2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1教师用书:第一章 常用逻辑用语 含解析 精品

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1教师用书:第一章 常用逻辑用语 含解析 精品
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1教师用书:第一章 常用逻辑用语 含解析 精品

§1 命 题

1.了解命题的概念.(重点)

2.掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.(难点)

3.熟练判断命题的真假性.(易混点)

[基础·初探]

教材整理1 命题及相关概念

阅读教材P 3“问题提出”以上的部分,完成下列问题.

(1)定义:可以判断真假,用文字或符号表述的语句叫命题.

(2)分类??? 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.

(3)形式:通常把命题表示为“若p 则q ”的形式,

其中p 是条件,q 是结论.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)“x >16”是命题.( )

(2)“一个实数不是正数就是负数”是真命题.( )

(3)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.( )

【解析】 (1)×,因为没有给定变量x 的值,无法确定其真假,故不是命题.

(2)×,因为0既不是正数也不是负数,所以是假命题.

(3)√,互否命题的真假性相反.

【答案】(1)×(2)×(3)√

2.下列语句是命题的是()

A.0.333不是无限不循环小数

B.2x>5

C.请同学们用好《非常学案》!

D.三角形是平面图形吗?

【解析】B不能判断其真假,C、D分别是祈使句、疑问句不是命题.

【答案】 A

教材整理2四种命题及关系

阅读教材P3“问题提出”~P4“例1”以上的部分,完成下列问题.

1.四种命题

互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系.

图1-1-1

1.命题:“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()

A.逆命题

B.否命题

C.逆否命题

D.等价命题

【解析】根据逆命题的定义知,选项A正确.

【答案】 A

2.将下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判断相应命题的真假.

(1)正数a的平方根不等于0;

(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形.

【解】(1)“若a是正数,则a的平方根不等于0”逆命题是:“若a的平方根不等于0,则a是正数”,假命题;否命题是“若a不是正数,则它的平方根等于0”,假命题;逆否命题是:“若a的平方根等于0,则a不是正数”,真命题.

(2)“若平行四边形的两条对角线不相等,则它不是矩形”,逆命题是:“若平行四边形不是矩形,则它的两条对角线不相等”,真命题;否命题是“若平行四边形的两条对角线相等,则它是矩形,真命题;逆否命题是:“若平行四边形是矩形,则它的两条对角线相等”,真命题.

[质疑·手记]

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:

疑问1:________________________________________________________解惑:________________________________________________________ 疑问2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问3:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[小组合作型]

(1)命题“若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的条件为________,结论为________.

【自主解答】命题“若p则q”其中p为条件,q为结论.

【答案】x,y都是奇数,x+y是偶数.

(2)①x2-5x+6=0.

②函数f(x)=x2是偶数.

③若ac>bc则b>c.

④证明x∈R,方程x2+x+1=0无实数根.

以上语句是命题的为________.

【自主解答】①因为x的值不确定,无法判断其真假,故不是命题,②,③是命题,④是祈使句,故不是命题.

【答案】②③

(3)“常数列是等差数列”是____命题,“常数列是等比数列”是____命题.(填“真”或“假”)

【自主解答】常数列是等差数列是真命题,如果常数为0,0,0,……则不是等比数列,故“常数列是等比数列”是假命题.

【答案】真假

1.能否判断真假是命题的本质条件,形式上陈述句是命题的主要表现形式,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.

2.判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证;判断一个命题是假命题,只需要举出一个反例即可.

分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题:

【导学号:32550000】

(1)若a2+b2=0,则a,b都为0;

(2)两个奇数的和是偶数.

【精彩点拨】将命题写成“若p,则q”的形式,然后再依照四种命题的关系写出相应的逆命题、否命题、逆否命题.

【自主解答】(1)原命题:若a2+b2=0,则a,b都为0.

逆命题:若a,b都为0,则a2+b2=0.

否命题:若a2+b2≠0,则a,b不都为0.

逆否命题:若a,b不都为0,则a2+b2≠0.

(2)原命题:若两个整数都是奇数,则这两个整数的和是偶数.

逆命题:若两个整数的和是偶数,则这两个整数都是奇数.

否命题:若两个整数不都是奇数,则这两个整数的和不是偶数.

逆否命题:若两个整数的和不是偶数,则这两个整数不都是奇数.

1.当一个命题不是“若p,则q”的形式时,要先将命题改写成“若p,则q”的形式,明确条件是什么,结论是什么,然后结合四种命题的关系写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题.

2.“都是”的否定是“不都是”;“全是”的否定是“不全是”.

[再练一题]

1.设原命题为“若ab=0则a=0”.

【解】逆命题:若a=0,则ab=0,

否命题:若ab≠0,则a≠0,

逆否命题:若a≠0,则ab≠0.

设命题为“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题,并分别判断它们的真假.

【精彩点拨】利用四种命题的关系给出其他三种形式,对每一个命题判断真假即可.

【自主解答】否命题为:“若m≤0,则关于x的方程x2+x-m=0没有实数根”;

逆命题为:“若关于x的方程x2+x-m=0有实数根,则m>0”;

逆否命题:“若关于x的方程x2+x-m=0没有实数根,则m≤0”.

由方程的判别式Δ=1+4m≥0得m≥-1

4,即m≥-

1

4时,方程有实根.∴m

>0使1+4m>0,方程x2+x-m=0有实数根,∴原命题为真,从而逆否命题

为真.但方程x2+x-m=0有实根,必须m≥-1

4,不能推出m>0,故逆命题为

假,所以否命题也为假命题.

对一个原命题来说,其逆命题和否命题、原命题和逆否命题同真同假.在进行真假判断时,应抓住四个命题之间的关系,在二者之间选择较简单的命题进行判断.

