材料力学总结

材料力学

第二章 轴向拉伸和压缩 1轴力图

用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线. 将正的轴力画在x 轴上侧，负的画在x 轴下侧.

2.正应力公式 A

F N =

σ

沿截面法线方向的正应力： 沿截面法线方向的正应力：

3.强度条件： ][m

a x

N m

a

x

σσ≤=A

F

4、材料在拉伸和压缩时的力学性能

(a) 弹性阶段 εσE = p σ －－ 比例极限（a 点）

e σ －－ 弹性极限（b 点）

(b) 屈服阶段 s σ －－ 屈服极限（c 点、下限） (c) 强化阶段 b σ －－ 强度极限（e 点）

注：a. 颈缩现象，过e 点后，试样在某一段内的横截面面积显箸

地收缩

2

cos cos p αασασα

=?=sin sin22

p αασ

ταα

=?

=

b ．伸长率 %1001?-=

l

l l δ 断面收缩率 %1001

?-=

A

A A ψ

δ ≧5%为塑性材料;反之为脆性材料

c ．卸载定律和冷作硬化 在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大

5、安全系数和许用应力 n

u

σσ=

][ n — 安全系数（大于1）

注：塑性材料u σ为s σ；脆性材料为b σ

6 、 应力集中

7、拉压杆的变形计算 纵向应变 ε=l

l Δ 横向应变 b

b b

b b Δ1=-=

'ε

με

ε-='——μ 称为泊松比

8、胡克定律

由 εσE =、

σ=A

F N 、

ε=l

l Δ

EA

l F l N Δ=

注： E 称为 弹性模量，EA 称为 抗拉（压）刚度

9、拉压杆的弹性应变能 x x N W U d )(2

1d d ??=

=

弹性应变能 ?

=

L

x EA

x N U d 2)(

2

拉压杆的比能 σε2

1d d )(2

1d d =?=

=

x

A x x N V

U u

10、拉压超静定问题

（1）确定静不定次数；列静力平衡方程

（2）根据变形协调条件列变形几何方程

（3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程

（4）联立补充方程与静力平衡方程求解

11、装配应力和温度应力

l

T l t T ?=ΔΔα

12、连接处三种形式破坏 (1)剪切破坏

切应力：A

F S =

τ S F - 剪力;

A -剪切面的面积

(2)挤压破坏

挤压应力: A F bs

bs

=

σ

bs F -挤压力；

A bs -挤压面的面积

强度条件的应用

1、校核强度

2、设计截面

3、求许可载荷 []A F S τ≤ []A F bs bs σ≤

4、破坏条件 u

ττ≥

第三章 扭 转

1、变形特点：杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.

2、外力偶矩的计算 m)(N 9549

?=n

P M

e

e M —作用在轴上的力偶矩( N · m );

n —轴的转速( r/min )

m)(N 7024?=n

P M

s e

P —轴传递的功率(kW) P s —轴传递的功率(PS 马力)

3、扭矩图

a 、采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，反之为负

b 、

4、力互等定理 τ

τ=

'

单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线.

5、剪切胡克定律

γ

τG = G –剪切弹性模量 （ )

1(2μ+=

E G 弹性模量E ，剪切弹性模量G 与泊松比μ）

6、圆杆扭转的应力分析

（1）几何关系

x

EG

GG'd d tg ?

ργ

γ

ρ

ρ

=

=

≈

[]

ττ≤[]

bs bs σσ≤[]τS

F A ≥

[]

bs bs

σF

A ≥

（2）物理关系

γτG = x

G G d d ?ργτρρ==

（3）静力关系

T A A

=?

d ρρτ

T A x

φρG ρA

=??

???

d d d T A x

G

A

=?

d d d 2

ρ?

又 ∵ I A ρA

=?d 2

∴

p

d d GI T x

=

?

带入（2）

P

I T ρτρ=

补充

a 、max

τ的求法

t max

p

p

max

max W T I T I T =

=

=

ρρτ

max

p

t ρI W =

Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.

b 、极惯性矩和抗扭截面系数的计算 ?=

A A I d 2

p ρ m a x

P

t ρI W =

（1）实心圆截面 32

πd π2d 4

2

3

2

p d A I d

A

=

=

=

?

?

ρρρ 16

π2

/32/π3

4

max

p

t d d d I W =

=

=

ρ

（2）空心圆截面

32

)

1(π4

4p α-=

D I )1(16

π4

3

t α-=

D W 其中D

d =

α

7、强度条件、刚度条件

][t

max max ττ≤=

W T ①

P

GI

Tl =

? 单位长度扭转角：m)rad (P

GI

T l

=

=

'?

