【高考数学】二轮大复习 专题七选考题 第2讲不等式选讲
第2讲 不等式选讲
高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围,不等式的证明等,结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式,绝对值不等式的应用成为命题的热点,主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=-x 2+ax +4,g (x )=|x +1|+|x -1|. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.
解
(1)当a =1时,f (x )=-x 2+x +4,g (x )=|x +1|+|x -1|=???
2x ,x >1,
2,-1≤x ≤1,-2x ,x <-1.
①当x >1时,f (x )≥g (x )?-x 2+x +4≥2x , 解之得1 17-12. ②当-1≤x ≤1时,f (x )≥g (x )?(x -2)(x +1)≤0, 则-1≤x ≤1. ③当x <-1时,f (x )≥g (x )?x 2-3x -4≤0,解得-1≤x ≤4, 又x <-1,∴不等式此时的解集为空集. 综上所述,f (x )≥g (x )的解集为???? ?? ??? ?x ? ??-1≤x ≤ 17-12. (2)依题意得:-x 2+ax +4≥2在[-1,1]上恒成立. 则x 2-ax -2≤0在[-1,1]上恒成立. 则只需???12 -a · 1-2≤0,(-1)2 -a (-1)-2≤0, 解之得-1≤a ≤1. 故a 的取值范围是[-1,1]. 2.(2017·全国Ⅱ卷)已知实数a >0,b >0,且a 3+b 3=2. 证明:(1)(a +b )(a 5+b 5)≥4; (2)a +b ≤2. 证明 (1)(a +b )(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b +b 6 =(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab (a 4+b 4)=4+ab (a 2-b 2)2≥4. (2)因为(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3=2+3ab (a +b ) ≤2+3(a +b )24(a +b )=2+3(a +b )34, 所以(a +b )3≤8,因此a +b ≤2. 考 点 整 合 1.绝对值不等式的性质 定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b |≤|a |+|b |,当且仅当ab ≥0时,等号成立. 定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c |≤|a -b |+|b -c |,当且仅当(a -b )(b -c )≥0时,等号成立. 2.|ax +b |≤c ,|ax +b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)|ax +b |≤c ?-c ≤ax +b ≤c . (2)|ax +b |≥c ?ax +b ≥c 或ax +b ≤-c . 3.|x -a |+|x -b |≥c ,|x -a |+|x -b |≤c (c >0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数,利用函数的图象求解. 4.基本不等式 定理1:设a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab .当且仅当a =b 时,等号成立. 定理2:如果a ,b 为正数,则a +b 2≥ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 定理3:如果a ,b ,c 为正数,则a +b +c 3≥3 abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立. 定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立. 热点一 绝对值不等式的解法 【例1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=|x +1|-|2x -3|. (1)在图中画出y =f (x )的图象; (2)求不等式|f (x )|>1的解集 . 解 (1)f (x )=??? ??x -4,x ≤-1, 3x -2,-1 2,-x +4,x >3 2, 故y =f (x )的图象如图所示. (2)由f (x )的解析式及图象知, 当f (x )=1时,可得x =1或x =3; 当f (x )=-1时,可得x =1 3或x =5. 故f (x )>1的解集为{x |1 的解集为???? ??x |x <13,或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为? ??? ??x |x <1 3,或1 探究提高 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性,求解不等式,体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,常用的零点分段法的一般步骤:求零点;划分区间,去绝对值符号;分段解不等式;求各段的并集.此外,还常用绝对值的几何意义,结合数轴直观求解. 【训练1】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集; (2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|-1>0. 当x ≤-1时,不等式化为x -4>0,无解; 当-1 3 所以f (x )>1的解集为???? ?? x ???23 (2)由题设可得,f (x )=???x -1-2a ,x <-1, 3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a . 所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ? ???? 2a -13,0,B (2a +1,0),C (a ,a +1), △ABC 的面积S =12|AB |·(a +1)=2 3(a +1)2. 由题设得2 3(a +1)2>6,故a >2. 所以a 的取值范围为(2,+∞). 热点二 不等式的证明 【例2】 (2017·长沙调研)已知f (x )=|2x -1|+x +1 2的最小值为m . (1)求m 的值; (2)已知a ,b ,c 是正实数,且a +b +c =m ,求证:2(a 3+b 3+c 3)≥ab +bc +ca -3abc . (1)解 当x ≥12时,f (x )=3x -12在?????? 12,+∞上单调递增,且f (x )≥32-12=1;当 x <12时,f (x )=32-x 在? ? ???