高考数学专题--定积分与微积分的基本定理

高考专题--定积分与微积分的基本定理

高考考点：1、定积分的计算

2、定积分的应用

高考中对定积分的考查主要是考查定积分的概念和几何性质，以及利用微积分定理计算定积分、使用定积分求曲边梯形的面积，并能解决一些简单的物理问题等．在解题时要熟练运用微积分定理及定积分的相关运算性质求解，必要时运用数形结合的思想求解.

考点1 定积分的计算

题组一用牛顿—莱布尼茨公式求定积分

调研1 已知函数1(10)()πcos (0)2

x x f x x x +-≤≤??=?<≤??，则π21()d f x x -=? A ．12

B ．1

C ．2

D ．32 【答案】D 【解析】π

ππ2002

221011013()d (1)d cos d ()|sin |1222

x f x x x x x x x x ---=++=++=+=???，故选D. ☆技巧点拨☆

1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤

（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；

（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；

（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；

（4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；

（5）计算原始定积分的值.

2．分段函数的定积分

分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．

题组二用定积分的几何意义求定积分

调研2 计算

333(cos )d x x x -=? .

【答案】0

【解析】∵3cos y x x =为奇函数，∴

333(cos )d 0x x x -=?. 调研3 若

222d 2m x x x -π--=?，则m 等于 A ．?1

B ．0

C ．1

D ．2 【答案】B

【解析】由已知可得: 22y x x =--的图象为圆：22(1)1x y ++=对应的上半部分，由定积分的几何意义可得0m =，故选B.

☆技巧点拨☆

1．求定积分的三种方法

（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；

（2）利用微积分基本定理求定积分；

（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分1

01d x x -?的几何意义是求单位圆面积的14，所以120π1d =4x x -?. 2．奇偶函数的定积分

（1）若奇函数y =f (x )的图象在[?a ，a ]上连续，则

()d 0a a f x x -=?；（2）若偶函数y =g (x )的图象在[?a ，a ]上连续，则

0()d 2()d a a a g x x g x x -=??. 考点2 定积分的应用

题组一利用定积分求平面图形的面积

调研1 已知a >0，若曲线y x =

、x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________. 【答案】49

【解析】由题意322002d |3

a a x x x ==?，所以a ＝49. 调研2 已知{()|,01}1,0x y x y Ω≤≤≤≤＝

，A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4所围成的曲边三角形的平面区域，若向平面区域Ω内随机投一点M ，则点M 落在区域A 内的概率为________．【答案】15

【解析】区域Ω对应的是边长为1的正方形，其面积为S ＝1.

区域A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4

围成的曲边三角形，如图中阴影部分，故区域A 的面积为S A ＝1

4510011d |55

x x x ==?.

所以点M 落在区域A 内的概率为15.

☆技巧点拨☆

利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下：

1．利用定积分求平面图形面积的步骤

①根据题意画出图形；

②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；

④计算定积分，写出答案．

注意：当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．

2．知图形的面积求参数

求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．

3．与概率相交汇问题

解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.

题组二定积分的物理意义

调研3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55()51V t t t

=-+

+(t 的单位:s ，v 的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是

A ．55ln 10 m

B ．55ln 11 m

C ．(12+55ln 7) m

D ．(12+55ln 6) m

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据

定积分与微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值难度:难解析过程：联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2），因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法：首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关系求解．利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路考查知识点： ? 用定义求定积分值难度:中解析过程：

规律方法：利用定积分的知识求解。知识点：定积分和微积分基本原理概述所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点：定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用知识点总结本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c

年级高二学科数学内容标题定积分的计算编稿老师马利军一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分? b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=? ，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图（3）中：dx )x (f b a ? 表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3） ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则