2012年全国各地中考数学压轴题专集答案圆
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
八、圆 1．（北京模拟）在△ABC 中，分别以AB 、AC 为直径在△ABC 外作半圆O 1和半圆O 2，其中O 1和O 2分别为两个半圆的圆心．F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点． （1）如图1，连接O 1F ，O 1D ，DF ，O 2F ，O 2E ，EF ，证明：△DO 1F ≌△FO 2E ；
（2）如图2，过点A 分别作半圆O 1和半圆O 2的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连接PQ ，若∠ACB ＝90°，DB ＝5，CE ＝3，求线段PQ 的长；
（3）如图3，过点A 作半圆O 2的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线F A 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连接P A ．求证：P A 是半圆O 1的切线．
（1）证明：∵O 1，O 2，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点 ∴O 1F ∥AC 且O 1F ＝AO 2，O 2F ∥AB 且O 2F ＝AO 1 ∴∠BO 1F ＝∠BAC ，∠CO 2F ＝∠BAC
∴∠BO 1F ＝∠CO 2F ∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点
∴O 1F ＝AO 2＝O 2E ，O 2F ＝AO 1＝O 1D ，∠BO 1D ＝90°，∠CO 2E ＝90°
∴∠BO 1D ＝∠∠CO 2E ，∴∠DO 1F ＝∠FO 2E ∴△DO 1F ≌△FO 2E
（2）解：延长CA 至G ，使AG ＝AQ ，连接BG 、AE
∵点E 是半圆O 2圆弧的中点，∴AE ＝CE ＝3
∵AC 为半圆O 2的直径，∴∠AEC ＝90° ∴∠ACE ＝∠CAE ＝45°，AC ＝3 2
∵AQ 是半圆O 2的切线，∴CA ⊥AQ ，∴∠CAQ ＝90°
∴∠AQE ＝∠ACE ＝45°，∠GAQ ＝90°，∴AQ ＝AC ＝AG ＝3 2 同理：∠BAP =90°，AB =AP ＝5 2 ∴CG ＝62，∠GAB ＝∠QAP ∴△AQP ≌△AGB ，∴PQ ＝BG
∵∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB 2
－AC 2
＝4 2
∴BG ＝BC 2
＋GC 2
＝226，∴PQ ＝226
（3）设直线F A 与PQ 的垂足为M ，过C 作CG ⊥MF 于G ，过B 作BH ⊥MF 于H ，连接DH 、AD 、DM ∵F 是BC 边的中点，∴S △ABF
＝S △ACF
，∴BH ＝CG 由（2）知，∠CAQ ＝90°，AC ＝AQ ，∴∠2＋∠3＝90° ∵FM ⊥PQ ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3 同理：∠2＝∠
4
图
1 图
2 图
3
Q
Q
∴△AMQ ≌△CGA ，∴AM ＝CG ，∴AM ＝BH 同（2）可证AD ＝BD ，∠ADB ＝∠ADP ＝90° ∴∠ADB ＝∠AHB ＝90°，∠ADP ＝∠AMP ＝90° ∴A 、D 、B 、H 四点在以AB 为直径的圆上 A 、D 、P 、M 四点在以AP 为直径的圆上 且∠DBH ＋∠DAH ＝180° ∴∠5＝∠8，∠6＝∠7 ∵∠DAM ＋∠DAH ＝180°，∴∠DBH ＝∠DAM ∴△DBH ≌△DAM ，∴∠5＝∠9 ∴∠HDM ＝90°，∴∠5＋∠7＝90° ∴∠6＋∠8＝90°，∴∠P AB ＝90°，∴P A ⊥AB 又AB 是半圆O 1的直径，∴P A 是半圆O 1的切线
2．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵
上的一个动点（不与点A 、B 重合），
OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）当BC ＝1时，求线段OD 的长；
（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．
解：（1）∵OD ⊥BC ，∴BD ＝
1
2
BC ＝
1
2
在Rt △BOD 中，OD ＝
OB 2
－BD 2
＝
15
2
（2）存在，长度保持不变的边为DE 连接AB
∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，∴AB ＝
OA 2
＋OB 2
＝2 2 ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 是BC 中点，E 是AC 中点
∴DE ＝
1
2
AB ＝ 2 （3）连接OC ，过D 作DF ⊥OE 于F ∵OD ＝2，BD ＝x ，∴OD ＝
4－x 2
∵OA ＝OB ＝OC ，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∵∠AOB ＝90°，∴∠DOE ＝45°
在Rt △DOF 中，DF ＝OF ＝
4－x
2
2
在Rt △DFE 中，EF ＝
DE 2
－DF 2
＝
2－
4－x 2
2
＝
2
2
x
∴y ＝
1 2 OE 2DF ＝ 1 2
( 4－
x 2 2
＋ 2
2
x
)24－x 2
2
A E C D
B
A
E
C
D
B
A
E
C
D
O
B
F
即y＝4－x2＋x4－x2
4（0＜x＜2）
3．（上海模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cot A＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y．
（1）求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．
4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．
（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？
（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．
解：（1）连接AM 、MN ，设⊙M 与AB 相切于点E ，连接ME ∵⊙N 与⊙M 是等圆，且两圆外切
∴在Rt △MNE 中，MN ＝2ME ，∴∠ANM ＝30° ∵AD ∥BC ，∠B ＝60°，∴∠BAD ＝120° ∵⊙M 与∠BAD 的两边相切 ∴∠NAM ＝60°，∴∠AMN ＝90° ∴在Rt △AMN 中AM ＝
1 2 AN ＝ 1 2
x
∴ME ＝AM 2sin60°＝
3
4
x 即y ＝
3
4
x （x
＞0） （2）设⊙M 分别与AD 、CD 相切于点F 、G ，连接MA 、MF 、
则MF ＝FD ＝MG ＝y 且AF ＝MF 2cot60°＝
3
3
y ＝ 3 3 23 4 x ＝ 1
4
x ∵AD ＝4，AF ＋FD ＝AD ，∴
1 4
x ＋
3
4
x ＝4
∴x ＝8(
3－1