?

T

8、密圈螺旋弹簧的应力和变形（螺旋角 α<5°,且D >>d ） 3

max π8d

FD k

=τ

c

c c k

d D c 615.04

414,

+--=

=

c 为弹簧指数,k 为曲度系数,可查教材中的表3.1

p

2

ε2GI

l T v =

2

FD T =

、D n l π= ∴ 4

3

2ε

4Gd

n D F v =

功能原理 εv = W

4

3

2421

Gd

n D F F =

λ 4

3

4

3

648Gd

n FR Gd

n FD =

=

λ、n

R Gd

n

D Gd

c 3

43

4

648=

=

∴c

F =

λ c —弹簧刚度

第四章 弯曲内力

1、静定梁：简支梁、外伸梁和悬臂梁

2、内力的符号规定：

a 、剪力符号：使d x 微段有 左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m -m 上的剪力为正。或使d x 微段有顺时针转动趋势的剪

力为正

b 、弯矩符号：当d x 微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉 ）时，横截面m -m 上的弯矩为正

3、计算规律(从左侧开始) =S F 上

F －下F

=M 上F a

－下

F a

－逆

M

＋顺

M

4、剪力图和弯矩图

规律：弯矩大小即为剪力图面积和

5、布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系

)(d )(d S x q x x F = ∴?

+

=2

1

12)(S S x x x x dx x q F F

)(d )(d S x F x

x M = ∴?

+

=b

a

A B

dx x F M M

)(S

① 右边积分的几何意义：A ,B 两横截面间分布荷载图

的面积.

② 右边积分的几何意义：A,B 两个横截面间剪力图的 面积

6、平面刚架和曲杆的内力图

a 、弯矩图：画在各杆的受压側，不注明正，负号.

第五章 弯曲应力

1、在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA 才能合成弯矩M ，只有切向内力元素dQ=τdA 才能合成剪力Q

2、弯曲正应力

弯曲变形时，保持原来长度的一纵向纤维层称为中性层，其与横截面的交线称为中性轴

单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。

εσE =ρ

y

E

=

静力学关系 1、?=A

x A N d σ=0

2、??=

A

y

A z M

d σ0=

3、??=

A

z A

y M d σM =

M A y M

A

z

=?=

?

d σM A y

E

y A

=??

?

d ρ

M A y E

A

=?

?

d 2

ρ

∴

z

I y M y

E =

=ρ

σ

z

EI M =

ρ

1

注：a 、Z

I y M max

max =σZ

W M = 抗弯截面模量m a x

y I W z

z =

b 、

3、弯曲剪应力 ?=

*

d I A

A N σ?

=

*

d A

z

A I y M ?

=

*

d A

z

A y I M *z z

S I M =

*

II d d d d )d (d *

*

*

z z

A

z

A

z

A

S I M

M A y I M

M A I y

M M A N +=

+=

+=

=

?

?

?σ

x b N N d I II ?=-τ ∴

x b S I M S I M

M z z

z z

d d *

*

?=-

+τ

∴x

M b I S z z d d *

=

τb

I S Q z z *

=

第六章 弯曲变形

1、挠度和转角

挠曲线方程：)(x f v = 转角方程：θθtan ≈x

f x f d d )(=

'=

z

EI M =

ρ

1

2

/32

)

1(1

v v '+''±

=ρ

v ''±≈ ∴

M

v EI ±=''

a 、用积分法求梁的变形 )(x M v EI ='' C x x M v EI +='?d )(

2、用叠加法计算梁的变形

当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。

注：a 、 转角方程：)46(243

32l x lx EI q --=

θ 挠曲线方程 )2(243

3

2

l x lx EI

qx v --=

EI

ql

B A 243

max =

=-=θθθ

b 、

第七章 应力和应变分析 强度理论

1、平面应力状态分析-解析法

σ

σα

τασ

σσ

σσα2s i n 2c o s 2

2

xy y

x y

x ---+

+=

y x σσσσαα+=+?

+90 2

2m i n

m a x )2(xy y x τσσττ+-±=???

