Chap1_1

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?《用

§1.1

随机事件

第一章随机事件与概率

概

5

17世纪,法国的Chevalies De Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”有利. 但他本人找不出原因. 后来请当时著名的法国数学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题.这问题是如何解决的呢?

德·梅尔的困惑1

?在

概

?

柯尔莫哥洛夫

( A. H. Колмогоров1903-1987 )

1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德等国的外籍院士及皇家学会会员. 为20 世纪最有影响的俄国数学家.

俄国数学家

柯系列重

一文

在

统的微

1

遍历理

随?

随

?

15

随

机

试

验

随机试验

1. 抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的次数

0.5005

12012

24000

皮尔逊

0.5016

6019

12000

皮尔逊

0.5069

2048

4040

蒲丰

出现正面

的频率

出现正面

次数

投掷

数

试验者

随样样

随随

?随

事件A i ={掷出i 点}

i =1,2,3,4,5,6

事件B ={掷出奇数点}

21

随机事件的关系与运算

?事件的包含关系与等价关系

?事件A 包含于事件B ：事件A 的发生必

然导致事件B 的发生，记为?事件A 与事件B 相等：?事件的并与交

?事件A 与事件B 的交：事件A 与事件B 同

时发生，记为?事件的交：

同时发生记为：A B ?,,A B B A A B

??=则,A B AB 或12,,,n A A A 12,,,n

A A A 121

n

n i

i A A A A == 随

A A A

12,,,n

A A A 121n

n i

i A A A A == 23

随机事件的关系与运算

?事件A 与事件B 的差：事件A 发生而事件B 不发生，记着A-B

?完备事件组设为n 个事件，

满足

1121.;()0,,,1,2,,2.,,,= 则称为一个完备事件组,或者称为样本空间的一个分割.

i j i n

i i n A A P A i j i j n A A A A φ==>≠=Ω

Ω∑ 12,,,n A A A 随

?

1.;;.

2.B .

;().

若，有，AA A A A A A A B =B AB =A 3. A -B =AB A AB A B A B A φ==Ω=Ω-?=-=- 25

随机事件的关系与运算

?

事件的运算率

1.交换率：

2.集合率：

3.分配率：

4.对偶(De Morgan)律：

,A B B A A B B A == ()()

()()

A B C A B C A B C A B C == ()()()

()()()A B C A C B C A B C A C B C == .

,, k

k

k

k

k

k k

k

A

A

A A

B

A A

B B A B A =

===可推广

随

?

没有相同的元素

与互不相容和事件

事件的差集

与不发生发生而事件

事件的交集与同时发生与事件

事件的和集与至少有一个发生与事件

事件的相等与相等与事件

事件的子集是发生发生导致

事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件

全集

必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB

B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ?

=-=??

Ω ω,随

随

例

C B A C B A C B A C

B A B

C A C AB B

A C A C

B AB

C C

B A 随

?

A

随

【

1.

B-A;BC;B+C

5

1(1),(2),(3)i i A A A B

== 31

随机事件的关系与运算

?例1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件A 表示选出的是男生, 事件B 表示选出的是三年级学生, 事件C 表示该生是运动员.(1)叙述事件的意义;(2)在什么条件下成立?(3)什么条件下?(4)什么条件下成立?

ABC ABC C =C B ?A B =随

--良好

([70,80)),C --中等([60,70)),D --及格([60,100]),P --及格([0,60)),

F --不及格,,,,A B C D F

P

F

;P F =,,,A B C D

P

.