)
（3）作NH ⊥BC 于点H
若直线CD 被⊙M 所截得的弦与直线BC 被⊙N 所截得的弦的长相等，则弦心距MG ＝NH ①当点N 在线段AB 上时 ∵AB ＝10，∴BN ＝10－x
∴FD ＝MG ＝NH ＝BN 2sin60°＝
3
2
(10－x
) ∵AF ＝
1 4
x ，AF ＋FD ＝AD ，∴1 4
x ＋3
2
(10－∴x ＝
104－12
3
11
②当点N 在AB 延长线上时
则FD ＝MG ＝NH ＝BN 2sin60°＝
3
2
(
x －10
)
1
4
x ＋3
2
(
x －10
)＝4 ∴x ＝
104＋12
3
11
∴当x ＝
104－12
3 11 或x ＝
104＋12
3
11
时，直线CD 被⊙M 所截得的弦与直线BC 被⊙N 所截得的弦的长相等
5．（上海模拟）已知：半圆O 的半径OA ＝4，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点B 作OP 的垂线交半圆O 于点C ，射线PC 交半圆O 于点D ，连接OD ．
（1）当AC ︵
＝CD ︵
时，求弦CD 的长；
（2）设P A ＝x ，CD ＝y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（3）设CD 的中点为E ，射线BE 与射线OD 交于点F ，当DF ＝1时，求tan ∠P 的值．
解：（1）连接OC 当AC ︵
＝CD ︵
时，∠POC ＝∠DOC ∵BC 垂直平分OP ，∴PC ＝OC ＝4 ∴∠P ＝∠POC ＝∠DOC
∴△DOC ∽△DPO ，∴
DO
DP
＝
CD
DO
即
4
4＋CD
＝
CD
4
，解得CD ＝25－2
（2）作OE ⊥CD 于E ，则CE ＝DE ＝
1
2
y ①当点C 在AD ︵
上时 ∵∠PBC ＝∠PEO ＝90°，∠P ＝∠P
∴△PBC ∽△PEO ，∴
PB
PE
＝
PC
PO
即
x ＋4
2
4＋
y
2
＝
4
x ＋4 ，∴y ＝ 1 4
x
2
＋2x －4
显然，B 不与A 重合，∴x ＜4
当D 与C 重合时，PC 是半圆O 的切线 ∴PC ⊥OC ，∠PCO ＝90°
此时△PCO 是等腰直角三角形
∴OP ＝2OC ，即x ＋4＝42，x ＝42－4 ∵D 不与C 重合，∴x ＞42－4 ∴42－4＜x ＜4 ∴y ＝
1
4
x 2
＋2x －4（42－4＜x ＜4）
备用图
备用图
②当点C 在AD ︵
外时
同理，△PBC ∽△PEO ，∴
PB
PE
＝
PC
PO
即
x ＋4
2
4－
y
2
＝
4
x ＋4 ，∴y ＝－ 1 4
x
2
－2x ＋4（0＜x ＜42－4）
（3）①当点C 在AD ︵
上时，过D 作DG ∥OP 交BF 于G 则△DEG ∽△PEB ，△DEF ∽△OBF
∴
DE
PE
＝
DG
PB
＝
DG
OB
＝
DF
OF
＝
1
4＋1
∴
DE
PE
＝
1
5
，即
y
2
4＋
y
2
＝
1
5
，解得 y 2
＝1 ∴CE ＝1，PE ＝5，OE ＝
4
2
－1
2
＝15
∴tan ∠P ＝
OE
PE
＝
15
5
②当点C 在AD ︵
外时，过D 作DG ∥OP 交BE 于G
则△DEG ∽△PEB ，△DFG ∽△BFO ∴
DE
PE
＝
DG
PB
＝
DG
OB
＝
DF
OF
＝
1
4－1
∴
DE
PE
＝
1
3
，即
y
2
4－
y
2
＝
1
3
，解得 y 2
＝1 ∴CE ＝1，PE ＝3，OE ＝
4
2
－1
2
＝15
∴tan ∠P ＝ OE
PE
＝
15
3
6．（上海模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，sin B ＝
3
5
，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边BC 于点P ，点O 是边AB 上的动点．
（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；
（3）如图2，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．
A B C P 图
1
解：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，sin B ＝
3
5
∴AB ＝10，BC ＝
AB 2
－AC 2
＝
10
2
－6
2
＝8
过点M 作MD ⊥AB 于D
在Rt △MDB 中，∠MDB ＝90°，∴sin B ＝ MD
MB
＝
3
5
∵MB ＝2，∴MD ＝
3 5 ×2＝
6
5
＞1
∴⊙M 与直线AB 相离 （2）∵MD ＝
6
5
＞1＝MP ，∴OM
＞MP 若OP ＝MP ，易得∠MOB ＝90° ∴cos B ＝
OB
BM
＝
BC
AB
＝
8 10 ，∴OB ＝
8
5
∴OA ＝10－
8
5
＝
42
5
若OM ＝OP ，过O 作OE ⊥BC 于E ∴cos B ＝
EB
OB
＝
BC
AB
＝
8 10
，∴OB ＝
15
8
∴OA ＝10－
15 8
＝
65
8
∴当△OMP 是等腰三角形时，OA 的长为
42
5
或
65
8
（3）连接ON ，过N 作NF ⊥AB 于F 在Rt △NFB 中，∠NFB ＝90°，sin B ＝
3
5
，NB ＝y ∴NF ＝
3
5
y ，BF ＝
4 5 y ，∴OF ＝10－x －
4 5
y ∵⊙N 和⊙O 外切，∴ON ＝x ＋y 在Rt △NFB 中，ON 2＝OF 2＋NF 2
∴(
x ＋y )2
＝( 10－x －
4
5
y
)2＋(
3 5
y
)2
∴y ＝
250－50x
x ＋40
（0＜x
＜5）
7．（上海模拟）如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，AC ＝4，∠BOD ＝∠A ，OB 与⊙O 相交于点E ，设OA ＝x ，CD ＝y ． （1）求BD 的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当CE ⊥OD 时，求AO 的长．
解：（1）∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ，∴∠OCA ＝∠ODB
A B D
C E
O
∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴BD
OC＝
OD
AC
∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴BD
6＝
6
4，∴BD＝9
（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B
又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴AB
AO＝
AO
AC
∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴y＋13
x＝
x
4
∴y＝1
4x
2
－13
∵0＜y＜8，∴0＜1
4x
2
－13＜12，解得213＜x＜10
∴定义域为213＜x＜10
（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A
∴∠AOD＝180o－∠A－∠ODC＝180o－∠COD－∠OCD＝∠ADO
∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴1
4x
2
－13＋4＝x
∴x＝2±210（舍去负值）
∴AO＝2±210
8．（安徽某校自主招生）如图，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F．设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证：
（1）AG＝DF；（2）D、H、E三点共线．
证明：（1）由题意I为△ABC的内心，所以∠ABH＝∠HBF
∵AF⊥BH，∴∠AHB＝∠FHB＝90o
又BH＝BH，∴△AHB≌△FHB，∴AB＝BF
又由切线长定理，得BG＝BD
∴AG＝DF
（2）连接DE、EH、AI、EI
∵∠AEI＝∠AHI＝90o，∴A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上
∴∠AEH＝∠AIB
∵I为△ABC的内心，∴∠AIB＝90o＋1
2∠C
∴∠AEH＝90o＋1
2∠C
∵CD＝CE，∴∠DEC＝180o－∠C
2＝90o－
1
2∠C
G
E
I
A
H
F
D C
B
G
E
I
A
H
F
D C
B
A B
D
C
E
O
∴∠AEH ＋∠DEC ＝180o ∴D 、H 、E 三点共线
9．（安徽某校自主招生）如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角90°，点B 是MN ︵
上一动点，BA ⊥OM 于点
A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、A
B 、B
C 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．
（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；
（2）探索OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形； （3）试说明3PQ 2＋OA 2
是定值．
（1）证明：∵∠AOC ＝90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ∴四边形OABC 是矩形，∴AB ∥OC ，AB ＝OC ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点 ∴AE ∥GC ，AE ＝GC
∴四边形AECG 为平行四边形，∴CE ∥AG 连接OB
∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点 ∴GF ∥OB ，DE ∥OB ，∴PG ∥EQ ∴四边形EPGQ 是平行四边形 （2）当∠CED ＝90°时，□EPGQ 是矩形 此时∠AED ＋∠CEB ＝90° 又∵∠DAE ＝∠EBC ＝90°，∴∠AED ＝∠BCE ∴△AED ∽△BCE ，∴
AD
BE
＝
AE
BC
设OA ＝x ，AB ＝y ，则
x
2
y
2
＝
y
2
x
，得y
2＝2x
2
又OA 2＋AB 2＝OB 2，即x
2＋y
2＝1
2
∴x
2＋2x
2
＝1，解得x ＝
3
3
∴当OA 的长为
3
3
时，四边形EPGQ 是矩形 （3）连接GE 交PQ 于点O ′，则O ′P ＝O ′Q ，O ′G ＝O ′E 过P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B ′、A ′ 由△PCF ∽△PEG 得，
PG
PF
＝
PE
PC
＝
GE
FC
＝2
∴P A ′＝
2
3
A ′
B ′＝
1 3 AB ，GA ′＝ 1 3 GE ＝ 1
3
OA N
O M
B C
G
F D
A Q E P
N
O
M
备用图
N
O
M
B C G F D
A Q E P
N O
M
B
C G
F D
A
Q
E P
N
O
M
B C G F D
A Q
E P
B ′ A ′ O ′
∴A ′O ′＝
1
2
GE －GA ′＝
1 6
OA 在Rt △P A ′O ′ 中，PO ′ 2
＝P A ′ 2
＋A ′O ′ 2
，即 PQ 2
4
＝
AB 2
9
＋
OA
2
36
又AB 2＋OA 2＝1
2，∴3PQ 2＝AB 2
＋
1 3
∴3PQ 2＋OA 2＝AB 2
＋
1
3
＋OA 2
＝1＋
1 3
＝
4 3
10．（浙江杭州）如图，AE 切⊙O 于点E ，AT 交⊙O 于点M 、N ，线段OE 交AT 于点C ，OB ⊥AT 于点B ，已知∠EAT ＝30°，AE ＝33，MN ＝222． （1）求∠COB 的度数； （2）求⊙O 的半径R ；
（3）点F 在⊙O 上（FME ︵
是劣弧），且EF ＝5，将△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶
点分别与点E 、F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比．
解：（1）∵AE 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥AE ∵OB ⊥AT 于点B ，∴∠AEC ＝∠OBC ＝90° 又∵∠ACE ＝∠OCB ，∴△ACE ∽△OCB ∴∠COB ＝∠EAT ＝30°
（2）在Rt △AEC 中，CE ＝AE 2tan30°＝3 ∠OCB ＝∠ACE ＝60°
设BC ＝x ，则OB ＝3x ，OC ＝2x
连接ON ，得(
3x )2＋( 22 )2＝( 2x ＋3
)2
解得x ＝1或x ＝－13（舍去），∴x ＝1
∴R ＝2x ＋3＝5
（3）这样的三角形有3个 画直径FG ，连接GE
∵EF ＝OE ＝OF ＝5，∴∠EFG ＝60°＝∠BCO ∴△GEF 即为所要画出的三角形
∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 ∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比 又∵两个直角三角形斜边长FG ＝2R ＝10，OC ＝2 ∴△GEF 与△OBC 的周长之比为5 :
1
(
11．（浙江台州）定义：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值．．．叫做线段．．a ．与线．．段．b ．的距离．．．． 已知O （0，0），A （4，0），B （m ，n ），C （m ＋4，n ）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当m ＝2，n ＝2时，如图1，线段BC 与线段OA 的距离是___________；
当m ＝5，n ＝2时，如图2，线段BC 与线段OA 的距离（即线段AB 长）为___________．
（2）如图3，若点B 落在圆心为A ，半径为2的圆上，线段BC 与线段OA 的距离记为d ，求d 关于m 的
函数解析式．
（3）当m 的值变化时，动线段BC 与线段OA 的距离始终为2，线段BC 的中点为M ．
①求出点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点D 的坐标为（0，2），m
≥0，n
