向量在数学中的应用

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向量在数学中的应用

作者:武心兵张峥宿纪兵王红刘春燕

来源:《中国科技博览》2015年第22期

中图分类号:TE34 文献标识码:A 文章编号:1009-914X(2015)22-0205-01

高中数学中引进向量,给中学数学带来了广阔的天地,无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体,既有代数的抽象性,又有几何的直观性,用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.

毫不夸张地说,向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础,突出向量作为工具的作用。高中数学教科书中的向量内容进行分析,把向量作为数学工具来解决数学问题。本文列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例,并进行分类讨论,内容如下:

一、向量的应用

1.三角函数中向量的运用

证明正余弦的两角和与差公式,是向量数量积的一个直接运用,较之传统证明方法更加简洁明了。

例1、利用向量方法证明公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

证明:在单位圆中作向量,它们与x轴正向的夹角分别是α、β,则点a的坐标是

(cosα,sinα),点b的坐标是(cosβ,sinβ),

则· = cosαcosβ+sinαsinβ

又 ·= |a|·|b| cos(α-β)

则等式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ?成立。

可见,从向量角度解决三角函数方面的问题更方便快捷。

2.平面几何中向量的运用

向量方法是借助向量的几何意义,把问题转化为向量的计算,通过向量计算达到求解目的,用向量方法解决几何问题,一方面体现向量的运用性,另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握。

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