一元二次方程的整数解

一元二次方程的整数解

解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略：

1、从求根入手，求出根的有理表达式，利用整数求解，形成12()()0x x x x --=的形式；

2、从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设2k ?=），通过穷举，逼近求解

3、从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因式分解求解。

4、从变换主元入手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解。

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。

1、若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的整数k 的值。

2、已知a 、b 为质数且是方程2130x x c -+=的根，求a b b a

+的值。 3、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。

4、当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有求出m 的值；如果没有，请说明理由。

5、已知a 是正整数，如果关于x 的方程3(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根。

6、若关于x 的方程222(3)(13)0ax a x a --+-=至少有一个整数根，求非负整数a 的值。 解析：①当0a ≠时，变换主元得到2136(1)x a x -=-，此时1a ≥，则21361(1)x x -≥-，得到 (6)(2)0x x ++≤解得62x -≤≤且1x ≠，因为至少有一个x 的值为整数，则这个整数x 的值可能为6-、5-、4-、3-、2-、1-、0、2，

②当0a =时，136

x =

（舍）

课后作业

1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的跟都是整数，求符合条件的所有整数a 。

2、已知方程219990x x m -+=有两个质数解，求m 的值。

3、给出四个命题：

①整系数方程20ax bx c ++=(0)a ≠中，若?为完全平方数，则方程必有有理根。 ②整系数方程20ax bx c ++=(0)a ≠中，若方程有有理根，则?为完全平方数。 ③无理系数方程20ax bx c ++=(0)a ≠的根只能是无理数。

④若a 、b 、c 均为奇数，则方程20ax bx c ++=没有有理根。

其中真命题是 。

4、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x a x a +-+=（a 为整数）的两个实数根是1x 、2x ，

5、设m 为整数，且440m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根。

6、已知方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+=(0)a ≠至少有一个整数根，求a 的值。

7、求使关于x 的方程2

(1)10kx k x k +++-=的根都是整数的k 值。

8、当n 为正整数时，关于x 的方程22281035760x nx x n n -+-+-=的根均为质数，试解此方程。

9、设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两个根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值。

10、试求所有这样的正整数a ，是的方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解。

11、已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出p 的所有可能值。

12、已知p 、q 都是整数，关于x 的方程22

1115()16094p x x p q +-+++=的两个根，求p 、q 的值。

1、m 是什么整数时方程22(1)6(31)720m x m x ---+=有两个不相等的正整数根。

2、已知方程2(3)20ax a x a --+-=至少有一个整数根，求整数a 的值。

3、求满足方程422214y x x y ++=的所有整数对(,)x y 。

1

当1k =时，1y =，1x =±，整数对为(1,1)-和(1,1)

当5k =时，9y =，此时x 为无理数，此时不符合题意。

综上：整数对为(1,1)-和(1,1)

3、求满足方程442214y x x y ++=的所有整数对(,)x y 。

解：看成关于2x 的二次方程，之后用判别式可直接确定1y =±

4、x 为何有理数时代数式29232x x +-的值恰为两个连续正偶数的乘积。

5、方程20x px q ++=的两个根都是正整数并且1992p q +=，求方程较大根与较小根之比。

6、求所有实数k 使方程2(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数。

7、求出所有这样的正整数a 使得二次方程2

2(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根。

8、使方程222170a x ax a ++-=两根都是整数根的所有正数a 的和是多少。

9、如果方程210x ax b -++=的两根1x 、2x 都为自然数，试证：22a b +必为合数。

10、已知m ，n 为整数，方程210530x mx n ++±=有实数根，问方程有无整数根。

11、已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，问是否存在这样

的n 值，使第一个方程两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根？如果存在，求出这样的n 的值；如果不存在，请说明理由。