≥0．作MH ⊥x 轴，垂足为H ，是否存在m 的值使以A ，M ，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）2
（2）当4≤m
≤6时，显然线段BC 与线段OA 的距离等于⊙A 半径，即d ＝2 当2≤m
＜4时，作BN ⊥x 轴于点N ，线段BC 与线段OA 的距离等于BN 长
∴d ＝
2
2
－(
4－m )2
＝ －m
2
＋8m －12
∴d 关于m 的函数解析式为：d ＝???
－m
2＋8m －12
（2≤m
＜4）
2（4≤m
≤6）
（3）①由题意可知，由线段PE ，EFG ，线段GK ，KNP 所围成的封闭图形就是点M 随线段BC 运动所围成的
∴点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长为：
（图1）
（图2）
（图3）
2×π×2＋2×2×4＝16＋4π
②∵m
≥0，n
≥0，∴点M 随线段BC 运动所形成图形的是线段M 0E 和EF ︵
易知△AOD 是两直角边为1 :
2的直角三角形
若△AMH 与△AOD 相似，则
MH
HA
＝
1
2
或
MH
HA
＝2
当2≤m ＋2＜4时，显然M 1H 1＞H 1A ，∴
M 1H 1
H 1A
＝2
∵M 1H 1＝2，∴H 1A ＝1，∴OH 1＝3 ∴m 1＝3－2＝1
当4≤m ＋2≤6即M 2在线段CE 上时，同理可求m 2＝5－2＝3
当6＜m ＋2≤8即M 3在线段EF ︵
上时，∵AH 3≥2≥M 3H 3，∴
M 3H 3
H 3A
＝
1
2
设M 3H 3＝x ，则AH 3＝2x ，∴AH 3＝2x －2 又∵RH 3＝2，∴(
2x －2 )2＋x 2＝2 2
，∴x 1＝
8
5
，x 2＝0（不合题意，舍去） ∴OH 3＝4＋2x ＝
36 5
，∴m 3＝
36 5 －2＝
26 5
综上可知，存在m 的值使以A ，M ，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，相应m 的值为1，3，26
5
12．（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝5，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作⊙O ，交BC 于点F ，过点F 作FH ⊥CE 于H ，直线FH 交⊙O 于点G ． （1）当直线FH 与⊙O 相切时，求AE 的长； （2）当FH ∥BE 时，求FG 的长；
（3）在点E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE 的长；如果不能，说明理由．
解：（1）连接OF 、EF
∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BFE ＝90° 又∠A ＝∠ABF ＝90°，∴四边形ABFE 为矩形 ∴AE ＝BF ，∴DE ＝CF
∵FH 与⊙O 相切，∴OF ⊥FH ∵FH ⊥CE ，∴OF ∥CE ∵BO ＝OE ，∴BF ＝CF ∴AE ＝DE ＝
1
2
AD ＝
5 2
（2）作OM ⊥FG 于M ，连接OF
∵FH ∥BE ，∴∠BEC ＝∠FHC ＝90°
B D
D
易证△ABE∽△DEC，∴AE
DC＝
AB
DE
即AE
2＝
2
5－AE，解得AE＝1或4
①当AE＝1时，BF＝1，DE＝CF＝4
∴BE＝5，CE＝25，OF＝
5 2
由△CFH∽△CBE，得CH＝85 5
∴OM＝EH＝CE－CH＝25
5，∴FM＝OF
2
－OM2＝
35
10
∴FG＝2FM＝35 5
②当AE＝4时，BF＝4，DE＝CF＝1 ∴BE＝25，CE＝5，OG＝ 5
由△CFH∽△CBE，得CH＝
5 5
∴OM＝EH＝CE－CH＝45
5，∴FM＝OG
2
－OM2＝
35
5
∴FG＝2FM＝65 5
（3）连接EF，设AE＝x
则EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x
若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°
①当点G在点F上方时
连接BG、EG，设BG、EF交于点K，作GM⊥EF于M 则∠FBG＝∠FEG＝45°
∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形
∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝1
2EK＝1－
1
2x
FM＝x＋1－1
2x＝1＋
1
2x
∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC
∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴GM
FM＝
EF
CF
∴1－
1
2x
1＋
1
2x
＝
2
5－x，解得x1＝
9－57
2，x2＝
9＋57
2＞5（舍去）
②当点G在点F下方时
连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GM⊥BF于M 则∠GBF＝∠GEF＝45°
∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形
∴KF＝EF＝2，EK＝2 2
BK＝x－2，GM＝KM＝1
2(x－2)，FM＝2＋
1
2(x－2)＝
1
2(x＋2)
D
C
D
D
∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF
∴Rt△FMG∽Rt△EFC，∴FM
GM＝
EF
CF
∴1
2(x＋2)
1
2(x－2)
＝
2
5－x，解得x1＝
1＋57
2，x2＝
1－57
2（舍去）
综上所述，△OFG能成为等腰直角三角形，此时AE的长为9－57
2或
1＋57
2
13．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以P A为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．
（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；
（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）．
①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．
（1）证明：连接PC，过B作BN⊥x轴于N
∵PC＝P A，∴∠1＝∠2
∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6
在Rt△OBN中，OB＝ON2＋BN2＝62＋82＝10
∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1
∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB
∵CD⊥OB，∴CD⊥PC
∴CD是⊙P的切线
（2）解：设⊙P的半径为r
∵⊙P与OB相切于点E，∴OB⊥PE
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝PE
OP＝