[再练一题]

2.设命题为:“若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根”.试写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.

【导学号:32550001】【解】逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题.

否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题.

逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,假命题.

[探究共研型]

探究

【提示】对于含有变量的语句,要根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.例如,x2+4x+5>0是命题;x2+4x +3>0不是命题.因为x2+4x+5=(x+2)2+1>0,对于x∈R,可以判断真假,是命题,并且是真命题;而x2+4x+3=(x+2)2-1,对于x∈R,x2+4x+3可以表示正数,也可以表示负数和零,不能判断真假,所以x2+4x+3>0不是命题.

探究1

题?

【提示】根据四种命题的概念,可知只有能改写为“若p,则q”形式的命题才有逆命题、否命题、逆否命题.

注意:将非“若p,则q”的命题改写为“若p,则q”形式的命题不是唯一的.如“两条平行线的同位角相等”,可以写成“若两直线平行,则同位角相

等”,或“若两个角是两条平行线的同位角,则这两个角相等”.

探究2四种命题中真命题有几个?

【提示】因为原命题与逆否命题有相同的真假性,逆命题与否命题有相同的真假性,因此四种命题中真命题的个数一定为偶数,即真命题的个数只可能为0,2,4.并且,根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4,可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确.

探究3如何运用互为逆否命题的两个命题之间的关系?

【提示】互为逆否命题的两个命题同真同假,也称为等价命题,在本节的主要应用有两点:

(1)通过判断逆否命题的真假判断原命题的真假.

(2)用于证明命题:当原命题的真假性不易证明时,可以先证明它的逆否命题的真假性,从而得到原命题的真假性.

探究4若一个命题有大前提,在写其他三种命题时,应注意什么?

【提示】(1)有大前提的命题,改写成“若p,则q”的形式时,要注意其书写格式为“大前提,若p,则q”.(2)对于含有大前提的命题,在写其他三种命题时,应保持大前提不变.(3)对于由多个并列条件组成的命题,在写其他三种命题时,应把其中一个(或几个)作为大前提.

将命题“当a>0时,函数y=ax+b的值随x的增大而增大,”写成“若p,则q”的形式,并写出其否命题.

【精彩点拨】原命题有两个条件:“a>0”和“x增大”,其中“a>0”是大前提,改写为“若p,则q”的形式时,要把“a>0”置于“若”字的前面,把“x增大”作为条件.写否命题时,易把“a>0”和“x增大”都否定了,从而改变了一次函数的性质,特别是当a=0时,便失去了研究“增”与“不增”的意义.

【自主解答】“若p,则q”的形式:当a>0时,若x增大,则函数y=ax+b的值也随着增大.

否命题:当a>0时,若x不增大,则函数y=ax+b的值也不增大.

[再练一题]

3.写出命题“已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2”的逆命题.

【解】逆命题:已知x,y为正整数,若y=3,x=2 则y=x+1.

[构建·体系]

1.下列语句不是命题的是()

A.15是3的倍数

B.15难道不能被3整除吗?

C.3是15的约数

D.3和5都是15的约数

【解析】根据命题的定义选B.

【答案】 B

2.命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是()

A.若a2>b2,则a≤b

B.若a2≤b2,则a≤b

C.若a≤b,则a2>b2

D.若a≤b,则a2≤b2

【解析】根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若﹁p,则﹁q.”该题中,p为a2>b2,q为a>b,故﹁p为a2≤b2,﹁q为a≤b.所以原命题的否命题为:若a2≤b2,则a≤b.

【答案】 B

3.下列命题是真命题的是()

A.若1

x=

1

y,则x=y

B.若x2=1,则x=1

C.若x=y,则x=y

D.若x<y,则x2<y2

【解析】x2=1?x=±1,故B错误;当x=y<0时,x=y无意义;当x =-2,y=1时,显然x2>y2.

【答案】 A

4.命题“无理数是无限不循环小数”中,条件是________________,结论是____________________.

【解析】该命题可改写为“如果一个数是无理数,那么它是无限不循环小数”.条件是:一个数是无理数;结论是:它是无限不循环小数.

【答案】一个数是无理数它是无限不循环小数

5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题,否命题与逆否命题.

(1)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧;

(2)已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.

【解】(1)原命题:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心,且平分弦所对的弧.

逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.

否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧.

逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.

(2)原命题:已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则

a+c=b+d.

逆命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a=b且c=d.

否命题:已知a,b,c,d是实数,若a与b,c与d不都相等,则a+c≠b +d.

逆否命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等.

我还有这些不足:

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我的课下提升方案:

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学业分层测评(一)

(建议用时:45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.下列语句不是命题的有()

①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗?

②2x-1>3.

③7+6=14.

④两直线平行内错角相等.

A.①②

B.①③

C.②④

D.①②③

【答案】 A

2.若命题p的逆命题是假命题,则下列判断一定正确的是()

A.命题p是真命题

B.命题p的否命题是假命题

C.命题p的逆否命题是假命题

D.命题p的否命题是真命题

【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题,故它们同真假,故选B.

【答案】 B

3.(2016·烟台高二检测)命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是()

A.这个四边形的对角线互相平分

B.这个四边形的对角线互相垂直

C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直

D.这个四边形是平行四边形

【解析】此命题可改为“若一个四边形是平行四边形则它的对角线互相平

分,也互相垂直”,故结论为选项C.

【答案】 C

4.(2016·大理高二检测)在下列命题中,真命题是()

A.“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题

B.“若b=3,则b2=9”的逆命题

C.若x∈R,则x2+3<0

D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

【解析】“相似三角形的对应角相等”是真命题,又因为原命题与逆否命题为等价命题,故选D.

