福建省师大附中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．若a ＞b ＞0，下列不等式成立的是（ ）

A ．a 2＜b 2

B ．a 2＜ab

C ．＜1

D ．＞

2．原点和点（1，1）在直线x +y ﹣a=0两侧，则a 的取值范围是（ ）

A ．0≤a ≤2

B ．0＜a ＜2

C ．a=0或a=2

D ．a ＜0或a ＞2

3．在△ABC 中，AB=1，AC=，∠A=60°，则△ABC 的面积为（ ）

A ．

B ．

C ．或

D ．或

4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35

5．在△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C 的大小为（ ）

A ．或

B ．或

C ．

D ．

6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．若sin B ?sin C=sin 2A ，则△ABC 的形状是（ ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）

A ．尺

B ．尺

C ．尺

D ．尺

8．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 1007?a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是（ ）

A ．2 012

B ．2 013

C ．2 014

D ．2 015

9．若x ，y 满足且z=2x +y 的最大值为6，则k 的值为（ ）

A ．﹣1

B ．1

C ．﹣7

D ．7

10．若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围

（）

A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）

11．已知函数f（x）=4x2﹣1，若数列{}前n项和为S n，则S2015的值为（）

A．B．C．D．

12．已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，=，a n b n=1，则使b n＞101的最小的n为

（）

A．4 B．5 C．6 D．7

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

13．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n

+1

=，则a2016=．

14．若|x﹣3|+|x+5|＞a对于任意x∈R均成立，则实数a的取值范围．

15．设a，b∈R+，且a+b=2则ab2的最大值为．

16．在数列{a n}中，a1=1，a n

+1﹣a n=2n，n∈N+则a n=．

17．已知x，y满足，则的取值范围为．

18．如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为米．

三、解答题（共5小题，满分60分）

19．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|

（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

20．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）

=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，

（1）求角C；

（2）求△ABC 面积S 的最大值．

21．已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1=3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项b 1=1，且a 2b 2=12，S 3+b 2=20．

（1）求{a n }和{b n }的通项公式；

（2）求{a n b n }的前n 项和T n ．

22．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为多少元．，并求出此时生产A ，B 产品各少件．

23．已知数列{a n }的前n 项和为s n ，且a n =S n ﹣1+2（n ≥2），a 1=2．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设b n =

，T n =b n +1+b n +2+…+b 2n ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正

整数n ，有T n ＞恒成立？

若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．

2016-2017学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．若a＞b＞0，下列不等式成立的是（）

A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞

【考点】不等式的基本性质．

【分析】由题意，取a=2，b=1，代入验证，即可得出结论．

【解答】解：由题意，取a=2，b=1，

则a2＞b2，a2＞ab，＜1，＜，

故选C．

2．原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是（）

A．0≤a≤2 B．0＜a＜2 C．a=0或a=2 D．a＜0或a＞2

【考点】简单线性规划．

【分析】根据二元一次不等式表示平面区域，以及处在区域两侧的点的符号相反求解a的取值范围．

【解答】解：∵原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，

∴（0+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，

即a（a﹣2）＜0，

解得0＜a＜2，

故选：B．

3．在△ABC中，AB=1，AC=，∠A=60°，则△ABC的面积为（）

A．B．C．或 D．或

【考点】正弦定理．

【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．

【解答】解：∵AB=1，AC=，∠A=60°，

=AB?AC?sinA==．

∴S

△ABC

故选：B．

4．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35

【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．

【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．

【解答】解：∵a5a6=a4a7，

∴a5a6+a4a7=2a5a6=18

∴a5a6=9

∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10

故选B

5．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C的大小为（）

A．或B．或C．D．

【考点】正弦定理．

【分析】利用正弦定理即可得出．

【解答】解：由正弦定理可得：=，

化为：sinC=，

∵c＜a，

∴C为锐角，

∴C=．

故选：D．

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B?sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B?sin C=sin2A，利

正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．

【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，

∵A∈（0，π），∴．

∵sin B?sin C=sin2A，

∴bc=a2，

代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．

∴△ABC的形状是等边三角形．

故选：C．

7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”