-∞,12上单调递减,且f (x )>32-12=1. 综上可得x =1 2时,f (x )取得最小值1,即m =1. (2)证明 a ,b ,c 是正实数,且a +b +c =1, 由a 3+b 3-a 2b -b 2a =a 2(a -b )+b 2(b -a ) =(a -b )(a 2-b 2)=(a +b )(a -b )2≥0, 则有a 3+b 3-a 2b -b 2a ≥0, 即a 3+b 3≥a 2b +b 2a =ab (a +b )=ab (1-c )=ab -abc , 所以a 3+b 3≥ab -abc . 同理可得b 3+c 3≥bc -abc ;c 3+a 3≥ca -abc . 上面三式相加得,2(a 3+b 3+c 3)≥ab +bc +ca -3abc ,当且仅当a =b =c =1 3取得等号. 探究提高 1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法,其中比较法和综合法是基础,综合法证明的关键是找到证明的切入点. 2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑用反证法. 【训练2】 (2015·全国Ⅱ卷)设a ,b ,c ,d 均为正数,且a +b =c +d ,证明: (1)若ab >cd ,则a +b >c +d ; (2)a +b >c +d 是|a -b |<|c -d |的充要条件. 证明 (1)∵a ,b ,c ,d 为正数,且a +b =c +d , 欲证a +b >c +d ,只需证明(a +b )2>(c +d )2, 也就是证明a +b +2ab >c +d +2cd , 只需证明ab >cd ,即证ab >cd . 由于ab >cd ,因此a +b >c +d . (2)①若|a -b |<|c -d |,则(a -b )2<(c -d )2, 即(a +b )2-4ab <(c +d )2-4cd . ∵a +b =c +d ,所以ab >cd . 由(1)得a +b >c +d . ②若a +b >c +d ,则(a +b )2>(c +d )2, ∴a +b +2ab >c +d +2cd . ∵a +b =c +d ,所以ab >cd . 于是(a -b )2=(a +b )2-4ab <(c +d )2-4cd =(c -d )2. 因此|a -b |<|c -d |. 综上,a +b >c +d 是|a -b |<|c -d |的充要条件. 热点三 与绝对值不等式有关的最值问题 【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )=|x +1|-|x -2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2-x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 解 (1)f (x )=|x +1|-|x -2|=???-3,x ≤-1, 2x -1,-1 由f (x )≥1可得 ①当x ≤-1时显然不满足题意; ②当-1 ③当x ≥2时,f (x )=3≥1恒成立,∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}. (2)不等式f (x )≥x 2-x +m 等价于f (x )-x 2+x ≥m , 令g (x )=f (x )-x 2+x ,则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m . 由(1)知g (x )=???-x 2+x -3,x ≤-1, -x 2 +3x -1,-1 ①当x ≤-1时,[g (x )]max =g (-1)=-3-1-1=-5; ②当-1 +3·32-1= 54; ③当x ≥2时,[g (x )]max =g (2)=-22+2+3=1. 综上,[g (x )]max =54,故m ≤5 4. 所以实数m 的取值范围是? ? ? ??-∞,54. 探究提高 1.不等式恒成立问题,存在性问题都可以转化为最值问题解决. 2.本题分离参数m ,对含绝对值符号的函数g (x )分段讨论,求出g (x )的最大值, 进而求出m 的取值范围,优化解题过程. 【训练3】 (2017·郑州三模)已知不等式|x -m |<|x |的解集为(1,+∞). (1)求实数m 的值; (2)若不等式a -5x ?????1+1x -??????1-m x x 对x ∈(0,+∞)恒成立,求实数a 的取 值范围. 解 (1)由|x -m |<|x |,得|x -m |2<|x |2, 即2mx >m 2, 又不等式|x -m |<|x |的解集为(1,+∞), 则1是方程2mx =m 2的解, 解得m =2(m =0舍去). (2)∵m =2,∴不等式a -5x ?????1+1x -??????1-m x x 对x ∈(0,+∞)恒成立等价于 不等式a -5<|x +1|-|x -2| 3,x ≥2, 当0 因此函数f (x )的值域为(-1,3]. 从而原不等式等价于???a -5≤-1, a +2>3.解得1 所以实数a 的取值范围是(1,4]. 1.绝对值不等式的三种常用解法:零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想,后者体现了数形结合思想的应用. 2.利用绝对值三角不等式定理|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |求函数最值,要注意其中等号成立的条件,利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. 3.分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分 析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 . 1.设a >0,|x -1| 3,求证|2x +y -4| 3, 所以|2x +y -4|=|2(x -1)+(y -2)|≤2|x -1|+|y -2|<2×a 3+a 3=a .故原不等式得证. 2.(2017·石家庄三模)在平面直角坐标系中,定义点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“直角距离”为L (P ,Q )=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|,已知A (x ,1),B (1,2),C (5,2)三点. (1)若L (A ,B )>L (A ,C ),求x 的取值范围; (2)当x ∈R 时,不等式L (A ,B )≤t +L (A ,C )恒成立,求t 的最小值. 解 (1)由定义得|x -1|+1>|x -5|+1, 则|x -1|>|x -5|,两边平方得8x >24,解得x >3. 故x 的取值范围为(3,+∞). (2)当x ∈R 时,不等式|x -1|≤|x -5|+t 恒成立,也就是t ≥|x -1|-|x -5|恒成立, 因为|x -1|-|x -5|≤|(x -1)-(x -5)|=4, 所以t ≥4,t min =4. 