【答案】 D

5.(2016·湖北黄冈调研)给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图像不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()

A.3

B.2

C.1

D.0

【解析】易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题是假命题,故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题只有一个.

【答案】 C

二、填空题

6.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的________命题.

【导学号:32550002】【解析】根据四种命题的关系,易知s是t的否命题.

【答案】否

7.把下列不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.若函数f(x)=3+log2x 的图像与g(x)的图像关于________对称,则函数g(x)=________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)

【解析】该题将函数的图像和性质与命题综合在一起,要综合利用各部分的知识.部分可能情况有:x轴,-3-log2x;y轴,3+log2(-x);原点,-3-log2(-x);直线y=x,2x-3等.

【答案】x轴-3-log2x

8.给定下列命题:

①“若k>0,则方程x2+2x-k=0”有实数根;

②若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;

③对角线相等的四边形是矩形;

④若xy=0,则x、y中至少有一个为0.

其中真命题的序号是________.

【解析】①Δ=4+4k∵k>0,∴Δ>0方程有实根,故①为真命题.②,④易判断为真命题.③对角线相等的四边形有可能是梯形.

【答案】①②④

三、解答题

9.(2016·苏州高二检测)将下列命题改写为“若p,则q”的形式,并判断真假.

(1)偶数能被2整除;

(2)奇函数的图像关于原点对称.

【解】(1)若一个数是偶数,则它能被2整除.真命题.

(2)若一个函数是奇函数,则它的图像关于原点对称.真命题.

10.分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题,并判断这四个命题的真假:

(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除;

(2)四条边相等的四边形是正方形.

【解】找出原命题的条件和结论,依照定义写出另外三种命题.

(1)逆命题:若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0;

否命题:若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除;

逆否命题:若一个整数不能被5整除,则这个整数的末位数字不是0.

逆命题和否命题是假命题,原命题和逆否命题是真命题.

(2)原命题可以改写成:若一个四边形的四条边相等,则它是正方形;

逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等;

否命题:若一个四边形的四条边不全相等,则它不是正方形;

逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不全相等.

原命题和逆否命题是假命题,逆命题和否命题是真命题.

[能力提升]

1.有下列四个命题:

①“若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;

②“全等三角形的面积相等”的否命题;

③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.

其中真命题的序号为()

A.①②

B.②③

C.①③

D.③④

【解析】①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等”,是假命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题是“若x2+2x+q=0有实根,则q≤1”,是真命题;④“不等边三角形的三个内角相等”是假命题,其逆否命题是假命题.

【答案】 C

2.(2016·长春高二检测)若命题p的逆否命题是q,q的逆命题是r,则p与r 是()

A.互逆命题

B.互否命题

C.互逆否命题

D.不确定

【解析】p,q互为逆否命题,又q的逆命题是r,故p、r为互否命题.

【答案】 B

3.(2016·唐山高二检测)下列说法正确的是________.

①“若x2+y2=0,则x,y全为零”的否命题为“若x2+y2≠0,则x,y全不为零”.

②“正多边形都相似”的逆命题是真命题.

③“若x-31

2是有理数,则x是无理数”的逆否命题是真命题.

【解析】①中否命题:“若x2+y2≠0则x,y不全为0”,故是错误的.

②中逆命题:“若两个多边形相似,则这两个多边形是正多边形”,是假命

题,故此说法错误.

③中逆否命题:“若x 不是无理数,则x -312不是有理数”,是真命题,故

说法正确.

【答案】 ③

4.若方程x 2+2px -q =0(p ,q 是实数)没有实数根,则p +q <14.

(1)判断上述命题的真假,并说明理由.

(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.

【解】 (1)上述命题是真命题,由题意,

得方程的判别式Δ=4p 2+4q <0,得q <-p 2,

∴p +q

??p -122+14≤14, ∴p +q <14.

(2)逆命题:如果p ,q 是实数,p +q <14,则方程x 2+2px -q =0没有实数根.

逆命题是假命题,如当p =1,q =-1时,p +q <14,但原方程有实数根x =-1.

§2 充分条件与必要条件

2.1 充分条件与必要条件

2.2 充分条件与判定定理

2.3 必要条件与性质定理

1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)

2.掌握充分条件、必要条件的判断.(难点)

[基础·初探]

教材整理 充分条件与必要条件

阅读教材P 6~P 7的部分,完成下列问题.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)若p 是q 的必要条件,则q 是p 的充分条件.( )

(2)若p 是q 的充分条件,则﹁p 是﹁q 的充分条件.( )

(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )

【解析】 (1)若p 是q 的必要条件,则p ?q ,∴q 是p 的充分条件,正确.

(2)p ?q ﹁p ?﹁q ,错误.

(3)两角不相等?两角不是对顶角,充分条件.

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

2.“a >1”是“a >-1”的( )

A.充分条件

B.必要条件

C.既不充分也不必要条件

D.以上都不对

【解析】 a >1?a >-1,∴a >1是a >-1的充分条件.

【答案】 A

3.若p 是q 的充分条件,q 是r 的充分条件,则p 是r 的________条件.

【解析】 ∵p ?q ,q ?r ,∴p ?r .

【答案】充分

4.p:a<1,q:|a|<1,则p是q的________条件.

【解析】∵a≤|a|<1,

∴|a|<1?a<1,

∴p是q的必要条件.

【答案】必要

[质疑·手记]

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:

疑问1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

疑问2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

疑问3:________________________________________________________ 解惑:_______________________________________________________

[小组合作型]

(1)下列各题中,p是q的充分条件的是________.

①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;

②p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;

③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.

【自主解答】①∵(x-2)(x-3)=0,

∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.

∴p不是q的充分条件.

