2014版陕西北师版数学文复习方略：课时提升作业第三章 第三节三角函数的图像与性质

课时提升作业(十八)

一、选择题

1.已知函数f(x)=3cos(2x-)在[0,]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于

( ) (A)0 (B)3+

(C)3-(D)

2.函数y=-cos2x+的递增区间是( )

(A)(kπ,kπ+)(k∈Z)

(B)(kπ+,kπ+π)(k∈Z)

(C)(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)

(D)(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)

3.已知函数f(x)=sin(2x-),若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a)恒成立,则a的值是( )

(A)(B)(C)(D)

4.(2013·咸阳模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,当x=时有最大值2,当x=0时有最小值-2,那么函数的解析式为( )

(A)y=2sin x (B)y=2sin(3x+)

(C)y=2sin(3x-) (D)y=sin3x

5.(2013·景德镇模拟)下列命题正确的是( )

(A)函数y=sin(2x+)在区间(-,)内单调递增

(B)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期为2π

(C)函数y=cos(x+)的图像是关于点(,0)成中心对称的图形

(D)函数y=tan(x+)的图像是关于直线x=成轴对称的图形

6.(2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=

sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=( )

(A)(B)(C)(D)

二、填空题

7.(2013·宿州模拟)若函数y=a-bsin(4x-)(b>0)的最大值是5,最小值是1,则a2-b2= .

8.(能力挑战题)已知直线y=b(b<0)与曲线f(x)=sin(2x+)在y轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列,则b的值是.

9.给出如下五个结论:

①存在α∈(0,),使sinα+cosα=;

②存在区间(a,b),使y=cosx为减少的而sinx<0;

③y=tanx在其定义域内为增加的;

④y=cos2x+sin(-x)既有最大值和最小值,又是偶函数;

⑤y=sin|2x+|的最小正周期为π.

其中正确结论的序号是.

三、解答题

10.设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图像的一条对称轴是直线x=.

(1)求φ.

(2)求函数y=f(x)的单调递增区间.

11.(2013·赣州模拟)已知函数f(x)=.

(1)求f(x)的定义域.

(2)设α是第四象限角,且tanα=-,求f(α)的值.

12.(能力挑战题)已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时,-5≤f(x)≤1.

(1)求常数a,b的值.

(2)设g(x)=f(x+)且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.

答案解析

1.【解析】选C.由x∈[0,]得2x-∈[-,],

故M=f()=3cos 0=3,

m=f()=3cos=-,

故M+m=3-.

2.【解析】选A.由2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z得,

kπ

所以函数y=-cos2x+的递增区间是

(kπ,kπ+)(k∈Z).

3.【解析】选D.因为函数满足f(x+a)=f(x-a),所以函数是周期函数,且周期为2a,又a∈(0,π),所以2a=,所以a=.

【方法技巧】对周期函数的理解

(1)周期函数定义中的等式:f(x+T)=f(x)是定义域内的恒等式,即对定义域内的

每个x 值都成立,若只是存在个别x 满足等式的常数T 不是周期.

(2)每个周期函数的定义域是一个无限集,其周期有无穷多个,对于周期函数y=f(x),T 是周期,则kT(k ∈Z,k ≠0)也是周期,但并非所有周期函数都有最小正周期.

【变式备选】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)满足条件f(x+)+f(x)=0,则ω的值为( )

(A)2π (B)π (C) (D)

【解析】选A.由f(x+)+f(x)=0得f(x+)=-f(x),所以f(x+1)=f(x),故函数的周期是1,又由=1得ω=2π.

4.【解析】选C.由条件知A=2,=,所以T=,因此ω==3,

所以f(x)=2sin(3x+φ).把x=0,y=-2代入上式得-2=2sin φ,得sin φ=-1,所以φ=2k π-(k ∈Z),

因此f(x)=2sin(3x+2k π-)(k ∈Z)=2sin(3x-).

5.【解析】选C.对于A,当x ∈(-,)时,2x+∈(-,),故函数y=sin(2x+)不单调,故A 错误;对于B,y=cos 4x-sin 4x=(cos 2x-sin 2x)(cos 2x+sin 2x)=cos 2x- sin 2x=cos2x,最小正周期为π,故错误;对于C,当x=时,cos(+)=0,所以(,0)是对称中心,故C 正确;对于D,正切函数的图像不是轴对称图形,故错误.

6.【思路点拨】根据对称轴确定T,进而求得ω,再求φ.

【解析】选A.由题意可知函数f(x)的周期T=2〓(-)=2π,故ω=1,

∴f(x)=sin(x+φ),令x+φ=k π+,k ∈Z,将x=代入可得φ=k π+,k ∈Z,∵0<φ<π,∴φ=.

7.【解析】∵-1≤sin(4x-)≤1,b>0,

∴-b≤-bsin(4x-)≤b,

∴a-b≤a-bsin(4x-)≤a+b,

由题意知解得

∴a2-b2=5.

答案:5

8.【思路点拨】化简函数式之后数形结合可解.

【解析】设三个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,

由图及题意有:

f(x)=sin(2x+)

=cos2x.

且

解得x2=,所以b=f()=-.

答案:-

9.【解析】①中α∈(0,)时,如图,由三角函数线知OM+MP>1,得sinα+cosα>1,故①错.

②由y=cosx的减区间为(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),故sinx>0,因而②错.

③正切函数的单调区间是(kπ-,kπ+),k∈Z.

故y=tanx在定义域内不单调,故③错.

④y=cos2x+sin(-x)=cos2x+cosx

=2cos2x+cosx-1=2(cosx+)2-.

y max=2,y min=-.

故函数既有最大值和最小值,又是偶函数,故④正确.

⑤结合图像可知y=sin|2x+|不是周期函数,故⑤错.

答案:④

10.【解析】(1)∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,

∴sin(2〓+φ)=〒1.

∴+φ=kπ+,k∈Z.

∴φ=kπ+,k∈Z.

又∵-π<φ<0,∴φ=-.

(2)由(1)知y=sin(2x-),

由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

∴kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

∴函数y=sin(2x-)的单调递增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.

11.【解析】(1)依题意,有cosx≠0,解得x≠kπ+,k∈Z,

即f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z}.

(2)f(x)==-2sinx+2cosx,

∴f(α)=-2sinα+2cosα.

由α是第四象限角,且tanα=-,可得sinα=-,cosα=,

∴f(α)=-2sinα+2cosα=.

12.【解析】(1)∵x∈[0,],

∴2x+∈[,].

∴sin(2x+)∈[-,1],

∴-2asin(2x+)∈[-2a,a].

∴f(x)∈[b,3a+b].

又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,

因此a=2,b=-5.

(2)由(1)得a=2,b=-5,

∴f(x)=-4sin(2x+)-1,

g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1

=4sin(2x+)-1,

又由lgg(x)>0得g(x)>1,

∴4sin(2x+)-1>1,∴sin(2x+)>,

∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,

其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)是增加的,即kπ

又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)是减少的,即kπ+

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