广东省揭阳市2013届高三第一次模拟数学理试题 2013揭阳一模 Word版含答案

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揭阳市2013年高中毕业班第一次高考模拟考试试题

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：

样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L 的回归方程为：y bx a ∧

=+

其中1

12

2

21

1

()()

()

n

n

i

i i

i

i i n

n

i

i

i i x

x y y x y

n x y

b x

x x

n x

====---=

=

--∑∑∑∑，

1212,n

n

x x x y y y x y n

n

++???+++???+=

=

，a y b x =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21

z z =

A ．13i -+

B ．3i

-- C ．3i + D ．3i -

2．已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1

{|(),0}2

x

B y y x ==>，则A B I =

A ．(1,)+∞

B ．(1,1)-

C ．(0,)+∞

D ．(0,1) 3．在四边形ABCD

中，“AB DC

=uu u r uuu r

，且

AC BD ?=uuu r

”是“四边形ABCD 是菱形”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．当4

x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ?=+>取得最小值，则函数3(

)4

y f x π

=- A ．是奇函数且图像关于点(

,0)2

π

对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称

俯视图

侧视图

C ．是奇函数且图像关于直线2

x π

=

对称 D 5．一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ） 则该组合体的体积为．

A. 720003cm

B. 640003cm

C. 560003cm

D. 440003cm 图（1） 6．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和

n S 取最大值时，n 的值为

A.20

B.21

C.22

D.23

7．在图（2）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，

则能输出数对(,)x y 的概率为 A ．

14

B ．

13

C ．

34

D ．

23

8．已知方程sin x k x

=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<）

，则下面结论正确的是： A ．1tan()4

1π

ααα++=- B ．1tan()4

1π

ααα-+

=

+ C ．1tan()4

1π

βββ

++

=

- D ．1tan()4

1πβββ

-+

=

+

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．计算：112

2

log sin 15log cos15+o

o

= ．

10

．若二项式1(n x +

的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6

x

的系数为 ．(用数字作答) 11．一般来说，一个人脚掌

越长，他的身高就越高，现

对10名成年人的脚掌长x

与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直

线附近，经计算得到一些数据：

10

1

()()577.5i

i i x

x y y =--=∑，10

2

1

()82.5i i x x =-=∑；某刑侦

人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5cm ，则估计案发嫌疑人的身高

图（3）为 cm ．

12．已知圆

C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点，且经过抛物线28y x =的焦点，则圆C 的方程为 ．

13．函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为“非减函数”．设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）(0)0g =；（2）1()()3

2

x

g g x =

；

（3）(1)1()g x g x -=-,则(1)g =

、 5()12

g = ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：ρ=和曲线2C ：cos(ρθ+

1C 上到2C 的点的个数为 ．

15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点 E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .若CB =2， CE =4，则AD 的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在A B C ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =．

（1）求角C 的大小； （2sin()2

A B π

-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．

17. （本小题满分12分）

根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．

（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望； （2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率.

D C B A E

F M

N

P

F

E

A B

C

D

图（6）

18．（本小题满分14分）

如图（4），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，

2AE BF ==，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使//E F A B 且2EF AB =，得一简单组合体ABC D EF 如图（5）示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点．

（1）求证：//M N 平面BC F ； （2）求证： AP ⊥D E ； （3）当A D 多长时，平面C D E F 与

平面A D E 所成的锐二面角为60 ？ 图（4） 图（5）

19．（本小题满分14分）

如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆:

2

2

2+y

a

x

C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ?uuu r uuu r

最小值为0（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）

已知函数()(0,1x f x x x

α

αα=>+为常数)，数列{}n a 满足：11

2

a =，1()n n a f a +=，*n N ∈．

（1）当1α=时，求数列{}n a 的通项公式； （2）在（1）的条件下，证明对*n N ?∈有：12323412(5)12(2)(3)

n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=

++L ；

（3）若2α=，且对*n N ?∈，有

01n a <<，证明：118

n n a a +-<．

21．（本小题满分14分）

已知函数()ln f x x =，2

()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的

切线平行于x 轴．

（1）确定a 与b 的关系； （2）试讨论函数()g x 的单调性；

（3）证明：对任意*

n N ∈，都有()2

1

1ln 1n

i i n i

=-+>

∑

成立．

揭阳市2013年高中毕业班高考第一次模拟考

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：CDCC BBDC 解析： 4．依题意可得3(

)sin 4

y f x A x π=-=-，故选C.

5．由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积

3

60401020405064000()V cm =??+??=，故选B.

6．由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+1361

d a ?=-

，由1(1)n a a n d =+-

113(1)()061

a n a =+--

≥64121

33

n ?≤

=,所以数列{}n a 前21项都是正数，以后各项都

是负数，故n S 取最大值时，n 的值为21，选B. 7．依题意结合右图易得所求的概率为：12

12113

3

x dx -

=-

=

?