②∵两个三角形相似,不能推出两个三角形全等,∴p不是q的充分条件.

③∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分

条件.

【答案】③

(2)“a>b,b>2”是“a+b>4,ab>4”的________条件.

【自主解答】由a>b,b>2?a+b>4,ab>4,

∴是充分条件.

【答案】充分

(3)设命题甲为0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的________条件.

【自主解答】解不等式|x-2|<3得-1<x<5,

∵0<x<5?-1<x<5,

∴甲是乙的充分条件.

【答案】充分

1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p,什么是q,即转化成p?q问题.

2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断,若p构成的集合为A,q构成的集合为B,A?B,则p是q的充分条件.

在以下各题中,分析p与q的关系:

(1)p:x>2且y>3,q:x+y>5;

(2)p:y=x2,q:函数是偶函数;

(3)p:一个四边形的四个角都相等,q:四边形是正方形.

【精彩点拨】要判断p与q的关系,主要看是p?q,还是q?p.

【自主解答】(1)由于p?q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.

(2)由于p?q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.

(3)由于q?p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件.

1.判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立;若p?q为真,则p是q的充分条件,若q?p

为真,则p是q的必要条件.

2.也可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若A?B,则甲是乙的必要条件.

[再练一题]

1.分析下列各项中p与q的关系.

(1)p:α=π

3,q:cos α=

1

2;

(2)p:(x+1)(x-2)=0,q:x+1=0.

【解】(1)由于p?q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.

(2)由于q?p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件.

是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.

【导学号:32550003】【精彩点拨】分别求出不等式的解集A,B,再根据条件判断A与B的关系即可.

【自主解答】由x2-x-2>0?x>2或x<-1;4x+p<0?x<-p 4,

当-p

4≤-1,即p≥4时,x<-

p

4≤-1?x<-1?x

2-x-2>0,

故当p≥4时,4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件.

1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题,常借助集合的观点来处理.

2.此类题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式组,再进行求解.

[再练一题]

2.将本例中的“充分条件”改为“必要条件”,其他不变.

【解】由x2-x-2>0/?4x+p<0,所以不存在实数p使4x+p<0是x2

-x-2>0的必要条件.

[探究共研型]

探究1

【提示】充分、必要条件都具有传递性,具体如下:

若p是q的充分条件,q是s的充分条件,即p?q,q?s,则有p?s,即p 是s的充分条件;

若p是q的必要条件,q是s的必要条件,即q?p,s?q,则有s?p,即p 是s的必要条件.

探究2从集合的角度如何判断充分条件、必要条件?

【提示】设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.

若A?B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p?q,p是q的充分条件.同理,若B?A,即q?p,p是q的必要条件.

从集合的角度判断条件,可加深我们对充分条件与必要条件的理解.

探究3在寻求条件时,要注意什么?

【提示】在判断充分条件、必要条件时,要特别注意哪一个是“条件”,哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意:若p是q的……条件,则p是条件,q是结论;若p的……条件是q,则p是结论,q是条件.

“0<x<5”的一个必要条件是()

A.x>5

B.x2-5x>0

C.0<x<4

D.x<5

【精彩点拨】“p的必要条件是q”分不清哪是条件哪是结论,易出现q ?p的错误情况.

【自主解答】∵0<x<5?x<5,

∴x<5是0<x<5的一个必要条件.故选D.

【答案】 D

[再练一题]

3.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分条件是()

A.x<0

B.x≥0

C.x∈{-1,3,5}

D.x≤-1

2或x≥2

【解析】因x∈{-1,3,5}?2x2-5x-3≥0,

故选C.

【答案】 C

[构建·体系]

1.(2016·广州高二检测)已知:p:x>1;q:x>2;则p是q的()

A.充分条件

B.必要条件

C.即不充分也不必要条件

D.以上答案均不正确

【解析】∵x>2?x>1,∴p?q.

∴p是q的必要条件.

【答案】 B

2.下列p是q的必要条件的是()

A.p:a=1,q:|a|=1

B.p:a<1,q:|a|<1

C.p:a<b,q:a<b+1

D.p:a>b,q:a>b-1

【解析】∵|a|<1,a≤|a|,

∴a<1,即|a|<1?a<1.

【答案】 B

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北师大版高中数学 必修1 全书目录: 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题 必修2 全书目录: 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单 应用 阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动:随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动:结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行 趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计 §3 排序问题 §4 几种基本语句 课题学习确定线段n等分点的 算法 第三章概率 §1 随机事件的概率 §2 古典概型 §3模拟方法――概率的应用 探究活动用模拟方法估计圆周 率∏的值 必修4 全书目录: 第一章三角函数 §1 周期现象与周期函数 §2 角的概念的推广 §3 弧度制 §4 正弦函数 §5 余弦函数 §6 正切函数 §7 函数的图像 §8 同角三角函数的基本关系 阅读材料数学与音乐 课题学习利用现代信息技术探 究的图像 第二章平面向量 §1 从位移、速度、力到向量 §2 从位移的合成到向量的加法 §3 从速度的倍数到数乘向量 §4 平面向量的坐标 §5 从力做的功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例 阅读材料向量与中学数学 第三章三角恒等变形 §1 两角和与差的三角函数 §2 二倍角的正弦、余弦和正切 §3 半角的三角函数 §4 三角函数的和差化积与积化 和差 §5 三角函数的简单应用 课题学习摩天轮中的数学问题 探究活动升旗中的数学问题

高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义: 瞬时速率。一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?, 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数,记作 0() f x '或 |x x y =',即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义: 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时,直线PT 与曲线相切。容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时,函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ,即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数:当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=; 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间(,)a b 内

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(含必修和选修) 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录: 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题