故t 的最小值为4. 3.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )=??????x -12+??????x +12, M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ; (2)证明:当a ,b ∈M 时,|a +b |<|1+ab |. (1)解 f (x )=?????-2x ,x ≤-1 2, 1,-12 2, 2x ,x ≥12. 当x ≤-1 2时,由f (x )<2得-2x <2, 解得x >-1,所以-1 2; 当-12 2时,f (x )<2恒成立. 当x ≥1 2时,由f (x )<2得2x <2, 解得x <1,所以1 2 所以f (x )<2的解集M ={x |-1 (2)证明 由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1 所以(a +b )2<(1+ab )2,因此|a +b |<|1+ab |. 4.(2017·长郡中学二模)设函数f (x )=|2x -1|-|x +2|. (1)解不等式f (x )>0; (2)若?x 0∈R ,使得f (x 0)+2m 2<4m ,求实数m 的取值范围. 解 (1)①当x <-2时,f (x )=1-2x +x +2=-x +3. 令-x +3>0,解得x <3,从而x <-2. ②当-2≤x ≤1 2时,f (x )=1-2x -x -2=-3x -1, 令-3x -1>0,解得x <-1 3, 又∵-2≤x ≤12,∴-2≤x <-1 3. ③当x >1 2时,f (x )=2x -1-x -2=x -3, 令x -3>0,解得x >3. 又∵x >1 2,∴x >3. 综上,不等式f (x )>0的解集为? ? ? ??-∞,-13∪(3,+∞). (2)由(1)得f (x )=??? ??-x +3,x <-2, -3x -1,-2≤x ≤1 2,x -3,x >1 2, ∴f (x )min =f ? ?? ?? 12=-52. ∵?x 0∈R ,使得f (x 0)+2m 2<4m ,∴4m -2m 2>-5 2, 整理得4m 2-8m -5<0,解得-12 2, ∴m 的取值范围是? ?? ?? -12,52. 5.(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )=|2x -a |+a . (1)当a =2时,求不等式f (x )≤6的解集; (2)设函数g (x )=|2x -1|.当x ∈R 时,恒有f (x )+g (x )≥3,求a 的取值范围. 解 (1)当a =2时,f (x )=|2x -2|+2. 解不等式|2x -2|+2≤6得-1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |-1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时,f (x )+g (x )=|2x -a |+a +|1-2x | ≥|2x -a +1-2x |+a =|1-a |+a , 当x =1 2时等号成立, 所以当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3等价于|1-a |+a ≥3.① 当a ≤1时,①等价于1-a +a ≥3,无解. 当a >1时,①等价于a -1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞). 6.(2017·乐山二模)已知定义在R 上的函数f (x )=|x -m |+|x |,m ∈N *,若存在实数x 使得f (x )<2成立. (1)求实数m 的值; (2)若α,β>1,f (α)+f (β)=6,求证:4α+1β≥94. (1)解 因为|x -m |+|x |≥|x -m -x |=|m |, 要使|x -m |+|x |<2有解,则|m |<2,解得-2 (2)证明 α,β>1,f (α)+f (β)=2α-1+2β-1=6, ∴α+β=4, ∴4α+1β≥14? ???? 4α+1β(α+β) =14? ? ???5+4βα+αβ≥14? ????5+24βα·αβ=9 4 , 当且仅当4βα=αβ , 即α=83,β=4 3时“=”成立, 故4α+1β ≥94. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 16 不等式选讲 选考内容 (二)不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1). (2). (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: . 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. (1)柯西不等式的向量形式: (2). (3). (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 4.会用向量递归方法讨论排序不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 6.会用数学归纳法证明伯努利不等式: 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1.从考查题型来看,涉及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,求最值问题等. 3.从考查热点来看,重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等,绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 (2018新课标全国Ⅱ理科)设函数 . (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围. 样题2 (2018新课标全国Ⅲ理科)设函数 . (1)画出()y f x =的图象; (2)当[)0x +∞∈,,,求a b +的最小值. 【解析】(1)()y f x =的图象如图所示. 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D 高考数学《不等式选讲》专项复习 一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义,会利用绝对值的定义解不等式,利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义,会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式,会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容,是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点,不等式的应用为次重要考点,不等式证明放在一般位置,难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成 (1), >>?