2001年IMO中国国家集训队选拔考试

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2001年IMO 中国国家集训队选拔考试

一、平面上给定凸四边形ABCD 及其内点E 和F ，适合AE ＝BE ，CE ＝DE ，∠

AEB ＝∠CED ，AF ＝DF ，BF ＝CF ，∠AFD ＝∠BFC ． 求证：∠AFD ＋∠AEB ＝π．

二、对给定的正整数a ，b ，b >a >1，a 不能整除b 及给定的正整数数列{}∞

=1n n b ，

满足对所有正整数n ，有1+n b ≥n b 2，是否总存在正整数数列{}∞

=1n n a 使得对所

有正整数n ，有{}b a a a n n ,1∈-+，且对所有正整数m ，l （可以相同），有

{}∞

=?+1n n l m b a a ．

三、给定大于1的整数k ，记R 为全体实数组成的集合．求所有的函数f ：R →R ，

使得对R 中的一切x 和y ，都有

()[]

()[]k

k x f y y f x f +=+．

四、给定大于3的整数n ，设实数2121,,,,,++n n n x x x x x 满足条件

21210++><<<<

试求下列的最小值：

???

?

??+???? ?

?+?

??

?

?????? ??∑∑∑∑=+++=++++=++=+n l l l l l l n k k k k k k n j j j n i i i x x x x x x x x x x x x x x 1122112212111211

并求使该式达到最小值的所有满足条件的实数组2121,,,,,++n n n x x x x x ．

五、给定正△ABC ，D 为BC 边上的任意一点，△ABD 的外心、内心分别为O 1、

I 1，△ABC 的外心、内心分别为O 2、I 2，直线O 1I 1与O 2I 2相交于P ． 试求：当点D 在BC 边上运动时，点P 的轨迹．

六、记c bx ax x F x ---=≤≤233

1max ．当a ，b ，c 取遍所有的实数时，求F 的最小值．