必修2 全书目录: 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动:随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动:结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计

高中数学教材选修2-2知识点

高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)

高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1.函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 常见的函数导数和积分公式

常见的导数和定积分运算公式 若()f x ,()g x 均可导(可积),则有: 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式,得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式,得x 的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号, 如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f (x )在这个根处无极值

北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一 ·第一章集合(考点的难度不是很大,是高考的必考点) · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算(重点) (2课时) ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性(重点) · 4、二次函数性质的再研究(重点) · 5、简单的幂函数 (5课时) ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数(重点) · 4、对数 · 5、对数函数(重点) · 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性(重点) (3课时) ·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 (2课时) 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图(重点) · 3、直观图(1课时) · 4、空间图形的基本关系与公理(重点) · 5、平行关系(重点)

· 6、垂直关系(重点) · 7、简单几何体的面积和体积(重点) · 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)(4课时) ·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 (4课时) 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动:随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征(重点) · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动:结婚年龄的变化 · 8、相关性 · 9、最小二乘法 (3课时) ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计(重点) · 3、排序问题(重点) · 4、几种基本语句 (2课时) ·第三章概率 · 1、随机事件的概率(重点) · 2、古典概型(重点) · 3、模拟方法――概率的应用(重点、难点) (4课时) 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数

新编人教A高中数学选修2-1全册导学案

人教版高中数学选修2-1 全册导学案

目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质(1) 2.4.2抛物线的简单几何性质(2) 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法

§1.1.1 命题及四种命题 一.自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题:; 2、真命题:假命题:。 3、命题的数学形式:。 4、四种命题:。 (1)互逆命题:。(2)互否命题:。 (3)互为逆否命题:。 注意:数学上有些命题表面上虽然不是“若p,则q”的形式,但可以将它的表述作适当的改变,写成“若p,则q”的形式,从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究: 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)2小于或等于2;(4)对数函数是增函数吗? x<;(6)平面内不相交的两条直线一定平行; (5)215 > (7)明天下雨;(8)312 〖例2〗将下列命题改写成“若p,则q”的形式。 (1)两条直线相交有且只有一个交点;(2)对顶角相等;(3)全等的两个三角形面积也相等;(4)负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题: (1)两直线平行,同位角相等;(2)负数的平方是正数;(3)四边相等的四边形是正方形。 课堂小结

2017新版北师大版小学数学教材内容整合

北师大版小学数学教材内容整合 册别单 元 内 容 版 块 标题课题摘要 一年级上册 前言数学来源于生活 第 一 单 元 生 活 中 的 数 数 与 代 数 1、可爱的校园10以内的个数有什么,有多少,数一数 2、快乐的家园数的意义1、2、 3、4分别可以表示什么。 3、玩具5以内的数数一数,说一说,写一写 4、小猫钓鱼0的认识生活中用到0的地方 5、文具6—10的认识数一数,写一写,6—10分别可以 表示什么。 第 二 单 元 比 较 统 计 与 概 率 1、动物乐园比多少知道符号>,=,<的意义;会读,会写 2、高矮比高矮谁高谁矮,比一比 3、轻重比轻重说一说、掂一掂、称一称 第 三 单 元 加 减 法 ( 一 ) 数 与 代 数 1、有几支铅笔什么是加法认识加号,理解加号的意义,会读 加法算式。 2、有几辆车加法交换律a+b=b+a;两个数相加,交换加数 的位置,和不变。 3、摘果子什么是减法认识减号,理解减号的意义,会读 减法算式。 4、小猫吃鱼得数是0的减法依次减,直到减到0为止。 练习一5以内的加减法 5、猜数游戏做加法想减法,做减法想加法 6、跳绳8和9的加减法数一数,算一算 7、可爱的企鹅8、9的应用题 练习二9以内的加减法 8、分苹果10的加减法10个苹果分成两堆,每堆有几个? 9、操场上求谁多谁少的应用题甲比乙多4→乙比甲少4 10、乘车一位数加减混合运算从前往后,依次计算 练习三10的加减法,加减混合运算整理与复习(一)0—10加减法表 11、大家来锻炼生活中处处有数学 第 四 单 元 分 类 统 计 与 概 率 1、整理房间大分类怎样整理,分类依据 2、整理书包小分类怎样整理,分类依据 第 五 单 元 位 置 与 顺 序 空 间 与 图 形 1、前后森林运动会,看图说一说 2、上下看图填一填,说一说 3、左右要发言的请举右手,另一只手是? 4、教室前后左右上下说一说教室里面有什么,是怎样摆 放的?

(完整word版)高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1.函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,平均变化率 可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或 0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导(可积),则有: f x,() .用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格, f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如检查/()

北师大版高中数学课本目录标准版

必修1 第一章集合 §1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集 第二章函数 §1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射 §3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数 对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解 §2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例 必修2 第一章立体几何初步 §1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状

第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式 必修3 第一章统计 §1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的 数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动:结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计 第二章算法初步 §1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句 第三章概率 §1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用 必修4 第一章三角函数 §1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像 从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用

高中数学选修21知识点总结

高二数学选修2-1知识点 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ,则q ”,它的逆命题为“若q ,则p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若p ?,则q ?”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若q ?,则p ?”. 6、四种命题的真假性: 四种命题的真假性之间的关系: ()1两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ()2两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 7、若p q ?,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ?,则p 是q 的充要条件(充分必要条件). 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∧. 当p 、q 都是真命题时,p q ∧是真命题;当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时,p q ∧是假命题. 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∨. 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q ∨是真命题;当p 、q 两个命题都是假命题时,p q ∨是假命题. 对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作p ?. 若p 是真命题,则p ?必是假命题;若p 是假命题,则p ?必是真命题. 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“?”表示. 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”,记作“x ?∈M ,()p x ”. 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“?”表示. 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假