>; a b b c a c (2),c >>?+>+; a b d a c b d (3)0,c0 >>>>?>. a b d ac bd (合成后为必要条件) 2.同解变形 >?+>+; (1)a b a c b c (2)0,0, >?>>?<<; a b c ac bc c ac bc (3)11 000a b b a >>? >>?>>. (变形后为充要条件) 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-< (二).含绝对值的不等式 (1)0,||a x a a x a >>-<<;0,||,a x a x a x a >>?>><-或 (2)22||||a b a b >?> (3)||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式 (1)222a b ab +>(当且仅当等号成立条件为a b =) (2)0,0, 2 a b a b +>>≥a b =) ; 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立) (3)柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+(当且仅当ad bc =时取等号) ①几何意义:||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广:22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立. 专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络 其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时, 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ (6),、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; (7))(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 专题十五不等式选讲大题 (一)命题特点和预测: 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题,发现8年8考,主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题. (二)历年试题比较: . 时,求不等式 时不等式成立,求的取值范围. 已知函数, 的解集; 的解集包含 已知函数 ?并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 (2018年)【解析】(1)当时,,即 故不等式的解集为. (2)当时成立等价于当时成立.若,则当时; 若,的解集为,所以,故. 综上,的取值范围为. (2017年)【解析】 x>时,①式化为,从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. (2016年)【解析】(I) y=的图像如图所示. f ) (x (II )由)(x f 的表达式及图像,当1)(=x f 时,可得1=x 或3=x ; 当1)(-=x f 时,可得3 1 = x 或5=x , 故1)(>x f 的解集为{} 31< 1.(2018?卷Ⅱ)设函数 (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围 2.(2013?辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1 (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.3.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 4.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 5.(2017?新课标Ⅰ卷)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分) (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 6.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 7.(2018?卷Ⅰ)已知 (1)当时,求不等式的解集 (2)若时,不等式成立,求的取值范围 8.(2018?卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1| (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 10.(2014?新课标II)设函数f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 11.(2015·福建)选修4-5:不等式选讲 已知,函数的最小值为4.(1)求的值; 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, . 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<?? x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得: ①当1-x ≤时显然不满足题意; ②当12x -<<时,211-x ≥,解得1x ≥; ③当2x ≥时,()31=f x ≥恒成立.综上,()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. (2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥, 典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 专题16 不等式选讲 选考内容 (二)不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1) a b a b . (2)a b a c c b . (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ; ;ax b c ax b c x a x b c . 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明 . (1)柯西不等式的向量形式: ||||||.(2) 22222()(+)()a b c d ac bd . (3)222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y . (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 4.