.
z 当时,
0x +
→2122221ln (1)
~n m
m m
m
m n m n n n
n
x x x x x x
x
????===;
当均为正整数时,
n m ,21n m
m n
?>??. 又因为, 222(1)
10n m n m m n n m n m n m n m n ??+?+?+==>???2
0ln (1)m n x dx x
??<∫∞ z 当时,
1x ?
→()
2
~ln(1)1m
A x x ?<
?1?<∫∞.
可见,当为任意正整数时,
n m
,0
∫
均收敛.
考点:本题属于第2类广义积分。水木艾迪春季班与暑期强化班强调的两把尺度运用,初
等函数性质,无穷大量与无穷小量的比较。 (4)=++∑∑==∞→n i n
j n j n i n n
11
22))((lim
(A )
∫
∫
++x
dy y x dx 0
21
)1)(1(1。(B )∫∫++x dy y x dx 010)
1)(1(1。 (C )∫∫++1
010)1)(1(1dy y x dx 。 (D )∫∫++10210)
1)(1(1dy y x dx 。 【D 】
【解析与点评】=++∑∑==∞
→n i n
j n j n i n n
1122)
)((lim 22111lim (1)(1())n n
n i j n i n j n →∞===++∑∑
211111
lim (1)(1)n
n n i j i j x y n →∞==??=?????++??∑∑n 211
lim 11n n j i n i j i
j y x x y →∞
==??
ΔΔ=????++??∑∑ 1
120011dx dy x y =++∫
∫112001
(1)(1)dx dy x y =++∫∫ 考点:积分定义的四部曲。水木艾迪春季班与暑期强化班特别强调的积分定义的四部曲运
用,二重积分累次次积分的关系。
(5)设A 为矩阵,B 为矩阵,n ×m m ×n E 为m 阶单位矩阵。若E AB =,则 (A )秩, 秩。 (B )秩m A r =)(m B r =)(m A r =)(, 秩n B r =)(。
(C )秩, 秩。 (D )秩n A r =)(m B r =)(n A r =)(, 秩n B r =)(。 【A 】 【解析与点评】本题主要考查的知识点是矩阵的秩的性质,从感性的角度知道满足E AB =,则A 必定是个扁的矩阵,B 必定是个高的矩阵,准确地说,应满足n m ≤。因为否则AB 的行列式为零,AB 就不可能是E 了。从4个选项很容易判断,应选(A)。从理性分析的角度,利用的性质,就有)()(A r AB r ≤m A r m ≤≤)(,即m A r =)(,同理有。 m B r =)((6)设A 为4阶实对称矩阵,且。若02=+A A A 的秩为3,则A 相似于
(A ) (B ) ??????????????0111???
?
?
?
?????????0111(C ) (D ) 【D 】 ????????????????0111???
?
?
?
???????????0111【解析与点评】本题考查的知识点是矩阵的相似的性质,实对称矩阵可对角化的性质,矩阵的特征值,矩阵的秩等。由实对称矩阵知A 和对角矩阵相似,且对角元为A 的特征值,由条件A 满足,可推得特征值必满足,可知02=+A A 02=+λλA 的特征值必为0或,再由相似矩阵有相同的秩知1?A 的特征值必为3个1?和1个0,故选 (D)。 (7)设随机变量X 的分布函数)
(x F ????
?≥≤≤?,,1x ,100,
1,21
,0x x e x ==}1X {P 则 (A )0. (B )
2
1
(C )1-e 21? (D )1- 【C 】
1e ?【解析与点评】112
1
21)1()1()1()1(???=??=??==e e F F X P .答案为:C
评注:本题实际上是考查分布函数的性质,即对任意随机变量X ,均有
)()()(??==x F x F x X P ,这样的问题在辅导教程中出现过多次,属于基本概念的考查。 (8)设
为标准正态分布的概率密度,为[-1,3]上均匀分布的概率密度,若为概率密度,则a ,b 应满足 )(x 1f )
(x 2f ???=),(),()(x b x a x 2
1f f
f )0,0(0x 0x >>>≤b a (A )2a+3b=4 (B )3a+2b=4 (C)a+b=1 (D) a+b=2 【A 】
【解析与点评】由概率密度的性质知 1∫∫∫∞∞?+∞∞?+==
0201)()()(dx x f b dx x f a dx x f b a dx b a 43
2141)0(3
+=+Φ=∫,即. 432=+b a 答案为:A
评注:本题实际上是考查密度函数的性质与正态分布和均匀分布的基本性质,这里还需要知道的是标准正态分布取负值的概率为
2
1
,以及均匀分布的计算问题,这些基本概念及运算是在辅导中反复强调的。
二、填空题:9~14,每一题4分,共24分。
(9)设则??