高考数学最全总结高中数学选修2-1知识点总结清单

高中数学选修2-1 知识点 第一章:命题与逻辑结构 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p,则q”,它的逆命题为“若q,则p”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p,则q”,则它的否命题为“若?p ,则?q ”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p,则q”,则它的否命题为“若?q ,则?p ”。 6、四种命题的真假性: 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关 系.7、若p ?q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p?q,则p是q的充要条件(充分必要条件). 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p ∧q . 当p 、q 都是真命题时,p ∧q 是真命题;当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时,p ∧q 是假命题. 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p ∨q . 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时,p ∨q 是真命题;当p 、q 两个命题都是假命题时,p ∨q 是假命题. 对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作?p . 若p 是真命题,则?p 必是假命题;若p 是假命题,则?p 必是真命题.

北师大版高中数学必修必修课后习题答案

第一章 算法初步 1.1算法与程序框图 练习(P5) 1、算法步骤:第一步,给定一个正实数r . 第二步,计算以r 为半径的圆的面积2 S r π=. 第三步,得到圆的面积S . 2、算法步骤:第一步,给定一个大于1的正整数n . 第二步,令1i =. 第三步,用i 除n ,等到余数r . 第四步,判断“0r =”是否成立. 若是,则i 是n 的因数;否则,i 不是n 的因数. 第五步,使i 的值增加1,仍用i 表示. 第六步,判断“i n >”是否成立. 若是,则结束算法;否则,返回第三步. 练习(P19) 算法步骤:第一步,给定精确度d ,令1i =. 第二步,取出 的到小数点后第i 位的不足近似值,赋给a 的到小数点后 第i 位的过剩近似值,赋给b . 第三步,计算55b a m =-. 第四步,若m d <,则得到5a ;否则,将i 的值增加1,仍用i 表示.返 回第二步. 第五步,输出5a .

程序框图:

习题1.1 A 组(P20) 1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题. 为了加强居民的节水意识,某市制订了以下生活用水收费标准:每户每月用水未超过7 m 3时,每立方米收费1.0元,并加收0.2元的城市污水处理费;超过7m 3的部分,每立方收费1.5元,并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3,应交纳水费y 元, 那么 y 与x 之间的函数关系为 1.2,07 1.9 4.9,7x x y x x ≤≤?=? ->? 我们设计一个算法来求上述分段函数的值. 算法步骤:第一步:输入用户每月用水量x . 第二步:判断输入的x 是否不超过7. 若是,则计算 1.2y x =; 若不是,则计算 1.9 4.9y x =-. 第三步:输出用户应交纳的水费 y . 程序框图: 2、算法步骤:第一步,令i =1,S=0. 第二步:若i ≤100成立,则执行第三步;否则输出S. 第三步:计算S=S+i 2. 第四步:i = i +1,返回第二步.

人教A版高中数学选修2-2知识点

数学选修2-2知识点总结 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000()()lim x f x x f x x ?→+?-?, 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y =',即 0()f x '=000()()lim x f x x f x x ?→+?-? 例1. 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t(单位: s)存在函数关系 2() 4.9 6.510h t t t =-++ 运动员在t=2s 时的瞬时速度是多少? 解:根据定义 0(2)(2)(2)lim 13.1x h x h v h x ?→+?-'===-? 即该运动员在t=2s 是13.1m/s,符号说明方向向下 2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时,直线PT 与曲线相切。容易知道,割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ,即 0000 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数:当x 变化时,()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数. () y f x =的导函数有时也记作y ',即 0()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 1.函数()y f x c ==的导数 2.函数()y f x x ==的导数 3.函数2()y f x x ==的导数

高中数学北师版教材目录(必修+选修)

北师版 -----------------------------------必修1----------------------------------- 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算3.1交集与并集3.2全集与补集 第二章函数 §1生活中的变量关系 §2对函数的进一步认识2.1函数概念2.2函数的表示法2.3映射 §3函数的单调性 §4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图象4.2二次函数的性质 §5 简单的幂函数 第三章指数函数和对数函数 §1正整数指数函数 §2指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充2.2指数运算的性质 §3指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数y=2^x和y=(1/2)^x的图象和性质 3.3指数函数的图象和性质 §4对数4.1对数及其运算4.2换底公式 §5对数函数5.1对数函数的概念5.2Y=log2x的图象和性质 5.3对数函数的图象和性质 §6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在1.2利用二分法求方程的近似解§2实际问题的函数建模2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题 2.3函数建模案例 -----------------------------------必修2----------------------------------- 第一章立体几何初步 §1 简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体 §2 直观图 §3 三视图3.1简单组合体的三视图3.2由三视图还原成三视图 §4 空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理§5 平行关系5.1平行关系的判定5.2平行关系的性质 §6 垂直关系6.1垂直关系的判定6.2垂直关系的性质 §7 简单几何体的面积和体积7.1简单几何体的侧面积 7.2棱柱、棱锥、棱台、和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3球的表面积和体积 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率1.2直线的方程 1.3两条直线的位置关系1.4两条直线的交点1.5平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程 2.1圆的标准方程2.2圆的一般方程 2.3直线与圆、圆与圆的位置关系 §3 空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标 3.3空间两点的距离公式 -----------------------------------必修3----------------------------------- 第一章统计 §1 从普查到抽样 §2抽样方法2.1简单随机抽样2.2分层抽样与系统抽样 §3统计图表 §4数据的数字特征4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差 §5用样本估计总体5.1估计总体的分布5.2估计总体的数字特征 §6统计活动:结婚年龄的变化 §7相关性 §8最小二乘法 第二章算法初步 §1算法的基本思想1.1算法案例分析1.2排序问题与算法的多样性 §2算法的基本结构及设计2.1顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3循环结构§3几种基本语句3.1条件语句3.2循环语句 第三章概率 §1随机事件的概率1.1频率与概率1.2生活中的频率

