两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识点与题型归纳
●高考明方向
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.能利用两角差的余弦公式
推导出两角差的正弦、正切公式．
3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系.
★备考知考情
1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
进行化简、求值是高考考查的热点．
2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合
命题．
3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.
一、知识梳理《名师一号》P52
知识点
1、（补充）两角差的余弦公式的推导
1
2
利用向量的数量积推导----必修4 课本P125 2、（补充）公式之间的关系及导出过程
3、和、差、倍角公式《名师一号》P52
注意：
《名师一号》P53 问题探究 问题1
两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？ 其适用条件是什么？ 在公式T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋
π
2
(k ∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；
3
若α，β中有一角是k π＋π
2
(k ∈Z)，可利用诱导公式化简．
小结：
一、公式的逆用与变形运用 《名师一号》P53知识点二2
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)；
(2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α
2
；
(3)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2；
(4)sin α±cos α＝2sin ? ??
??
α±π4.
二、三角恒等变换须关注以下三方面 《名师一号》P53 问题探究 问题2 (补充) 1、角：
角的变换：注意拆角、拼角技巧
如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，
β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝? ????α＋β2－? ????α2＋β，75°＝45°＋30°
等
注意倍角的相对性：
4
如α是
2
α的二倍角等； 3α是2
3α
的二倍角等；
2、函数名：
异名化同名---正余互化，切化弦，弦化切 正余互化（利用诱导公式、平方关系）
切化弦，弦化切（利用sin tan cos α
αα
=、
α
α
αααcos 1sin sin cos 12tan +=-=）等；
3、式子结构： （1）1的变换
（注意145tan =?，22sin cos 1+=αα）、 （2）幂的变换
（升幂角减半221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；
降幂角加倍221cos 21cos 2cos ,sin 22αα
αα+-==）、 （3）合一变换（)sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a ）
-----《名师一号》P53 知识点三
要时时关注角的范围的讨论！
二、例题分析：
（一）公式的直接应用
5
例1．（1）《名师一号》P53 对点自测1、2、3、4
cos33°cos87°＋sin33°cos177°的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32
解析 cos33°cos87°＋sin33°cos177° ＝cos33°sin3°－sin33°cos3°＝sin(3°－33°)
＝－sin30°＝－1
2
.
2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ? ?
?
??α＋π4
＝( )
A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210
解析 由于α是第三象限角且cos α＝－4
5
，
∴sin α＝－3
5.
∴sin ? ?
???α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4
＝22? ????－35－45＝－7210.
6
3.若sin α2＝3
3，则cos α＝( )
A ．－23
B ．－13 C.13 D.23
解析 因为sin α2＝3
3
，
所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×? ????332＝1
3
.
4．化简：11＋tan α－1
1－tan α
＝________.
解析 原式＝－2tan α
(1＋tan α)(1－tan α)
＝－2tan α
1－tan 2α＝－tan2α.
例1．（2）(补充)
7
计算cos15sin15cos15sin15??
??
-+
答案:
例2．《名师一号》P53 高频考点 例1（2）
（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈? ??
??
0，π2，
β∈? ????
0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β
，则( )
A ．3α－β＝π2
B ．3α＋β＝π
2
C ．2α－β＝π2
D ．2α＋β＝π
2
解析：(2)由已知，得
sin αcos α＝1＋sin β
cos β
， ∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α.
8
∴sin(α－β)＝cos α.
∴sin(α－β)＝sin ? ??
??
π2－α.
∵α∈? ????0，π2，β∈? ????0，π2. ∴－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2
.
∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π
2.故选C.
练习1：
3－sin70°
2－cos 210°＝( )
A.12
B.22 C ．2 D.32
分析：观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简
解析：原式＝3－cos20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)
2－cos 2
10°＝2. 练习2：已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－4
3
，
则tan α＝________.
9
分析：
用诱导公式可将条件化为tan2α的函数值， 用二倍角公式解方程可求得tan α.
解析：由tan(π＋2α)＝－43得tan2α＝－4
3
，由tan2α
＝2tan α1－tan 2α
＝－43，解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第
二象限的角，所以tan α＝－1
2
.
练习3：设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ
4
等于( )
A.1＋a 2
B.1－a 2
C ．－1＋a 2
D ．－1－a
2
解析：∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ
4
<0，
∵a ＝cos θ2＝1－2sin 2θ4，∴sin θ
4＝－1－a 2
.
点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三
10
角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解．
（二）公式的变形应用 例1．（1） (补充)计算:tan20°+tan40°＋3tan20°tan40°=
答案: 3
例1．(2) (补充)化简：tan(18°－x )tan(12°＋x ) ＋3[tan(18°－x )＋tan(12°＋x )]＝________.
答案: 1
解析：∵tan[(18°－x )＋(12°＋x )]
＝tan (18°－x )＋tan (12°＋x )1－tan (18°－x )·tan (12°＋x )
＝tan30°＝33
∴tan(18°－x )＋tan(12°＋x )
＝3
3
[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )] 于是原式＝tan(18°－x )tan(12°＋x )
＋3·3
3[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.
变式:
计算(1+tan1°) (1+tan2°) (1+tan3°) …(1+tan44°) (1+tan45°)
答案:23
2
注意:公式的逆用与变形运用
练习：
计算
1
sin10sin80
??