会用向量递归方法讨论排序不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明 一些简单问题. 6.会用数学归纳法证明伯努利不等式: 了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立 . 7.会用上述不等式证明一些简单问题 .能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1.从考查题型来看,涉及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,求最值问题等 . 3.从考查热点来看,重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等,绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解样题1 (2017新课标全国Ⅰ理科)已知函数 2–4()x ax f x ,11()x x g x ||||. (1)当a =1时,求不等式 ()()f x g x 的解集;(2)若不等式()()f x g x 的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 所以a 的取值范围为[1,1]. 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法, 也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. 2012高考真题分类汇编:不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即12 1 <<-x 或1=x ,所以不等式的解为12 1 ≤<- x ,选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0,b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ,则a >b B.若2a +2a=2b +3b ,则a >b C.若2a -2a=2b-3b ,则a >b D.若2a -2a=a b -3b ,则a <b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其 余选项用同样方法排除.故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品,y 桶乙产品,总利润为Z , 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+, 高考数学专题练习:不等式与线性规划 1。若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1,43 B 。? ???? 12,43 C 。? ? ???1,74 D 。? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4。 综上,12<a <7 4,故选D 。 2。已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 。(a -1)(b -1)<0 B 。(a -1)(a -b )>0 C 。(b -1)(b -a )<0 D 。(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(-3,1)∪(3,+∞) B 。(-3,1)∪(2,+∞) C 。(-1,1)∪(3,+∞) D 。(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3。由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-3 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2-(m +1)x -m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ=[(m +1)]2+4m >0.即m 2+6m +1>0, 解得m >-3+22或m <-3-2 2. 答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件???x -y +1≥0, x +y -3≥0,x -3≤0, 则 z =x -2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x =3与直线x -y +1=0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z =x -2y 得到-5. 答案 -5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件???2x -y +1≥0, x -2y -1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y -5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知, 当直线y =-23x +53+z 3过点A (-1,-1)时,z 取得最小值,即z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10. (2017·西安检测)已知变量x ,y 满足???2x -y ≤0, x -2y +3≥0,x ≥0, 则z =(2)2x +y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m =2x +y ,由图象可知当直线y =-2x +m 经过点A 时,直线y =-2x +m 的纵截距最大,此时m 最大,故z 最大.由?????2x -y =0,x -2y +3=0,解得?????x =1,y =2, 即A (1,2).代入目标函数z =(2)2x +y 得,z =(2)2×1+2=4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ,y 满足???2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0, 则2x +y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域,如图中阴影部分所示, 令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ,y 满足???x +y ≤2, 2x -3y ≤9,x ≥0, 则x 2+y 2的最大值是( )高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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