2、平面应力状态分析-图解法 （莫尔圆） a 、圆心的坐标 )0,2

(

y

x C σσ+

b 、半径 2

2

)2

(

xy y

x R τσ

σ+-=

3、三向应力状态分析

三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间 应力状态下所有截面上的应力

该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A 点的横坐标 σ1

1max σσ=

最大切应力则等于最大的应力圆的半径)(2

131max σστ-=

最大切应力所在的截面与 σ2 所在的主平面垂直，并与σ1和 σ3 所在的主平面成 450角。 4、广义虎克定律

5、各向同性材料的体积应变

3

213

213

213213213213

213322111

)1(

)1()1()1(

εεεa a a a a a εεεa a a a a a a a a εa εa εa V

V V ++=????-+++??≈????-+?+?+=-=

θ

)(21321ζζζE

++-=

μ

6、应变能密度 2

2

ε2

221εE E

ζ

ζεv ==

=

()[]

1332212

32

221

ε221ζζζζζζE

v ++-++=

μσσσ

d εv v v V +=

()[]

z

y x x ζζμζE ε+-=1

()

[]

x z y

y ζζμζ

E

ε+-=

1()[]

x y z

z ζζμζ

E

ε+-=

1G

xy

xy τγ=G

yz

yz τγ=

G

zx

zx τγ=

()[]

13221ζζμζE

ε+-=

()[]21331ζζμζE ε+-=()[]32111ζζμζE ε+-=

]

)()()[(612

132

322

21εd ζζζζζζE

v v v V

-+-+-+=-=μ2

3212

2

m 2m 2m 2m 2m 2m b εb )

(6212)21(3]

)(2[(21)()(σσσμσμ++-==

-=

++-++=

=E

E ζζζμζζζE

v v m

V 体积改变比能密度

畸变能密度

8、强度理论

四个强度理论：a 、 最大拉应力理论（第一强度理论）

脆断破坏的条件： σ1 = σu σ1 ≤ []σ

b 、最大伸长线应变理论（第二强度理论) 脆断破坏的条件 E

ζb 1=

ε 强度条件 ][)(321ζζζζ≤+-μ

c 、最大切应力理论 (第三强度理论) 屈服条件 2

s max ζ=

τ 强度条件 ][31ζζζ≤-

d 、畸变能密度理论（第四强度理论） 屈服准则

2

213232221d 261])()()[(61s ζE

ζζζζζζE

v ?+=-+-+-+=

μμ 强度条件

][])()()[(2

12

132

322

21ζζζζζζζ≤-+-+-

注：a 相当应力

把各种强度理论的强度条件写成统一形式[]

ζζ≤r r ζ称为复杂应力状态的相当应力.

)

(3

13r 3212r 1

1ζζζζζμζζr -=+-==σσ

b 适用范围

一般脆性材料选用第一或第二强度理论 塑性材料选用第三或第四强度理论；

在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏，故选用第一或第二强度理论； 在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论.

第八章

组合变形 （叠加法）

1、z

z N I y M A F ?+=+='''σσσ

2、扭转与弯曲的组合

a 、主应力计算

2

22

23

142

12

)2

(

2

τ

σστ

σσσσ+±

=

+±=

02=σ

b 、相当应力计算 第三强度理论,计算相当力 2

2

3134τσσσσ+=-=r

第四强度理论,计算相当应力 2

2

43τσσ+=r

注： a 、且横截面不限于圆形截面

b 、 该公式适用于 弯、扭组合变形；拉（压）与扭转的组合变形;以及 拉（压）、扭转 与 弯曲的组合变形

附：对于圆形截面杆：16

23

d W W t π=

=

弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为 W

T

M

W T W

M t

r 2

2

2

2

2

23)(

4)(

4+=

+=+=

τ

σσ

W

T M W T W

M t

r 2

2

2

2

2

2475.0)(

3)(

3+=

+=+=

τ

σσ

式中W 为杆的抗弯截面系数。M ，T 分别为危险截面的弯矩和扭矩. 以上两式只适用于 弯，扭 组合

变形下的圆截面杆

第九章 压杆稳定

1、压杆的临界力 F cr

A

l EI A

F 2

2

cr cr )(μπσ=

=

A

I i =

2

2

2

2

2

22

cr cr )

/()