r
10－r
在Rt△OBN中，sin∠BON＝BN
OB＝
8
10＝
4
5
∴
r
10－r＝
4
5，解得r＝
40
9
图
1 图2
（3）①由（2）知r ＝
40
9
，∴OP ＝10－
40
9
＝
50
9
∴OE ＝
OP 2
－PE 2
＝
10
3
∵∠PCD ＝∠CDE ＝∠PED ＝90° ∴四边形PCDE 是矩形
∵PE ＝PC ，∴矩形PCDE 是正方形 ∴PE ＝DC ＝
40
9
∴BD ＝OB －OE －DE ＝10－
10
3
－
40
9
＝
20
9
∵∠BFD ＝∠PFC ，∠BDF ＝∠PCF ＝90° ∴△BDF ∽△PCF ，∴
DF
CF
＝
BD
PC
即
40
9
－CF
CF ＝
20
9
40 9
，解得CF ＝
80
27
②存在
在DE 延长线上截取ET ＝CF ∵四边形PCDE 是正方形 ∴∠PET ＝∠PCF ＝90°，PE ＝PC
∴△PET ≌△PCF ，∴∠4＝∠3，PT ＝PF ∵∠CPE ＝90°，∠GPF ＝45° ∴∠GPE ＋∠3＝45°，∴∠GPE ＋∠4＝45° 即∠GPT ＝45°，∴∠GPT ＝∠GPF 又PG ＝PG ，∴△PGT ≌△PGF ∴GF ＝GT ＝GE ＋ET ＝GE ＋CF 设GE ＝a ，则DG ＝
40
9
－a ，GF ＝
80
27
＋a 又DF ＝DC －CF ＝
40
9
－
80
27
＝
40
27
在Rt △DFG 中，DF 2＋DG 2＝GF 2
∴(
40
27
)2＋(
40
9 －a )2＝(
80
27 ＋a )2，解得a ＝
8
9
即EG 的长为
8
9
14．（浙江模拟）如图，以△ABC 的边BC 为弦，在点A 的同侧画BC ︵
交AB 于D ，且∠BDC ＝90°＋
1
2
∠A ，
点P 是BC ︵
上的一个动点．
（1）判定△ADC 的形状，并说明理由； （2）若∠A ＝70°，当点P 运动到∠PBA ＝∠PBC ＝15°时，求∠ACB 和∠ACP 的度数；
（3）当点P 在BC ︵
运动时，过点P 作直线MN ⊥AP ，分别交AB 、AC 于点M 、N ，是否存在这样的点P ，
使得△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似？请说明理由．
解：（1）△ADC 是等腰三角形 ∵∠BDC ＝90°＋
1
2
∠A ∴∠ADC ＝90°－
1
2
∠A ，∠ACD ＝90°＋
1 2 ∠A －∠A ＝90°－ 1 2
∠A ∴∠ACD ＝∠ADC ，∴△ADC 是等腰三角形
（2）∵∠A ＝70°，∠PBA ＝∠PBC ＝15° ∴∠ACB ＝180°－70°－2×15°＝80° ∵∠BPC ＝∠BDC ＝90°＋
1 2 ∠A ＝90°＋
1 2
×70°＝125°
∴∠PCB ＝180°－15°－125°＝40° ∴∠ACP ＝∠ACB －∠PCB ＝80°－40°＝40°
（3）存在．当点P 运动至CD ︵
的中点时，△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似
∵P 是CD ︵
的中点，∴∠ABP ＝∠CBP 设∠A ＝x °，∠ABP ＝∠CBP ＝y °
则∠ACB ＝180°－x －2y ，∠PCB ＝180°－y －(
90°＋
1
2
x
)＝90°－y －
1
2
x ∴∠ACP ＝∠ACB －∠PCB ＝180°－x －2y －(
90°－y －
1
2
x
)＝90°－y －
1
2
x ∴∠PCB ＝∠ACP ，∴PC 平分∠ACB
∴当点P 运动至CD ︵
的中点时，点P 是△ABC 的角平分线的交点
连接AP ，则AP 平分∠BAC ，∴∠BMP ＝∠CNP ＝90°＋
1
2
x ＝∠BPC ∴△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似
15．（浙江模拟）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝4AD ＝42，∠B ＝45°．将直角三角板含45°角的顶点E 放在边BC 上移动（不与点C 重合），一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ． （1）在点E 移动过程中，当△ABE 为等腰三角形时，求CF 的长； （2）在点E 移动过程中，求△ADF 外接圆半径的最小值．
B
A
C
D
备用图
P
B
A
C
D
P
B
A
C
D
M
N
（2）设△ADF 外接圆的圆心为O
∵∠ADF ＝135°，∴∠AOF ＝90°，∴AF ＝2r
当AF 最小时，r 也最小；又当CF 最大时，AF 最小 由（1）知CF ＝
42－BE
3
2BE ＝－
1
3
BE 2＋
42
3
BE ＝－
1
3
(
BE －22)2
＋
8
当BE ＝22
即E 为BC 中点时，CF 最大，为
8
3
此时DF ＝3－
8
3
＝
1
3
作FG ⊥AD 于G ，则FG ＝DG ＝
2
6
，AG ＝AD ＋DG ＝
72
6
∴AF 长的最小值为：
AG 2
＋FG 2
＝
5
3
∴△ADF 外接圆半径的最小值为
2
2
AF ＝
52
6
16．（浙江模拟）已知直线y ＝x －2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，C 是x 轴上异于A 的一点，以C 为圆心的⊙C 过点A ，D 是⊙C 上的一点，如果以A 、B 、C 、D 为顶点四边形为平行四边形，求D 点的坐标．
解：由题意，得A （2，0），B （0，－2） ∴OA ＝OB ＝2，AB ＝2
2
①若CD 是平行四边形的边，则CA ＝CD ＝AB ＝2
2 ∴点C 的坐标为（2＋2
2，0）或（2－2
2，0）
当C （2＋2
2，0）时，点D 的坐标为（4＋2
2，2）或（2
2，－2当C （2－2
2，0）时，点D 的坐标为（4－2
2，2）或（－2
2，－②若CD 是平行四边形的对角线，设AB 、CD 相交于点M 则CA ＝CD ＝2CM
而点C 到直线AB 的距离为
2
2
CA ，所以CM ≥2
2
CA ，即CA ≤2CM 故此时A 、B 、C 、D 四点不能构成平行四边形
综上，若以A 、B 、C 、D 为顶点四边形为平行四边形，则D 点的坐标为：
17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A （8，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连接AB 并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，连接OB 、DC 相交于点E
，过点E 作EF ⊥OA 于F ，连接AE ．
（1）如果以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形，求点E
（2）如果以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，求点E （3）如果以点
E 、C 、
F 为顶点的三角形与△ABE 相似，求点E
解：（1）由题意，∠OBA ＝90°，OC ＝CA ＝4，CD ＞CA ①若DC ＝DA 作DH ⊥CA 于H ，则CH ＝HA ＝
1
2
CA ＝2
∵∠DHA ＝∠OBA ＝90°，∠DAH ＝∠OAB ∴△DHA ∽△OBA ，∴
DA
HA
＝
OA