?
??+==∫?,)1ln(,02t t du u y e x ==0
2
2t dx y d ____0____.
【解析与点评】2
0,ln(1)t t x e y u du ??=?
?=+??
∫2ln(1)t dy t dx e ?+?=?()222ln(1)t
t d y t e e dx ??′??+?=??????.
222200
ln(1)2(1)ln(1)
0t t t t
t t t te t e t e e ????==′??++++=?=?????2200t d y dx =?=. 考点:参数方程确定的函数求导数,二阶导数易出错误,这些概念及运算是在水木艾迪辅
导中反复强调的。 (10)
∫
=2
cos πdx x x 4 。
【解析与点评】2
x xdx π∫
20
2cos t t d t 20
2sin t d t π=∫π=∫t t d t π
∫
4sin t t d π
=?∫
=0
4
cos (
)
00
4cos cos 4t t t d t π
π
=?=∫
(11)已知曲线L 的方程为 y ])1,1[(1?∈?=x x ,起点是(-1,0),终点为(1,0)则曲线积分
∫=+L
dy x
xydx 2
0 。
【解析与点评】
2L
xydx x dy +∫22L xydx x dy xydx x dy ∪=+?+∫
∫
()1
11
1
0120x y x
x x d dx σ??≤≤≤≤?=??∫∫∫11010x y x
x d σ?≤≤≤≤?==∫∫
(12)设Ω≤≤+=Ω则},1),,{(2
2
z y x z y x 的形心的坐标3
2Z =
。 【解析与点评】2
3
2
3
z z d v π
π
Ω
=
Ω=
=
∫∫∫
. 因为:有 221
x y z
z d v z dz dxdy Ω
+≤()=∫∫∫
∫∫∫
10
3
z z dz π
π==
∫. 221
x y z
d v dz dxdy Ω
+≤Ω==∫∫∫∫∫∫
()10
2
z dz π
π==
∫.
(13)设,,,若由T
10121),,,(?=αT
22011),,,(=αT
3a 112)
,,,(=α321ααα,,生成的向量空间的维数为2,则=a 6 。
【解析与点评】本题考查的知识点是向量空间的维数和基的概念。由题设空间维数为2,即生成元321ααα,,的秩为2,易知21αα,线性无关,且2133ααα+?=,故知。 6=a (14)设随机变量X 的概率分布为L 2,1,0,!
}{==
=k k C
k X P ,则=2EX 2 。 【解析与点评】由于
e k k =∑∞
=0
!1
,故由 Ce k C
k X P k k ===∑
∑∞
=∞
=00
!
)(,可得,, 1?=e C =
1即X 服从参量为1的Poisson 分布,从而,1==DX EX ,所以
2)(22=+=EX DX EX .故答案为:2。
评注:本题实际上是考查Poisson 分布的分布列以及它的二阶矩的计算,是基本的题目,实际上,如果大家对Poisson 分布的分布列熟悉的话,自然就知道这里的X 就是服从参量为1的Poisson 分布,从而常数C 的确定是显然的,而二阶矩的计算直接用期望和方差就就可以得到,这种问题在辅导教程是反复强调的。
三、解答题:15~23小题,共94分。
(15)(本题满分10分)求微分方程的通解。
x
xe y y y 223=+′?′′【解析与点评】对应齐次方程023=+′?′′y y y 的两个特征根为,2,121==r r 其通解为
x x e C e C Y 221+=设原方程的特解形式为,则
x e b ax x Y
)(+=?′
,
x e x b a ax Y
))2((2++=?′
x e b a x b a ax Y )22)4((2++++=?′′
代入原方程解得2,1?=?=b a ,故所求通解为
x x x e x x e C e C y )2(221+?+=
(16)(本题满分10分)求函数的单调区间与极值。
∫
??=
2
2
1
2)()(x t dt e t x x f 【解析与点评】定义域为)(x f ),(+∞?∞,由于
∫∫
???=2
2
2
2
1
1
2
)(x t x t dt te dt e x
x f ,
4
42
2331
222)(x x x t e x e x dt e x x f ????+=′∫∫?=′2
2
1
2)(x t dt e x x f ,的驻点为)(x f 0=x 与1±=x 。
列表讨论如下: x
)
,(+∞?∞1?
