抽屉原理教师版

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。

二、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题

苹果÷抽屉＝商……余数

余数：（1）余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝X（1

里

（3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

★规律：用苹果数除以抽屉数，若余数不为零，则“答案”

为商加1，若余数为零，则“答案”为商。

（二）抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体.例：把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体.

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:①k=[n/m ]+1个物体（当n不能被m整除时）.②k=n/m个物体（当n能被m整除时）.

（三）利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

★抽屉原则一：把n个以上的苹果放到n个抽屉中，无论怎样放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。

【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？

【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的。

利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6÷5=1……1，1＋1=2（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子。

【巩固】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼。

【解析】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼

【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。

【解析】将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉,由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作业。

【巩固】 5年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？

【解析】先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日。

【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解。

【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样。

【解析】属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样。

【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？

【解析】一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹果”．这样，把367 个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有2名同学的生日相同。

【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同。

【解析】五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色。也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同。

【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？

【解析】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为730÷366=1.....364。所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天。

【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同。

【解析】将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同。

【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩。

【解析】方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；

情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的；

情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；

情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；

方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩。

【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋

友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等。

【解析】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，n－1。其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n－1个熟人，所以共有n个“抽屉”。下面分两种情况来讨论：

⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n－2个熟人，这样熟人数目只有n－1种可能：0，1，2，……，n－2。这样，“苹果”数(n个小朋友)超过“抽屉”数(n－1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n－1种可能：1，2，3，……，n－1．这时，“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(n－1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等。

【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．

【解析】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多．【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

【解析】因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除．【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．

【解析】想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理。

★抽屉原则二：把多于m×n个苹果放到n个抽屉中,无论怎样放,一定能找到一个抽屉,它里面至少有(m+1)个苹果。

【例6】学校组织2006名同学去春游，现有解放公园、野生动物园、水族公园3个景点，规定每人最少去一处，最多去两处游览，那么至少有多少个同学游览的地方相同？

分析：先分类求出每人去一处或两处的种数，再根据抽屉原理，把种数看作“抽屉”，把2006名学生看作苹果。因为规定每人最少去一处，最多去两处，所以去一处的有：3种，去两处的有：解放公园——野生动物园，解放公园——水族公园，野生动物园——水族公园，共6种，即6个抽屉，而2006=334*6+2，根据抽屉原理二，至少有334+1=335人去同一地方游览。

【巩固】1、“六一”儿童节老师买来一些铅笔、橡皮和直尺，奖给全班40名同学，每人得到其中的一种、两种或三种，那么他们当中至少有几名同学得到的学习用具相同？

【巩固】2、停车场上有40辆客车，各种客车座位数不同，最少的有27座，最多的有40座。那么在这些客车中，至少有几辆客车的座位数是相同的？

【巩固】3、幼儿园的阿姨将100个苹果分给某班的小朋友，已知其中每人至少分得3个，那么这个班最多有多少人？

【例7】木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

解：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3 ，故至少取出4个小球才能符合要求。

【例8】一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方

能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。15+1=16

【巩固】从一副完整的扑克牌中，至少抽出（）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？

A.21

B.22

C.23

D.24

解：完整的扑克牌有54张，看成54个“苹果”，抽屉就是6个（黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王），为保证有6张花色一样，我们假设现在前4个“抽屉”里各放了5张，后两个“抽屉”里各放了1张，这时候再任意抽取1张牌，那么前4个“抽屉”里必然有1个“抽屉”里有6张花色一样。答案选C.

【例9】2013年国考：某单位组织4项培训A、B、C、D，要求每人参加且只参加两项，无论如何安排，都有5人参加培训完全相同，问该单位有多少人

每人一共有6种参加方法（4个里面选2个）相当于6个抽屉，最差情况6种情况都有4个人选了，所以4*6=1=25 【例10】有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理

类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同?

用最不利原则解题。四个专业相当于4个抽屉，该题要有70名找到工作的人专业相同，那最倒霉的情况是每个专业只有69个人找到工作，值得注意的是人力专业一共才50个人，因此软件、市场、财务各有69个人找到工作，人力50个人找到工作才是本题中最不利的情形，最后再加1，就必定使得某专业有70个人找到工作。即答案为69×3+50+1=258。

【例11】有编号为1-13的卡片，每个编号有四张，共有52张卡片。问至少摸出多少张，才能保证一定有3张卡片编号相连？

若取的是：1、2、4、5、7、8、10、11、13编号的四张,则应该是36张,再取一张就满足了.故应该是至少取37张.