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(湘教版)高中数学选修2-2(全册)同步练习汇总 第4章导数及其应用 4.1导数概念 4.1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度 一、基础达标 1.设物体的运动方程s=f(t), 在计算从t到t+d这段时间内的平均速度时, 其中时间的增量d

() A.d>0 B.d<0 C.d=0 D.d≠0 答案 D 2.一物体运动的方程是s=2t2, 则从2 s到(2+d) s这段时间内位移的增量爲 () A.8 B.8+2d C.8d+2d2D.4d+2d2 答案 C 解析Δs=2(2+d)2-2×22=8d+2d2. 3.一物体的运动方程爲s=3+t2, 则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度爲 () A.4.11 B.4.01 C.4.0 D.4.1 答案 D 解析v=3+2.12-3-22 0.1=4.1. 4.一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程爲 s=1 8t 2, 则t=2时, 此木块水平方向的瞬时速度爲 () A.2 B.1 C.1 2 D. 1 4 答案 C 解析Δs Δt= 1 8(2+Δt) 2- 1 8×2 2 Δt= 1 2+ 1 8Δt→ 1 2(Δt→0). 5.质点运动规律s=2t2+1, 则从t=1到t=1+d时间段内运动距离对时间的变化率爲________. 答案4+2d 解析v=2(1+d)2+1-2×12-1 1+d-1 =4+2d. 6.已知某个物体走过的路程s(单位: m)是时间t(单位: s)的函数: s=-t2+1. (1)t=2到t=2.1;

(2)t =2到t =2.01; (3)t =2到t =2.001. 则三个时间段内的平均速度分别爲________, ________, ________, 估计该物体在t =2时的瞬时速度爲________. 答案 -4.1 m/s -4.01 m/s -4.001 m/s -4 m/s 7.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时, 需在2 s 内完成刹车, 其位移 (单位: m)关于时间(单位: s)的函数爲: s (t )=-3t 3+t 2+20, 求: (1)开始刹车后1 s 内的平均速度; (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度; (3)刹车1 s 时的瞬时速度. 解 (1)刹车后1 s 内平均速度 v 1=s (1)-s (0)1-0=(-3×13+12+20)-201 =-2(m/s). (2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度爲: v 2=s (2)-s (1) 2-1 =(-3×23+22+20)-(-3×13+12+20)1 =-18(m/s). (3)从t =1 s 到t =(1+d )s 内平均速度爲: v 3=s (1+d )-s (1)d =-3(1+d )3+(1+d )2+20-(-3×13+12+20)d =-7d -8d 2-3d 3 d =-7-8d -3d 2 →-7(m/s)(d →0) 即t =1 s 时的瞬时速度爲-7 m/s. 二、能力提升 8.质点M 的运动方程爲s =2t 2-2, 则在时间段[2,2+Δt ]内的平均速度爲

(完整word版)2019年最新最全 北师大版小学数学教材目录--详细版

一、生活中的数 可爱的校园快乐的家园玩具 小猫钓鱼文具 二、比较 动物乐园高矮较重 三、加减法(一) 有几枝铅笔有几辆车摘果子 小猫吃鱼猜数游戏跳绳 可爱的企鹅分苹果操场上乘车 整理与复习(一) 大家来锻炼迎新年 四、分类 整理房间整理书包 五、位置与顺序 前后上下左右教室 六、认识物体 物体分类你说我摆 七、加减法(二) 捆小棒搭积木有几瓶牛奶有几棵树买铅笔跳伞表演美丽田园 整理与复习(二) 八、认识钟表 小明的一天小芳的上午 九、统计 最喜欢的水果一、生活中的数 数铅笔数豆子动物餐厅小小养殖场 二、观察与测量 观察物体桌子有多长去游乐园 估一估量一量 三、加与减(一) 小兔请客采松果青蛙吃害虫 拔萝卜回收废品我和小树一起长 四、有趣的图形 认识图形动手做(一) 动手做(二)动手做(三) 五、加与减(二) 图书馆发新书小小图书馆 跳绳小小运动会 六、购物 买文具买衣服小小商店 七、加与减(二) 套圈游戏乘船乘车今天我当家 八、统计 组织比赛买气球

一、除法 数一数儿童乐园有几块积木 动物聚会 二、乘法口诀(一) 数松果摘桃子做家务需要几个轮子可爱的小青蛙小熊请客回家路上 三、观察物体 看一看(一)看一看(二)节日广场 四、分一分与除法 分桃子分苹果分糖果分香蕉 飞行表演小熊开店运动会 快乐的动物文具店花园整理与复习(一) 五、方向与位置 东南西北看望老人 六、时、分、秒 我们赢了一分钟能干什么作息时间表 月球旅行 七、乘法口诀(二) 有多少“粘贴画” 一个星期有几天 买球整理与复习 八、除法 长颈鹿和小鸟小兔安家游乐场 九、统计与猜测 生日买书抛硬币趣味运动会一、除法 分苹果分橘子分草莓租船派车 二、混合运算 小熊购物买鲜花过河 三、方向与路线 辩认方向认识路线 四、生活中的大数 数一数拔一拔 比一比练习五 五、测量 铅笔有多长一千米有多长 练习六整理与复习一 走进乡村 六、加与减(一) 买电器回收废电池 小小图书馆练习七 七、认识图形 认识角长方形与正方形 平行四边形欣赏与设计 八、加与减(二) 捐书活动运白菜买洗衣机 美丽的植物园 九、统计 读统计图表