-=
答案:4
例2．（1）《名师一号》P54 高频考点例2
(2)sin110°sin20°
cos2155°－sin2155°
的值为()
A．－1
2 B.
1
2 C.
3
2D．－
3
2
11
12
sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin20°
cos310°
＝cos20°sin20°cos50°＝1
2sin40°
sin40°＝12.
例2．（2）(补充) 化简: ()1*
cos cos 2cos 4cos 2n n N αααα
-???
?∈
温故知新P50 知识(5)
1cos 20cos 40cos 60cos8016
???????=
答案: ()*sin 22sin n n n N ∈α
α
注意:公式的逆用与变形运用
13
例3．《名师一号》P53 对点自测5、6
5.如果α∈? ????
π2，π，且sin α＝45，那么
sin ? ????α＋π4＋cos ? ?
???α＋π4＝( ) A.425 B ．－425 C.325 D ．－325
解析 因为sin α＝45，π2<α<π，所以cos α＝－3
5
.
而sin ? ????α＋π4＋cos ? ?
?
??α＋π4
＝2sin ? ?
???α＋π2＝2cos α＝－325
.
6．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )
A ．{x |k π＋π
3≤x ≤k π＋π，k ∈Z}
B ．{x |2k π＋π
3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}
C ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π
6
，k ∈Z}
14
D ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π
6
，k ∈Z}
解析 根据题意，得f (x )＝2sin ? ??
??
x －π6，f (x )≥1，
所以2sin ? ????x －π6≥1，即sin ? ????x －π6≥1
2
.
由图象可知满足π6＋2k π≤x －π6≤5π
6
＋2k π(k ∈Z)，
解得π
3＋2k π≤x ≤π＋2k π(k ∈Z)．
注意:公式的逆用与变形运用 合一变换
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，
其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2
，tan φ＝b
a .
φ的终边所在象限由a ，b 的符号来确定．
拓展：温故P59第7题
（三）角的代换
15
例1．（1）(补充)若sin(π6－α)＝1
3
，
则cos(2π
3＋2α)的值为( )
A.13 B ．－13 C.79 D ．－79
[答案] D
[解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π
3＋α)－1
＝2cos 2[π2－(π6－α)]－1 ＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－7
9
.
变式:
已知12sin(
)cos(2)633
π
παα+=-=，则 。
练习:
16
函数2sin cos ,3622y x x x ??
??????=--+∈- ? ? ???????????
ππππ
的值域是
答案: cos 6y x ??
=+ ???
π;值域是1,12??-????
角的变换---用已知角和特殊角拆、拼
例1．(2) 《名师一号》P54 高频考点 例3（1）
已知12
cos ,sin 2923
????-=--= ? ?????βααβ,
且,022
<<<<ππ
απβ,求()cos +αβ的值.
(1)∵0<β<π
2<α<π，
∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2
<π.
∴cos ? ????α2－β＝ 1－sin 2? ????α2－β＝53
，
17
sin ? ????α－β2＝ 1－cos 2? ????α－β2＝459. ∴cos α＋β2＝cos ??????? ????α－β2－? ????α2－β
＝cos ? ????α－β2cos ? ????α2－β＋sin ? ????α－β2·sin ? ????
α2－β
＝? ????－19×53＋459×23＝7527
， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2
－1 ＝2×49×5729－1＝－239729.
注意：《名师一号》P54 高频考点 例3 规律方法
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． 角的变换：注意拆角、拼角技巧
如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，
β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝? ????α＋β2－? ????α2＋β，75°＝45°＋30°
等
(补充)注意倍角的相对性：如3α是2
3α
的倍角等；
角的变换---关注“待求角”与“已知角”和“特殊角”的内在联系
本例是用已知角拆、拼的类型
例1．(3)《名师一号》P54 高频考点例3（2）
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝1
2，tanβ＝－
1
7，
求2α－β的值．
解析：
(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ
1－tan(α－β)tanβ
＝
1
2－
1
7
1＋
1
2×
1
7
＝
1
3>0，∴0<α<
π
2.
又∵tan2α＝
2tanα
1－tan2α
＝
2×
1
3
1－?
?
?
?
?1
3
2
＝
3
4>0，
∴0<2α<π
2.
18
19
∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β
＝34＋
17
1－34×
17
＝1.
∵tan β＝－17<0，∴π
2<β<π，－π<2α－β<0.
∴2α－β＝－3π
4
.
注意：《名师一号》P54 高频考点 例3 规律方法 (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若
角的范围是? ??
??
0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，
π)，选余弦较好；若角的范围为? ??
??
－π2，π2，选正弦较好．
(补充)
知三角函数值求角的方法 ----先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数 要注意选择，其标准有二：
一是此三角函数在角的范围内具有单调性； 二是根据条件易求出此三角函数值
例2．(1) (补充)
20
sin7°＋cos15°·sin8°
cos7°－sin15°·sin8°
的值为( )
A ．2＋3 B.2＋32 C ．2－ 3 D.2－3
2
解析：sin7°＝sin(15°－8°)＝sin15°cos8°－cos15°sin8°，
cos7°＝cos(15°－8°)＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°，
∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°
1＋tan30°
＝2－
3，
故选C.
例2．(2) (补充)
1
2sin170°
－2sin70°的值等于( )
A ．1
B ．－1 C.12 D ．－12
解析：12sin170°－2sin70°＝1
2sin10°
－2cos20°