)0,1(?
)1,0(
1
),1(+∞
- 0 + 0 - 0 + )(x f ′)(x f
减
极小
增
极大
减
极小
增
因此,的单调增加区间为(-1,0)及)(x f ),1(+∞,单调减少区间为)1,(??∞)1,0(及;极小值为极大值为,0)1(=±f )1(2
1
)0(11
2
???=
=∫
e dt te
f t 。 (17)(本题满分10分) (Ⅰ)比较
∫
+1
)]1[ln(ln dt t t n
与),2,1(ln 1
L =∫n dt t t n 的大小,说明理由:
(Ⅱ)记),2,1()]1[ln(ln L =+=
∫
n dt t t u n n ,求极限。
n n u ∞
→lim 【解析与点评】(Ⅰ)当时,因为10≤≤t t t ≤+)1ln(所以
t t dt t t n n ln )]1[ln(ln ≤+,
因此
∫∫
≤+1
1
ln )]1[ln(ln dt t t dt t t n n
(Ⅱ)(方法1)由(Ⅰ)知=≤n u 0∫∫
≤+1
1
ln )]1[ln(ln dt t t dt t t n n
因为
∫∫∫
+=+=
?=1
2101
)
1(1
11ln ln n dt t n tdt t dt t t n n n 所以 0ln lim
1
=∫
∞→dt t t n n ,从而0lim =∞
→n n u 。
(方法2)∫∫∫
+≤
+=
?=<
1
101
1
1
11ln ln 0n dt t n tdt t dt t t n n n 由夹逼准则得到 0ln lim
1
=∫∞→dt t t
n
n 。
(方法3)由(Ⅰ)因为[]()0,1,0ln ln(1)ln n
n t t t ?∈≤+≤t t . 又因为 0
lim ln 0t t t →=, 所以 [],0ln ,0.1M t t M t ?≤∈.
所以 =
≤n u 0()1
1
10
ln ln(1),2,3,n
n M
t t dt M t dt n n
?+≤=
=∫
∫L . ()1
ln ln(1)0n
n M t t dt n
→∞
+≤
???→∫
.所以, 0lim =∞→n n u .