()(i l E i l E A

l EI A

F μπμπμπσ=

?=

==

令i

l

μλ=

∴2

2

cr

λ

πσ

E =

cr cr σ?=A F

λ 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响λ 越大，相应的

σcr 越小，压杆越容易失稳。

2、欧拉公式的应用范围 P 2

2

cr σλ

πσ≤=

E P

2

σπλE ≥

P

1σπ

λE

=令 即

1λλ≥

3、常用的经验公式 s cr σλσ≤-=b a b

a s

σλ-≥

令 b

a s

2σλ-=

12λλλ<≤的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式

4、临界应力总图

第十章 动载荷

动荷系数 ：

st

d d σσK =

a 、直线运动构件的动应力： g

a K +=1d

b 、转动构件的动应力：

c 、冲击物为自由落体 st

d 211?+

+=h K

d 、水平冲击 ?=

??=g v

K st

2

st

d d

第十三章 能量法

1、变形能

a 、轴向拉压的变形能 l F EA l F F EA

l F W W F

Δ2

2d d 2

10

1=

==

=

??

b 、扭转杆内的变形能 p

2

p

2

e p

e e

e 222

1Δ2

1GI l T GI l M GI l M M M W U =

=

=?=

=? ?=

l

x x GI

x T U d )

(2)

(p

2

c 、 弯曲变形的变形能 EI

l M EI

l M M θM W U 22

12

12

e e e

e ==

?== x x EI x M U l

d )(2)

(2

e ?=

组合变形的变形能 x x EI x M x x GI

x T x x EA x F U l

l

l

d )(2)

(d )

(2)

(d )(2)

(2

p

2

2

N ???+

+=

2、克拉贝隆原理（只限于线性结构） F δU 2

1=

F --广义力:包括力和力偶 δ--广义位移包括线位移和角位移

3322112

1δF δF δF U ++=

3、互等定理

a 、功的互等定理：

按先加 F 1，F 2 后F 3，F 4 的次序加力，结构的应变能为

'

'δF δF δF δF δF δF U 22114433221112

12

12

12

1+++

+

+

=

先加 F 3 ，F 4 后加 F 1 ， F 2 的次序加力，又可求得结构的应变能为 '

'δF δF δF δF δF δF U 44334433221122

12

12

12

1+++

+

+

=

21U U = '

'

'

'

δF δF δF δF 44332211+=+

b 、位移互等定理

'

'δF δF 3311= 如果 F 1= F 3 ，则有

'

'δδ3

1=

F 1作用点沿 F 1 方向因作用 F 3而引起的位移等于F 3 作用点 沿 F 3 方向因作用 F 1而引起的位移.

4、单位荷载法 ? 莫尔定理

?

?

?

?+

+

=

+=

?++l

l

l

l

A x

EI

x M x M x EI

x M x EI

x M x

EI x M x M f U U d )

()(d 2)(d 2)(d 2)]

()([12

2

2

0 x M x M )

()(x M x M )

()(

普遍形式的莫尔定理 ?

?

?

+

+

=l

l

l

x EI

x M x M x GI

x T x T x EA

x F x F d )

()(d )()(d )

()(Δp

N N

5、卡氏定理 ++

+

=

=3322112

12121δF δF δF W U

在作用 ?Fi 的过程

+++++=

i i i i δF δF δF δF U ΔΔΔΔΔ2

1Δ2211

互等定理

i i i i δF δF δF δF ?=++++ΔΔΔΔ2211 i

i F U δ??=

Fi 为广义力;δi 为相应的位移

卡氏第二定理的应用 a 、轴向拉、压 x F x F EA x F EA

x x F F F U δi

i

i

i d )

()(2)d (N N 2

N ???=

??=??=

?

?

b 、扭转 x F x T GI x T GI x x T F F U δi

i

i

i d )()(2)d (p p

2

???=

??=

??=

??

c 、弯曲 x F x M EI x M EI

x x M F F U δi

i

i

i d )

()(2)d (2

???=

??=??=

?

?

组合变形 i

i F U δ??=

x F x M EI x M x F x T GI x T x F x F EA x F i

i

i d )

()(d )

()(d )

()(p N N ???+

???+???=

?

??

6、莫尔积分的图乘法

x

x M x M l )d ()(??x x M x l

)d (tg ??=?αC tg M x C ?=??=ωωα

EI

M x EI

x M x M l

C

d )

()(Δ?=

=?

ω

常见图形的面积和形心的计算公式

第十四章 超静定结构

1、分析方法

a 、力法：以未知力为基本未知量的求解方法；（通过已知变形求解）

b 、位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法.（通过已知力的关系） 2、力法正则方程

以多余力为未知量的变形协调方程可改写成

0Δ1111=+F X δ

X 1— 多余未知量；

d 11— 在基本静定系上， X 1取单位值时引起的在X 1作用点X 1方向的位移； D1F —在基本静定系上， 由原载荷引起的在X 1作用点沿X 1方向的位移；