P A B C D = 33

随机事件的关系与运算

?例3 甲，乙，丙三人各射一次靶，记A= “甲中靶”,B= “乙中靶”,C=“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：

(1) “甲未中靶”：

(2) “甲中靶而乙未中靶”：(3) “三人中只有丙未中靶”：

(4) “三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶”：;

A ;

AB ;

ABC ;ABC ABC ABC ;

A B C 随

(6(7

;

ABC ABC ABC ;

AB AC BC ;

ABC ;

ABC ABC ABC ABC ;

ABC 或;A B C ;ABC ;

A B C 35

随机事件的关系与运算

?例4 指出下列各等式命题是否成立, 并说明

理由:

(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) 如果, 则(6) 如果, 且,则;(7) 如果, 那么;(8) 如果, 那么()A B AB B = AB A B = A B C ABC

= ()()AB AB =?A B ?;

A A

B =AB =?

C A ?BC =?A B ?B A ?B A ?.

A B A = §1.2

随机事件的概率

第一章随机事件与概率

频()()n n r A f A n

=

(1)0()1;(2)()1;

n n f A f ≤≤Ω=(3)设A 1，A 2，…，A n 是两两互不相容的事件，则

1212()()()()

n n n n n n f A A A f A f A f A =+++ 频

例

39

频率及性质

例2：检查某工厂一批产品的质量, 从中分别抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件检查, 检查结果及次品频列入下表

102050100150200300013571116/00.0500.0600.0500.0470.0550.053n

n μμ频

()()n n r A f A n

=

(01)

p p ≤≤频

42

例4

近百年世界重大地震

1905.04.04 印度克什米尔地区8.0 88 1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区8.4 2 万

1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万

1920.12.16 中国甘肃

8.6 10 万1923.09.01 日本关东地区

7.9 14.2 万1935.05.30 巴基斯坦基达地区7.5 5 万

时间

地点级别死亡

“重大”的标准①震级7 级左右②死亡5000人以上

时间

1948.06.28 日本福井地区7.3 0.51 万1970.01.05 中国云南

7.7 1 万1976.07.28 中国河北省唐山7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区7.9 1.5 万1995.01.17 日本阪神工业区7.2 0.6 万1999.08.17 土耳其伊兹米特市7.4 1.7 万2003.12.26 伊朗克尔曼省

6.8 3 万2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域9.0 15 万

世界每年发生大地震概率约为14%

44

例5记左图所示正方形的面积为，其中的四分之一圆围成的区域为A. (蒙特卡洛方法)

Ω现向区域随机投点n 次，由几何方法可计算得

Ω利用频率和概率的关系，当n 充分大时，

441)

()()(22

π

πμμ=

=Ω=r r A A P ΩA

r

n

m A P ≈

)(于是

n

m 4≈

π频率及性质

关

对于较大的n ，n 次试验中事件A

的频率，一般与事件A 的概率P 相差不大，试验次数n 越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.

频率及性质

概

概

()

Ω=

2()0

P () ?=(3) Α,P(A)+P(A)=1

?(4)()()();1)()()(),2)()().

P A B P A P AB B A P A B P A P B P A P B -=-?-=-≥ 若，有

(5)0()1

P A ≤≤?概率的性质48

概率的性质

(6)()()()()

P A B P A P B P AB =+- P(A B)P(A)+P(B)

≤ 1

()()()()()

()()()

()()()()

(1)()

n

n

i i i j i j k i=1

i=1

1i

1i

n

n-1i i P A B C =P A +P B +P C P AB P AC P BC +P ABC P A =P A P AA +

P AA A +P A ≤≤≤≤=----

--∑∑

∑

概率加法定理推广：

推论概

()0.5,()0.2,()0.4,

P A P AB P B ===(1)();(2)();(3)();

(4)().

P AB P A B P A B P AB - ?例2已知求：

P(A)=p,P(B)=q,P(A B)=r ,

P(AB),P(AB),P(AB),P(AB)概

==

==

()()1/16

P AC P BC ==则事件A、B、 C全不发生的概率是多少？

通过做此题你能发现题目什么问题？

概

?

概

§1.3 古典概型

第一章随机事件与概率

?

古

2347910

8615古

ω

=

121()()()n P P P n

ωωω====

2347910

8615记A ={摸到2号球} ，P(A)=?