=
≤n u 0【点评】本题主要考点:初等函数性质,积分的保号性与比较性质,分部积分法与极限运
算。这些都是水木艾迪清华老师所强调的星级考点,相似例题可参考春季基础班与暑期强化班教材相关内容。注意本题中积分为第2类广义积分。 注:若改为判断级数
的收敛性, 方法2-3的做法就不行了。
1
n
n u
∞
=∑(18)(本题满分10分)求幂级数∑∞
=???1211
2)1(n n
n x n 的收敛域及和函数。 【解析与点评】 记n
n n x n x u 2112)1()(??=?,由于221
1212lim )()(lim x x n n x u x u n n
n n =+?=∞→+∞→, 所以当,即12
=1 )(n n x u 1>x 是,发散,因此幂级 数的收敛半径∑∞ =1 )(n n x u 1=R 。 当时,原级数为1±=x ∑∞ =???1 1 12)1(n n n ,由莱布尼茨判别法知此级数收敛,因此幂级数的收敛域为[-1,1]。 设=)(x S )11(1 2)1(1 211≤≤????∞ =?∑x x n n n n ,则 ∑∞ =??+=?=′1 2 2 2111 1x S n n n x x ) ()(,又0)0(=S ,故 x dt t x S x arctan 11 )(02 =+=∫,于是∑∞ =???1211 2)1(n n n x n =]1,1[,arctan )(?∈=x x x x xS 。 考点:幂级数收敛域与求和法,水木艾迪春季班、暑期强化班教材的基本例题类型,幂级数求和法的要点和重要技巧是水木艾迪清华老师强调的另部件安装法(水木艾迪考研数学三十六技之一)。 (19)(本题满分10分) 设P 为椭球面:上的动点,若在点S 12 22=?++yz z y x S P 处的切面与面垂直,求点的轨迹C ,并计算曲面积分xOy P ∫∫ ∑ ?++?+= dS yz z y z y x I 44)23(2 2 其中 是椭球面位于曲线上方的部分。 ∑ S C 【解析与点评】 椭球面上点S P ),,(z y x 处的法向量是}2,2,2{y z z y x n ??=, 点处的切平面与面垂直的充要条件是 P xOy })1,0,0{(0==?k k n ,即,所以点P 的轨迹C 的方程为即02=?y z ? ?? =?++=?,1,022 22yz z y x y z ?? ? ??=+=?,143,022 2y x y z 取 }143),{(22≤+=y x y x D , 记 的方程为∑ D y x y x z z ∈=),(),,(,由于 z y yz z y z y z y z y x y z x z 244)22()22(1)()(1222222??++= ??+?+=??+??+,所以 dxdy y z x z yz z y z y x I D ∫∫ ??+??+?++?+=2222)()( 1442)3( = ∫∫+ D dxdy x )3(=∫∫d dxdy 3=π2 考点:空间曲面与曲线,多元微分几何意义,曲面积分与二重积分计算。属于水木艾迪春 季班、暑期强化班教材的基本例题类型, 第二型曲面积分是水木艾迪清华老师在年底点题班上特别强调的2010考点并给出类似模拟题目。(水木艾迪考研数学三十六技之一) (20)(本题满分11分)设,.已知线性方程组存在2 个不同的解, ???????????=λλλ1101011A ??? ? ??????=11a b b Ax =(Ⅰ)求;,a λ (Ⅱ)求方程组b Ax =的通解。 【解析与点评】(Ⅰ)设21,ηη 为b Ax =的2个不同的解,则21ηη?是的一个非零解,故 0=Ax 0)1()1(2 =+?=λλA 。 于是11?==λλ或。 当1=λ时,因为,所以)()(r b A r A M ≠b Ax =无解,舍去。 当1?=λ时,对的增广矩阵施以初等行变化 b Ax =→B =?? ??????? ???? ? ? ? +??200021 01023101 ?? ?????? ? ????=1111102011 1)(a b A M 因为有解,所以a=-2. b Ax =(Ⅱ)当2,1?=?=a λ时, B=????????? ???? ?? ? ??000021 010231 01,所以b x =A 的通解为???? ??????+???????????=10101321k x , 其中k 为任意常数。 【点评与分析】本题考查的知识点是线性方程组的理论及求解的能力。由题设非齐次线性方程组有两个解,就有无穷多解,其导出组就有非零解,导出组的系数矩阵列不满秩,其行列式等于零。从而求出参数λ的值。利用方程组有解的条件,判断λ的取值。再利用方程组有解的条件,通过消元法求得a 的值。最后通过对增广矩阵作初等行变换,求得方程组的通解。 (21)(本题满分11分)已知二次型在正交变换下的标准形式为,且Q 的第3列为Ax x x x x f T =),,(321Qy x =2 22 1y y +T 2 2,0,22( 。 (Ⅰ)求矩阵A ; (Ⅱ)证明E A +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵。 【解析与点评】 (Ⅰ)由题设,A 的特征值为1,1,0,且为T )1,0,1(A 的属于特征值0的一个特征向量。 设为T x x x ),,(321A 的属于特征值1的特征向量, 因为A 的属于不同特征值的特征向量正交,所以,即0101),,(321=??? ? ? ?????x x x 031=+x x 。取T 2 2,0,22 ( ?,为 T )0,1,0( A 的属于特征值1的两个正交的单位特征向量。令 ???? ?? ?????????=220 2 2010 2202 2Q ,则有 ,故 ??????????=011AQ Q T ???? ????????=??????????=10102010121011T Q Q A 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知A 的特征值为1,1,0,于是A+E 的特征值为2,2,1,又E A +为实 对称矩阵,故E A +为正定矩阵。 【点评与分析】本题考查的知识点有二次型用正交变换化标准形的理论,实对称矩阵通过正交矩阵和对角矩阵相似的理论,以及二次型正定性的判定等。 首先根据正交变换下的标准形,确定二次型矩阵的特征值及特征向量,再根据实对称矩阵不同特征值的特征向量正交求得特征值1的特征向量,特征向量单位化,构造正交矩阵,进一步求出矩阵A 。由A 的特征值求出E A +的特征值,利用特征值判定E A +是正定矩阵。 (22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为 ,求常数),(Y X ∞+∞+∞<∞=?+?y x Ae y x f y xy x ,,),(2 2 22A 及条件概率密度)(x y f X Y . 【解析与点评】先考虑X 的边缘密度,由公式知, ∞ <<∞?===== ??? ? ????? ?∞ +∞ ???? ? ?????? ?∞ +∞ ????∞ +∞ ?∫ ∫∫x e A Ae dy e Ae dy e e A dy y x f x f x x x y x x x y X ,2 1212 121),()(2 22 2 22 2 2 212212)()(π πππ π 这里 2 2212)(2 1 21??? ? ?????? x y e π 及 2 22122 121??? ? ????? x e π 恰好为正态分布)21,(x N 以及)2 1,0(N 的密度 函数,故π 1 = A 。 又由于当∞<<∞?x 时,有)(),()|(|x f y x f x y f X X Y = =∞<<∞???y e x y ,12 )(π 。 评注:本题实际上是考查二元正态分布的边缘分布与条件分布问题,由辅导教程中的结论 知道,此二分布均为正态分布,所以最后的结论就自然获得了。在本题中,大家要时刻牢记一元正态分布的概率密度的定义以及基本性质,这样可避免进行复杂的数学运算,而直接应用相关的结论,这种技巧和方法,我们在推导二元正态分布的条件分布时,进行过详细的介绍。属于基本的题型。 (23)(本题满分11分) 设总体X 的概率分布为 X 1 2 3 P θ?1 2θθ? 2θ 其中参数)1,0(∈θ未知。以表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为)中等于i n i N 的个数。试求常数,使为)3,2,1(=i 321,,a a a ∑== 3 1 i i i N a T θ的无偏估计量,并求T 的方差。 【解析与点评】由简单随机样本的概念知道,服从参数为n 和1N θ?1的二项分布,即 )1,(~1θ?n B N ,同理,。 ),(~),,(~2322θθθn B N n B N ?因此,有二项分布的期望的结论可得, 2 231212 32213 1 3 1 )()()()1()(θθθθθθa a n a a n na n a n a n a EN a N a E ET i i i i i i ?+?+=+?+?===∑∑== 由题设,T 为θ的无偏估计,即θ=ET ,故必有 ??? ??=?=?=, 0)(,1)(, 023 121a a n a a n na 从而.1,1,03 21n a n a a === 由于)(1 32N N n T += ,又由于n N N N =++321,故n N T 11?= n n n DN n n N D DT θ θθθ)1()1(11)1(2121?=?==? =。 评注:本题实际上是考查无偏估计的概念与二项分布的概念与性质的题目,由辅导教程中介绍的二项分布背景知道,这里的均服从二项分布,而二项分布的期望和方差是基本的内容,因此,只要大家知道无偏估计的定义,就容易求得题中的常数,但在求i N i a T 的方差时,由于之间不独立,直接用方差的性质来求i N DT 是非常麻烦的,但一旦大家注意到 ,就可以将求n N N N =++321DT 的计算简单化,这种思想是简化计算的常用技巧。