BA
即
2BA
2 ＝
8
BA
，∴BA ＝2 2
∴OB ＝OA 2
－BA 2
＝214，DC ＝DA ＝42，∴DH ＝DC 2
－CH 2
＝27 ∵EF ⊥OA ，∴△ECF ∽△DCH ∴
EF
CF
＝
DH
CH
＝
27
2
＝7 设CF ＝x ，则EF ＝7x ∵∠OFE ＝∠OBA ＝90°，∠EOF ＝∠AOB ∴△OEF ∽△OAB ，即
EF
OF
＝
AB
OB
∴
7x
4＋x
＝
22
214
，解得x ＝
2
3
∴OF ＝4＋x ＝
14 3
，EF ＝7x ＝
27
3
∴E （14 3
，27 3
）
②若CA ＝DA
则BA ＝
1 2 DA ＝ 1 2
CA ＝2，OB ＝OA 2－BA 2
＝215
作DH ⊥CA 于H ，则△DHA ∽△OBA ∴
DA
HA
＝
OA
BA
，即
4
HA ＝
8
2
，∴HA ＝1 ∴CH ＝3，DH ＝DA 2
－HA 2
＝15 由△ECF ∽△DCH ，得
EF
CF ＝
DH
CH ＝
15
3
设CF ＝3x ，则EF ＝15x 由△OEF ∽△OAB ，得
EF
OF
＝
AB
OB
∴
15x
4＋3x
＝
2
215
，解得x ＝
1
3
∴OF ＝4＋3x ＝5，EF ＝15x ＝
15
3
∴E （5，
15
3
） （2）①当点F 在O 、C 之间时
∵∠ECF ＞∠BAO ，∴要使△ECF 与△AOB 相似，只能∠ECF ＝∠AOB 此时△OCE 为等腰三角形，点F 为OC 中点，即OF ＝2 过B 作BG ∥DC 交OA 于G
∵DB ＝AB ，∴CG ＝AG ＝2，∴OG ＝6 ∵BG ∥DC ，∴△OEC ∽△OBG
∴
OE
OB
＝
OC
OG
＝
4
6
＝
2
3
设OE ＝2x ，则OB ＝3x
由△OEF ∽△OAB ，得
OE
OF ＝
OA
OB
∴ 2x 2 ＝ 8 3x ，解得x ＝
26
3
∴OE ＝2x ＝ 46
3 ，∴EF ＝OE 2－OF 2
＝
215 3
∴E （
2，215
3
）
②当点F 在C 、A 之间时
∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△CEF 与△AOB 相似，只能∠ECF ＝∠OAB 此时DC ＝DA
由（1）知，E （14 3
，27 3
）
（3）①若∠FEC ＝∠BAE ，则△EFC ∽△ABE
∵OB 垂直平分AD ，∴AE ＝DE
∴∠D ＝∠BAE ，∴∠FEC ＝∠D
∴∠ECF ＝∠DEB ＝∠OEC ，∴OE ＝OC ＝4 过B 作BG ∥DC 交OA 于G ∵DB ＝AB ，∴CG ＝AG ＝2，∴OG ＝6 由△OEC ∽△OBG ，得OB ＝OG ＝6
∴BE
＝2，AB ＝OA 2
－OB 2
＝2
7
由△OEF ∽△OAB ，得EF ＝
1 2 AB ＝7，OF ＝ 1
2
OB ＝3
∴E （
3，7）
②若∠ECF ＝∠EAB ，则△CFE ∽△ABE ∵∠D ＝∠EAB ，∴∠ECF ＝∠D ∴CA ＝DA
由（1）知，此时E （5，
15
3
） 18．（江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O 1和扇形O 2CD 中，⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ．已知∠CO 2D ＝60°，E 、F 是直线O 1O 2与⊙O 1、扇形O 2CD 的两个交点，EF ＝24 cm ．设⊙O 1的半径为x cm ．
（1）用含x 的代数式表示扇形O 2CD 的半径；
（2）若⊙O 1和扇形O 2CD 两个区域的制作成本分别为0.45元/cm 2和0.06元/cm 2，当⊙O 1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
解：（1）连接O 1A
∵⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ∴O 1A ⊥O 2C ，O 2E 平分∠CO 2D
∴∠AO 2O 1＝
1
2
∠CO 2D ＝30°
在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝
AO 1
O 1O 2
∴O 1O 2＝
AO 1
sin ∠AO 2O 1
＝
x sin30°
＝
AO 1
O 1O 2
＝2x ∴FO 2＝EF －EO 1－O 1O 2＝24－3x ，即扇形O 2CD 的半径为(
24－3x
)cm
（2）设该玩具的制作成本为y 元，则
y ＝0.45πx
2
＋0.06×(
360－60
)×π×(
24－3x
)
2
360
＝0.9πx
2
－7.2πx ＋28.8π
＝0.9π(
x －4
)2
＋14.4π
所以当x ＝4时，y 的值最小．
答：当⊙O 1的半径为4cm 时，该玩具的制作成本最小 19．（江苏南京）如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角．
（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角． ①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB ＝___________° ；
②若⊙O 的半径是1，AB ＝2，求∠APB 的度数；
（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是⊙O 1上关于点A 、
中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
中考数学压轴题100题精选【含答案】
中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
(新)中考数学--选择题压轴题(含答案)
题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3
4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交
矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（ ） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（ ） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（ ） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8
中考数学压轴题专集二一次函数