，选D.

8．解析：sin |sin |x k x kx x

=?=，

要使方程sin (0)x k k x

=>在(0,)+∞有两个不同的解，

则|sin |y x =的图像与直线(0)y k x k =>有且仅有三个公共点，所以直线y k x =与|sin |y x =在3,2ππ?

? ???内相切，

且切于点(,sin )ββ-，由s i n c o s t a n βββββ--=?=，1tan()4

1πβββ

+∴+

=

-，选C

二．填空题：9.2；10.9； 11.185.5；12. 2

2

115()()2

2

2

x y -

+-

=

[或

2

2

20x y x y +---=]；13.1（2分）、

12

（3分）；14.3；15.

245

.

解析：

10.根据已知条件可得：36369

n n

C C n

=?=+=，所以(n

x+的展开式的通项为

3

9

92

199

1

()

2

r

r r r

r r

r

T C x C x

-

-

+

==，

令

3

962

2

r

r

-=?=，所以所求系数为22

9

1

()9

2

C=.

11.回归方程的

斜率

10

1

10

2

1

()()

577.5

7

82.5

()

i i

i

i

i

x x y y

b

x x

=

=

--

===

-

∑

∑

，24.5

x=，171.5

y=，截

距0

a y

b x

=-=，即回归方程为7

y x

∧

=，当26.5

x=，185.5

y

∧

=，

12．易得圆心坐标为

11

(,)

22

，半径为r=故所求圆的方程为22

115

()()

222

x y

-+-=【或2220

x y x y

+---=. 】

13．在（3）中令x=0得(0)1(1)0

g g

=-=，所以(1)1

g=，在（1）中令1

x=得

111

()(1)

322

g g

==，在（3）中令

1

2

x=得

11

()1()

22

g g

=-，故

1

2

<，所以

151

()()()

3122

g g g

≤≤，故

51

()

122

g=．

14．将方程ρ=cos()

4

π

ρθ+=化为直角坐标方程得

222

x y

+=与20

x y

--=，知

1

C

2

C为直线，因圆心到直线20

x y

--=，故满足条件的点的个数3

n=. 15．设r是⊙O的半径．由2

CE CA CB

=?，解得r=3.由

C O O E

C A A D

=解得

24

5

A D=.

三．解答题：

16．解：（1）由sin cos

c A C

=结合正弦定理得，

sin sin

a c

A C

==----2分从而sin C C

=，tan C=-----------------------------------------------4分∵0Cπ

<<，∴

3

C

π

=；--------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知

2

3

B A

π

=--------------------------------------------------------------7分

∴sin()cos

2

A B A B

π

-+=----------------------------------------8分

N

C

D

2cos()3A A π=--

22cos

cos sin

sin 3

3

A A A π

π=

--------9分

1sin cos 22

A A =

+

s i n ()

6

A

π

=+--------------10分 ∵203

A π<<，∴

56

6

6

A π

π

π<+

< 当62

A π

π

+

=

sin()2

A B π

-+取得最大值1，------------------------------11分

此时,3

3

A B π

π

=

=．-----------------------------------------------------------------------12分

17.解. (1) ξ的取值为1,2,3,4，5. -------------------------------1分 (1)0.5P ξ==,

(2)(10.5)0.60.3P ξ==-?=

(3)(10.5)(10.6)0.70.14

P ξ==-?-?=

(4)(10.5)(10.6)(10.7)0.80.048

P ξ==-?-?-?=(5)(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)0.012P ξ==-?-?-?-=--------------------6分

【或(5)1(1)(2)(3)(4)0.012P P P P P ξξξξξ==-=-=-=-==】

∴ξ的分布列为：

∴10.520.330.1440.04850.012E ξ=?+?+?+?+?=1.772--------10分 （2）李先生在三年内领到驾照的概率为：

1(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.9988P =--?-?-?-?-=-----------------12分

18．（1）证明：连A C ，∵四边形A B C D 是矩形，N 为B D 中点，

∴N 为A C 中点，--------------------------------------------------------------1分 在A C F ?中，M 为A F 中点，故//M N C F --------------------------3分

∵C F ?平面BC F ，M N ?平面BC F ，//M N ∴平面BC F ；---4分

（其它证法，请参照给分）

F

（2）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I ∴AD ⊥平面ABFE

∵A P ?平面ABFE ，∴AP AD ⊥，------------------5分 ∵P 为E F

中点，∴FP AB ==结合//A B E F ，知四边形ABFP 是平行四边形

∴//A P B F ，2AP BF ==----------------------------------------------------7分

而2,AE PE ==222AP AE PE += ∴90EAP ∠= ，即AP AE ⊥-----8分 又AD AE A =I ∴AP ⊥平面A D E ，

∵D E ?平面A D E ， ∴AP ⊥D E .------------------------------------------------9分 （3）解法一：如图，分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系

设(0)AD m m =>，则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),(2,A D m E P 易知平面A D E 的一个法向量为(2,0,0)AP =uu u r

，-----------10分 设平面D E F 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0

n PE n DE ??=???=??r uur r uuu r

故22020

x y y m z -+=??