P(A)=1/10记B={摸到红球},P(B)=?

P(B)=6/10

古

A 包含的样本点数

P(A)＝k/n ＝

样本空间中的样本点总数

这样就把求概率问题转化为计数问题.称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法.

排列组合是计算古典概率的重要工具.

古

?

古

P p n n n n

==--?= !

(1)(2)(1)()!

k n n p n n n n k n k =---+=

- 60

古典概型与几何概型

2、组合: 从n 个不同元素取k （1≤k ≤n)的不同组合总数为：

!!()!!

k k

n n P n C k n k k ==

-k n C 常记作

n k ?? ???

，称为组合系数。

!

k

k n

n

P C k =?组合系数

又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：

n k ??

???

3、组合系数与二项式展开的关系古

-+-+-= ? ? ? ?????????

2012n n n n n n ????????++++= ? ? ? ?????????

利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令a=b=1,得

0()n

n

k n k

k n a b a b k -=??

+= ???

∑62

古典概型与几何概型

(1)(1)(1)m n m n

x x x ++=++由

1

2

120

0012m n m

n

j j j

j j j m n m n x x

x

j j

j +===+??????=

? ?

???

??

??

∑∑∑有

比较两边x k 的系数，可得

0k i m n m n k i k i =+??????= ? ???-??????

∑运用二项式展开古

4r

1212!

,!!!

k k n r r r n

r r r ++= r 1个元素

r 2个元素r k 个元素

…

n 个元素

121k k r

r

r

n n r r C C C -? 12!

!!!

k n r r r =

因为

古

例

古

C I S N C E

E 问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？

将

；

(2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率

解

5

5510515C C C n =Ω（1）11

12134448412C C C C C C n A =9125

)(=

A P （2）

55

51021213C C C C n B =91

6

)(=

B P 例4

67

例5把标有1,2,3,4 的4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率解设A 为所求的事件

设A i 表示i 号球入i 号盒，i = 1,2,3,4则

4

1

==i i

A A 4

,3,2,1,

4

1

!4!3)(===i A P i 4

1,121!4!2)(≤<≤==

j i A A P j i 4

1,

241

!4!1)(≤<<≤==k j i A A A P k j i 24

1

)(4321=

A A A A P ∑∑≤<≤≤≤-=

4

14

1)

()()(j i j

i

i i

A A P A P A P 8

5

)()(4

3

2

1

4

1=-+

∑≤<<≤A A A A P A A A P k j i k

j

i

由广义加法公式

古

古

71

古典概型与几何概型

?例12某班级有n 个人（n<=365）,问至少有两人生日相同的概率多大？

?例13袋中有a 个白球和b 个黑球,每次从袋中任取一球,取出的球不再放回去,求第k 次取出的白球的概率。

0.97

0.890.710.510.410.12P

50

40

30

23

20

10

n 古

?例(1

古

古

?

S

μ()

A μ75

古典概型与几何概型

机投掷一点, 该点落在区域A 的事件仍记为A ，则概率为, 其中为常数，

而，于是得，从而事

件A 的概率为

注: 若样本空间S 为一线段或一空间立体, 则向S“投点”的相应概率仍可用上式确定, 但应理解为长度或体积.

()()P A A λμ=λ()()P S S λμ=1

()

S λμ=()()()

A P A S μμ=

几何概率

()μ?例15

≤

≤

10x y ?-<二人会面

2

2

2

30(3010)59

30

p --=

=

30

30

10

10

y x

77

例16某人的表停了，他打开收音机听电台报时，

已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率

9点

10点

10分钟

6

16010)(==

A P 例17

头的时

79

x

y 24

24

y = x

y =

x + 1y

=

x -2

2

24=ΩS ()2222232

1

+=A S 1207

.01)(=-=Ω

S S

A P A }240,240),{(<≤<≤=y x y x Ω}

20,10,

),(),{(≤-≤≤-≤∈=y x x y y x y x A Ω古