中考数学压轴题专集二：一次函数 1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－ 1 4 x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式． 解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－ 1 4 x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2） （2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5 在y ＝－ 1 4 x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3 ∴C （0，3），OC ＝3 过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝ EC 2 －CF 2 ＝ 5 2 －4 2 ＝3 ∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1） 设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入 得：?????b ＝3 4k ＋b ＝1 解得 ?????k ＝－ 1 2 b ＝3 ∴直线l 的解析式为y ＝－ 1 2 x ＋3
2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点C的坐标和k的值； （2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1 2S△ABC，求点P的坐标． （1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H 则∠HCG＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH 又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC ∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH 在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4 设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x 解得x＝1，∴C（1，1） ∴k＝1 （2）由（1）知，CG＝1，AG＝3 ∴AC2＝BC2＝12＋32＝10 ∴S△ABC＝1 2AC 2＝5，S △PBC ＝ 1 2S△ABC＝ 5 2 当点P在点G左侧时 S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4＋ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝1 3，∴P1（－ 1 3，0） 当点P在点G右侧时 S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4－ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝3，∴P2（3，0）
2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
中考数学压轴题(选择填空)
中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
2018年度中考数学压轴题
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<
最新全国各地中考数学解答题压轴题解析2
全国各地中考数学解答题压轴题解析2
2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2） 1．（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知 点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边， 在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时， 记Q得位置为B。 （1）求点B的坐标； （2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值； （3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A(0,2)，△AOB为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°， ∴BC=3，OC=AC=1。即B（ 3 1，）。 （2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时， ∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB， 在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。 ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。 ∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。 （3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上， ∴AO与BQ不平行。
①当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， 此时，若AB∥OQ ，四边形AOQB 即是梯形， 当AB∥OQ 时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。 又OB=OA=2，可求得BQ=3。 由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=3， ∴此时P 的坐标为（3 0-， ）。 ②当点P 在x 轴正半轴上时，点Q 在点B 的上方， 此时，若AQ∥OB ，四边形AOQB 即是梯形， 当AQ∥OB 时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。 又AB= 2，可求得BQ=23， 由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=23， ∴此时P 的坐标为（23 0， ）。 综上所述，P 的坐标为（3 0-， ）或（23 0，）。 【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。 【分析】（1）根据题意作辅助线过点B 作BC⊥y 轴于点C ，根据等边三角形的性质即可求出点B 的坐标。 （2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB ，得出△APO≌△AQB 总成立，得出当点P 在x 轴上运动（P 不与Q 重合）时，∠ABQ 为定值90°。 （3）根据点P 在x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。 2.（湖南永州10分）探究问题：
中考数学选择题压轴题汇编
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1） 去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18． 故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m
中考数学压轴题专题复习——旋转的综合含详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.
∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－ 又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜
中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
压轴题 1、已知,在平行四边形O ＡＢC 中,O Ａ=５，AB ＝4，∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Ｑ从A 点出发沿射线ＡB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为ｔ秒. (１）求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△O ＡC 与△PAQ 相似; （3)若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、B Ｃ的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(１）42033 y x =- + （２)①当0≤ｔ≤2．5时,Ｐ在O Ａ上，若∠OAQ ＝9０°时， 故此时△OA Ｃ与△PAQ 不可能相似. 当ｔ>2．5时,①若∠APQ=90°，则△A ＰQ ∽△ＯCA ， ∵t>2．5,∴ 符合条件. ②若∠A ＱP=９0°，则△APQ ∽△∠OA Ｃ， ∵t>2.5，∴ 符合条件.
综上可知,当 时，△O ＡC 与△APQ 相似． （３)⊙Q 与直线ＡＣ、B Ｃ均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31） 。 ２、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为ｘ轴,ＯC 所在的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系.已知OA ＝3,ＯC =2，点E 是AB 的中点，在ＯA 上取一点D ，将△BD Ａ沿ＢD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标； (2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、ｙ轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形ＭNF Ｅ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由. 解：（1)(31)E ，;(12)F ，.(２）在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >， 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =（舍去）;24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）
2019年各省市中考数学压轴题合辑5(湖南专辑)
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 2019年各省市中考数学压轴题合辑（五） 1．（2019?长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ． （1）求点A 的坐标； （2）过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =； ②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a = ，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE -的值．
2．（2019?长沙）已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b ，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m ≤x ≤n 时，恰好≤≤， 求m ，n 的值．
3．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”)． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题） ③两个大小不同的正方形相似．(命题） （2）如图1，在四边形ABCD和四边形 1111 A B C D中， 111 ABC A B C ∠=∠， 111 BCD B C D ∠=∠，111111 AB BC CD A B B C C D ==．求证：四边形ABCD与四边形 1111 A B C D相似． （3）如图2，四边形ABCD中，// AB CD，AC与BD相交于点O，过点O作// EF AB分 别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为 1 S，四边形EFCD的面积为 2 S，若 四边形ABFE与四边形EFCD相似，求2 1 S S 的值．
中考数学压轴题精选含详细答案
目 录 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例2 2012年连云港市中考第26题 例3 2010年上海市中考第25题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点． （1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域． 图1 图2 图3 动感体验 请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能． 请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系． 思路点拨 1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形． 满分解答
（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8． 过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ． 在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65 MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况． ②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425 OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ． 在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658 OA =． 图5 图6 （3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ． 在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45 BF y =． 在Rt △ONF 中，4105 OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55 x y x y y +=--+． 整理，得2505040 x y x -=+．定义域为0＜x ＜5． 图7 图8 考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85 BF =．
中考数学压轴题集锦
中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 1、（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－ 3 2x 2 +b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2 -x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分） （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分） （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 2、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB = ABOC 绕点O 按顺时针 方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2 y ax bx c =++过点 A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y O 第26题图 D E C F A B （第25题图） A x y B C O
3、如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2 23 (0)y ax x c a =- +≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为 1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经 过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）； （2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？ 图14 y x O A B M O 1 A O x y B F C
中考数学压轴题精选及答案(整理版)
20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合） ，直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。 （1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =； （2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥； （3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。 （2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接 正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上） ，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。
3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0） ，与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ． （1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明 理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物 线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值； （2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的 垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛 物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y
中考数学选择题压轴题汇编
年中考数学选择题压轴题汇编
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3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1） 去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-； 解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）
初中中考数学压轴题及答案-中考数学压轴题100题及答案
中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交 AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM A B C D E R P H Q
＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积 等于 4 3 ，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围 . P 图 3 B D 图 2 B 图 1