最新人教A版选修2-2高中数学导学案全册课堂导学全文和答案

1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 [学习目标] 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. [知识链接] 很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢? 答 气球的半径r (单位:dm)与体积V (单位:L)之间的函数关系是r (V )=33V 4π, (1)当V 从0增加到1 L 时,气球半径增加了r (1)-r (0)≈0.62 (dm), 气球的平均膨胀率为 r 1 -r 0 1-0 ≈0.62(dm/L). (2)当V 从1 L 增加到2 L 时,气球半径增加了r (2)-r (1)≈0.16 (dm), 气球的平均膨胀率为 r 2 -r 1 2-1 ≈0.16(dm/L). 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了. [预习导引] 1.函数的变化率 0函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →0 f x 0+Δx -f x 0 Δx 称为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →0 f x 0+Δx -f x 0 Δx . 要点一 求平均变化率 例1 已知函数h (x )=-4.9x 2+6.5x +10. (1)计算从x =1到x =1+Δx 的平均变化率,其中Δx 的值为①2;②1;③0.1;④0.01. (2)根据(1)中的计算,当|Δx |越来越小时,函数h (x )在区间[1,1+Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势? 解 (1)∵Δy =h (1+Δx )-h (1)=-4.9 (Δx )2-3.3Δx ,∴ Δy Δx =-4.9Δx -3.3.

新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排

新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排 必修1(36节) 第一章集合(5) §1 集合的含义与表示 1 §2 集合的基本关系1 §3 集合的基本运算 2 阅读材料康托与集合论 小结与复习1 第二章函数(9) §1 生活中的变量关系1 §2 对函数的进一步认识3 §3 函数的单调性 1 §4 二次函数性质的再研究2 §5 简单的幂函数 1 阅读材料函数概念的发展 小结与复习1 第三章指数函数和对数函数(14) §1 正整数指数函数 1 §2 指数概念的扩充3 §3 指数函数 3 §4 对数 2 §5 对数函数3§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1第四章函数应用7 §1 函数与方程 2 §2 实际问题的函数建模4 小结与复习1 必修2(36) 第一章立体几何初步(18节) §1 简单几何体 1 §2 直观图 1 §3 三视图 3 §4 空间图形的基本关系与公理 2 §5 平行关系 3 §6 垂直关系 4 §7 简单几何体的面积和体积2 第二章解析几何初步(18节) §1 直线与直线的方程8 §2 圆与圆的方程 5 §3 空间直角坐标系3 必修3 全书目录 第一章统计(16) §1 统计活动:随机选取数字§2 从普查到抽样 §3 抽样方法§4 统计图表 §5 数据的数字特征§6 用样本估计总体 §7 统计活动:结婚年龄的变化§8 相关性 §9 最小二乘法 第二章算法初步(12) §1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计 §3 排序问题§4 几种基本语句 第三章概率(8) §1 随机事件的概率§2 古典概型 §3模拟方法――概率的应用 必修4 第一章三角函数(16) §1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广

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一、生活中的数 可爱的校园快乐的家园玩具小猫钓鱼文具 二、比较 动物乐园高矮较重 三、加减法(一) 有几枝铅笔有几辆车摘果子小猫吃鱼猜数游戏跳绳可爱的企鹅分苹果操场上乘车整理与复习(一)大家来锻炼迎新年 四、分类 整理房间整理书包 五、位置与顺序 前后上下左右教室 六、认识物体 物体分类你说我摆 七、加减法(二) 捆小棒搭积木有几瓶牛奶有几棵树买铅笔跳伞表演美丽田园整理与复习(二)八、认识钟表 小明的一天小芳的上午 九、统计 最喜欢的水果 北师大版小学数学一年级(下册) 一、生活中的数 数铅笔数豆子动物餐厅小小养殖场 二、观察与测量 观察物体桌子有多长去游乐园估一估量一量 三、加与减(一) 小兔请客采松果青蛙吃害虫拔萝卜回收废品我和小树一起长 四、有趣的图形 认识图形动手做(一)动手做(二)动手做(三) 五、加与减(二) 图书馆发新书小小图书馆跳绳小小运动会 六、购物 买文具买衣服小小商店 七、加与减(二) 套圈游戏乘船乘车今天我当家 八、统计 组织比赛买气球

一、除法 数一数儿童乐园有几块积木动物聚会 二、乘法口诀(一) 数松果摘桃子做家务需要几个轮子可爱的小青蛙小熊请客回家路上 三、观察物体 看一看(一)看一看(二)节日广场 四、分一分与除法 分桃子分苹果分糖果分香蕉飞行表演小熊开店运动会快乐的动物文具店花园整理与复习(一) 五、方向与位置 东南西北看望老人 六、时、分、秒 我们赢了一分钟能干什么作息时间表月球旅行 七、乘法口诀(二) 有多少“粘贴画” 一个星期有几天买球整理与复习 八、除法 长颈鹿和小鸟小兔安家游乐场 九、统计与猜测 生日买书抛硬币趣味运动会 北师大版小学数学二年级(下册) 一、除法 分苹果分橘子分草莓租船派车 二、混合运算 小熊购物买鲜花过河 三、方向与路线 辩认方向认识路线 四、生活中的大数 数一数拔一拔比一比练习五 五、测量 铅笔有多长一千米有多长练习六整理与复习一走进乡村 六、加与减(一) 买电器回收废电池小小图书馆练习七 七、认识图形 认识角长方形与正方形平行四边形欣赏与设计 八、加与减(二) 捐书活动运白菜买洗衣机美丽的植物园 九、统计 读统计图表

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