训练题

1．六（1）班有49名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有4人成绩相同。”请问王老师说的对吗？为什么？

2．从100,,3,2,1 这100个数中任意挑选出51个数来，证明在这51个数中，一定：（1）有2个数互质；（2）有两个数的差为50；

3．圆周上有2000个点，在其上任意地标上1999,,2,1,0 （每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。求证：必然存在一点，与它紧相邻的；两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。

4．有一批四种颜色的小旗,任意取出三面排成一行,表示各种信号.证明:在200个信号中至少有4个信号完全相同.

5．在3×7的方格表中，有11个白格，证明：（1）若仅含一个白格的列只有3列，则在其余的4列中每列都恰有两个白格；（2）只有一个白格的列至少有3列。

6．一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成，只有每台机器都开动时，这篛流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工人中只有5名到场。为了保证生产，要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总能工作？

7．在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？

8．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不相同。问：参加考试的学生最多有多少人？

9．某个委员会开了40次会议，每次会议有10人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么？

10．某此选举，有5名候选人，每人只能选其中的一人或几人，至少有人参加选举，才能保证有4人选票选的人相同

11．一次考试有20道题，有20分基础分，答对一题加3分，不达不加分也不减分，答错一题减1分，若有100人参加考试，至少有多少人得分相同？

12．一次数学竞赛，有75人参加，满分20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是980分，问至少有几个人得分相同？

提示与答案提示：

1．关键词：成绩相同；抽屉性质：有相同成绩的人在同一个抽屉中，所以我们要根据成绩来造抽屉；

2．关键词：数互质；抽屉性质：抽屉中已有数，并且同一抽屉中的数互质；

3．关键词：差为50；抽屉性质：抽屉中已有数，并且同一抽屉中的数差为50；

3．从反面考虑问题，假设所有这样的和均小于2999，这样每个和最大为2998，我们用两种方法来计算一下所有数的和即可；

4．关键词：信号完全相同；抽屉性质：同一抽屉中放的信号均相同；

5．反证法；

6．想想一个车床至少要有几个人会，假设有一个车床只有3个人会可以吗？那这3个人如果有一天都没来，会怎样？7．关键词：选票选的人完全相同；抽屉性质：选的人完全相同的人在一个抽屉中；

8．想想一共有多少种分值，注意有些分值得不到；9．先不考虑总分，你能算出至少有几人得分相同吗？然后再考虑总分，注意此时从最好或最外的方面来考虑。

答案：1．对，

2．（1）相邻两数为一组，构成一个抽屉，共50个抽屉；（2）差为51的两数为一组，构成一个抽屉，共50个抽屉；

3．假设所有这样的和均小于2999，这样每个和最大为2998，这样一共2000个和的最大可能值为：2998×2000＝5996000；在上述算法中，0至2000这2000个数，每个数都算了3次，这样上述的2000个和应该等于（0＋1＋2…＋2000）×3＝5997000。与最大可能值为5996000矛盾，所以假设不成立。4．四种颜色的小旗，任意取出三面后排列共可组成4×4×4＝64个信号；这将64个信号作为抽屉即可。

5．略

6．假设有一个车床只有3个人会使用，这样某一在这3个人都没来，这时这条流水线就不能正常运转，所以每个车床至少应有4个会使用，这样需进行4×5＝20轮培训；下面说明，进行20轮培训一定可以。若对3个人进行全能培训，使他们对这5个车床均会使用，对剩下的5个人，分别进行1、2、3、4、5这5号车床中的一个车床的培训，使他们5个人在场可使流水线正常运转，这样任意五人在场就都可使流水线正常运转，则此时对工人进行的培训正好是20轮。

7．从5人中选1人有5种选法；从5人中选出2人有10

种选法；从5人中选中3人也有10种选法，从5 人中选出4人有5种选法；从5人中选出5人有1种选法，综上，共有31种不同的选法，将这31种不同的选法做为31个抽屉，由抽屉原理知：答案为：31×3＋1＝94；

8．分别计算一下第一名、第二名、第三名、……各得多少分，会发现，最高分为80分，最低分为0分，但中间有一些分值得不到，它们是79,78,75。所以共有81－3＝78种分值，将这78种分值做为78个抽屉，抽屉原理得答案为：2

9．如果不考虑总分980，易得至少有4人得分相同，现加入条件980分，（1）若最多有4人得分相同，此时这75人得分最高可能为：4个20分，4个19分,…4个3分,3个2分，总和为834分，所以最多有4人得分相同不可能；（2）若最多有5人得分相同，此时这75人得分最高可能为：5个20分，5个19分,…5个6分,总和为 975分，所以最多有5人得分相同不可能；（3）若最多有6分得分相同，此时易知这75人得分可以满足980分这个条件，综上，此题答案为6人。