-=?，即020

x y y m z -=??

-=?

令1x =，则2

1,y z m ==，故2

(1,1,)n m =r ----------------------------------------11分

∴cos ,||||

AP n AP n AP n ?<>==uu u r r

uu u r r uu u r r

12

=

，m =，-------------------------------------------------------13分

即AD =C D E F 与平面A D E 所成的锐二面角为60

．------------------------14分

【解法二：过点A 作AM D E ⊥交DE 于M 点，连结PM ，则,DE PM ⊥

∴A M P ∠为二面角A-DE-F 的平面角，---------------------------------------------------------11分 由A M P ∠=600

，AP=BF=2得

AM tan 603

AP ==

o

，-------------------------------------12分

又AD AE AM D E ?=?

得23

AD =，

解得AD =

AD =

C D E F 与平面A D E 所成的锐二面角为60

．----14

分】

19.解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x P F +=，),(2y c x P F -=-------------1分

[]a a x c x a

a c

y x PF PF ,,112

2

2

2

2

2

2

21-∈-+-=

-+=? -----------------2分

由12PF PF ?uuu r uuu r

最小值为0得210122=?=?=-a c c ，-------------------3分

∴椭圆C 的方程为

12

2

2

=+y

x

．---------------------------------------------4分

（2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x m kx m +++-=

∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ?=-+-=，化简得

2

2

12m k =+-------------------------------------------------------------------------------------7分

同理，2212n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分 设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则

1=，即2222

||1k t m k -=+，--------------------------------------10分 把2212k m +=代入并去绝对值整理，

2

2

(3)2k t -=或者2

2

(1)0k t -=

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立

则2

10t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分

②当直线12,l l

斜率不存在时，其方程为x =

x =---------------------------13分

定点(1,0)-到直线12,l l

的距离之积为1)1=； 定点(1,0)到直线12,l l

的距离之积为1)1=；

综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分

20．解：（1）当1α=时，1()1n n n n

a a f a a +==

+，两边取倒数，得1

111n n

a a +-=，----2分

故数列1{

}n

a 是以

1

12a =为首项，1为公差的等差数列，

11n

n a =+，11

n a n =

+，*n N ∈．------------------------------------------------------------4分

（2）证法1：由（1）知11

n a n =

+，故对1,2,3...k =

121

(1)(2)(3)

k k k a a a k k k ++=

+++1

1

1[]2(1)(2)

(2)(3)

k k k k =

-++++-------------6分

∴12323412......n n n a a a a a a a a a +++++ 111111

1[(

)(

)...]22334

34

45

(1)(2)

(2)(3)

n n n n =-

+-

++

-

????+?+++

1

1

1[]223

(2)(3)

n n =

-

?++(5)12(2)(3)

n n n n +=

++．----------------------------------------9分．

[证法2：①当n=1时，等式左边11234

24

==??，等式右边1(15)112(12)(13)

24

?+=

=

?+?+，

左边=右边，等式成立；-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，

即12323412(5)......12(2)(3)

k k k k k a a a a a a a a a k k ++++++=++，

则当1n k =+时

12323412123(5)1

......12(2)(3)

(2)(3)(4)

k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a k k k k k ++++++++++=

+

+++++32

(5)(4)129201212(2)(3)(4)

12(2)(3)(4)

k k k k k k k k k k k k ++++++=

=

++++++2

(1)4(1)(23)(1)(2)(6)(1)[(1)5]12(2)(3)(4)

12(2)(3)(4)

12[(1)2][(1)3]

k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++=

==++++++++++

这就是说当1n k =+时，等式成立，-------------------------------------------------------8分 综①②知对于*n N ?∈有：12323412(5)......12(2)(3)

n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++．----9

分]

（3）当2α=时，12

2()1n n n n

a a f a a

+==

+

则12221(1)

11n n n n n n n n

n

a a a a a a a a

a

++-=

-=-++，---------------------------------------------10分

∵01n a <<， ∴2

122111(1)

(

)12

1n n n

n n n n n n

n

a a a a a a a a a

a

+++-+-=-≤?

++--------------------------------11分

2

11

4(1)2(1)2

n

n n a a a +=

?

+-++

1124

12

1

n n a a =

?++

-

+1

4≤

18

=

．--------------------13分

∵1n n a a =-与211

n n a a +=

+不能同时成立，∴上式“=”不成立，

即对*n N ?∈

，18

n n a a +-<

．-----------------------------------------------------------14分

【证法二：当2α=时，12

2()1n n n n

a a f a a +==+，

则3

122211n n n n n n n

n

a a a a a a a

a

+--=

-=

++----------------------------------------------------10分

又12

2(0,1),1,1n n n n

a a a a +∈∴

=

>+Q

*

11,[

,1),2

n n n a a a n N +∴>∴∈∈------------------------------------------------------------------11分

令3

2

1(),[,1),12

x x g x x x

-=

∈+则42

2

2

41(),(1)

x x g x x --+'=

+------------------------------------12分

当1

[,1),()0,2

x g x '∈<所以函数()g x 在1[,1)2

单调递减，故当

321

1()

132

2[,1),()12108

1()

2

x g x -∈≤=<+所以命题得证----------- ks5u ------------------14分】

【证法三：当2α=时，12

2()1n n n n

a a f a a +==

+，

*

112

2

1(0,1),1,,[,1),12

n n n n n n

n a a a a a n N a a ++∈∴=

>∴>∴∈∈+Q -------------------------11分 11112

2

2

2

1

12212()11(1)(1)

n n n n n n n n n

n n n a a a a a a a a a a a a --+-----=

-

=?

-++++

1112

2

11124222()()1

1

25

(1)(1)

22

n n n n n n a a a a a a ----

?

-=-<-+

+

∴数列1

{}n n a a +-单调递减，

1212

121

3

21

21081()

2

n n a a a a +?∴-≤-=

-

=

<

+，

所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】

21．解：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x

=

++

由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =---------------------------------------------------------------------------3分

（2）由（1）得2

2(21)1

'()ax a x g x x

-++=

(21)(1)

ax x x

--=

----------------------4分

∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞

∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，

由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，

即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；-------------------------------5分 当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a

=，

若

112a

<，即12

a >

时，由'()0g x >得1x >或102x a

<<

，由'()0g x <得

112x a

<<，

即函数()g x 在1

(0,)2a

，(1,)+∞上单调递增，在1(

,1)2a

单调递减；-----------------6分

若

112a

>，即102

a <<

时，由'()0g x >得12x a

>

或01x <<，由'()0g x <

得112x a

<<

，

即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a

+∞上单调递增，在1(1,)2a

单调递减；------------7分

若

1

12a

=，即1

2

a =

时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥，

即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，------------------------------------------------------------------8分

综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当102

a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,

)2a

单调递减；在1(

,)2a

+∞上单

调递增；

当12

a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，

当12

a >

时，函数()g x 在1(0,

)2a

上单调递增，在1(

,1)2a

单调递减；在(1,)+∞上单调递增．

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分

（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2

()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，

2

ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2

ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分

令*

11,x n N n

=+

∈，则2

111

ln(1)n

n

n

+

>

-

，-------------------------------------12分

2222111111111111

ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++-

2222111111111111

ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n

∴++++++>-+-+-++-

即()2

1

1ln 1n

i i n i

=-+>

∑

---------------------------------------------- ks5u -----------------------------14分

【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+， 则当2n ≥时，111ln()ln(1)n n n n a T T n

n

-+=-==+

，------ks5u-----------------------11分

显然1ln 2a =也满足该式， 故只需证2

2

1111ln(1)n n n

n

n

-+>

=

-

--------------------------------------------------------12分

令1x n

=

，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2()ln(1)h x x x x =+-+，0x >

则11(21)'()12120111x x h x x x x

x

x

+=

-+=

-+=

>+++，

()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，

∴2

2

1

1

1

1

ln(1)n n n n n -+

>

=

-

成立，

2222111111111111

ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n

∴++++++++>-+-+-++-

即()2

1

1ln 1n

i i n i

=-+>

∑

．----------------------------------------------------------------------------14分】

【证法三：令2

1

1()ln(1)i n

i i n n i

?==-=+-∑，

则2

(1)()ln(2)ln(1)(1)

n n n n n n ??+-=+--++2

111ln(1)1

1

(1)

n n n =+

-

+

+++----10分

令11,1x n =+

+则(1,2]x ∈，

*

1

1,,1

x n N n =-∈+

记2

2

()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+-----------------------12分 ∵1(21)(1)

()230x x h x x x

x

--'=

+-=

>∴函数()h x 在(1,2]单调递增，

又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ??+->，

∴数列()n ?单调递增，又(1)ln 20?=>，∴()2

1

1ln 1n

i i n i

=-+>∑

----------------------14分】