根式运算技巧

一、基本理论

1.二次根式的定义，算数平方根、平方根

2.奇数次根式和偶次根式的区别

3.平方根=本身的数，立方根=本身的数

4.9的平方根=？

5.根式运算的法则。强调加减只能合并，没有公式。

6.偶次方根的双重非负性例y y x y x -=-4498416 例y y x y x --=-3478416 例32

237828y y x y x -=- 例若0111=-+-x

m x x ，求x =? 7. n 次方根的与指数的关系

3232

a a =- 46425a a a = 与16425 =÷做比较

二、根式化简和运算的技巧

1．与小学数学有关的根式化简 ①333311112222- ②1336335334333+???③143143

2.分母有理化

分母有理化有三种方式

3632= 363

2= 23231-=+ 3.根式与无理数的关系例：证明2是无理数（反证）

4.二次根式的比较大小

例比较的大小与13151113--

利用分子有理化比较大小。一般差相等考虑用分母有理化比较大小。

例比较的大小与13151217++

利用两边平方比较大小。一般和相等考虑用两边平方比较大小。

5.复合根式的化简

例化简6410+

思路：设()ab b a b a 2242864102++=+=

+=+

比较等式两边，则有： ?

??==+610ab b a 显然：a 和b 一个为4，一个为6 例化简26221228234832+=+=+=

+ 6.无穷根式的处理

初中无穷多的处理一般将其设为x

例求5 =？

设)

(015522舍弃或两边平方可得：==∴=∴==x x x x x x

例 +++++22222

设 +++++22222=x

两边平方可得：

)(1222舍去或-==∴+=x x x x

7.“共轭”根式的应用

共轭根式指的是b a b a -+与或b a b a -+与情况，其恰好对应一元二次方程的解的形式，因此在数学竞赛中是个永恒的考点。

共轭根式的处理，一般要用到共轭根式相乘为整数。

例求不超过

的最大整数提示，补充共轭()637-，考虑其共轭是个<1的整数，求()()6

63737-++的值。例已知514=-++a a ，则a 26-= ．

例化简：

提示：设为S 。两边平方

8．配方化简

例 ()

221111+++n n 9．特殊根式的极值例求22)4()1(-+-x x 的最小值提示：41)4()1(22-+-=-+-x x x x 例：求2223)4(1)1(+-++-x x 的最小值

提示：建立几何模型

10．凑式求解在根式化简中的应用

例：当2

20021+=x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) 提示：()2002122

200212=-?+=x x ，然后化简，再凑式求解200120054(3--x x 11．根式方程的求解

基本思路是平方，注意需要检验

例：57=+x

例 527=+++x x

提示，可移项后，再平方求解，也可利用共轭根式求解

12．一些常见根式化简中技巧

例

提示：分子恰好是分母的平方例化简：提示：分母利用分组结合因式分解。

二次根式的运算法则(讲义)

二次根式的运算法则（讲义） ? 课前预习 1. 已知a ，b 均为非负数，请根据幂的运算法则与算术平方根的定义，解决下列问题：（1）①根据算术平方根的定义可知，ab 的算术平方根是____． ②2 =22? =_________ 是_________的算术平方根．对比①②的结果，你能得到的结论是___________________．（2）类似（1 0b =≠）： ①根据算术平方根的定义可知，a b 的算术平方根是_______． ②2 ? =________ _________的算术平方根．对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． ? 知识点睛 1. ________________________________叫做二次根式，它具有 _________________________，即_______________________． 2. 最简二次根式（①②同时具备）： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 3. 二次根式的乘除法则： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 4. 同类二次根式：_____________________________________． 5. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． ? 精讲精练

二次根式的性质及运算.

一、学习内容：二次根式的性质及运算. 1.二次根式的概念：一般的，我们把形如式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a 时，a有意义. 3. 当a≥0 4. 2= a（a≥0）反之:a= 2（a≥0）．︳a︳=?? ? ? ? 6.二次根式的乘法： a≥0，b≥0 a≥0，b≥0） 7.二次根式的除法： a≥0，b>0 a≥0，b>0） 8.满足（1）（2）上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 9.分母有理化：化去分母中的根号二、例题讲解： 1、化简：()25＝；()25-＝；()22.0 -＝；－()2л-＝；2 10-＝； 3 1 4= 2．计算：（1）14 2×7；（2）- 5 1 a3×10 3 b ； (3) (12+58)3 ?； (4) 2 224 40-； (5) ()22 3-（6）27 12 1 3 2 1 ? ÷；（7） 5 2 1 3 1 2 3 1 1? ÷； (8)；（9 ）（（10 ）（（11）50 5 1 12 2 1 8 3 2+ + -（12）12 ) 3 2 3 24 27 3 1 (? - - 例2. 已知，求的值。 413270 22 a b ab -+-= 例3. 已知，求的值。 x x x x =+ +- 31 12 2 2 例4. 化简： a a b a a b b a a b - -+ < 2 44 2 22 ()

三、练习： 1．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 2．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 3．比较大小：3－2______2－3． 4．计算：22)2 1 ()213(-等于__________． 5．当x>2 ______________. 6．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则 3a －2)43(b a -＝______________． 7．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_____________ 8．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝_____________， b ＝______________． 9．下列变形中，正确的是……………………………………………………………（）（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)5 2 (-＝－52 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-?-＝49? 10．下列各式中，一定成立的是……………………………………………………（）（A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1ab 11．若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是……………………（）（A ）x ≥ 21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2 1 （D ）以上都不对 12．当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式，得………………………………（）（A ） ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ）ab b 13．当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是………………………………………（）（A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 14．如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（） (A) a (B) 1a 2 (C) 3 －a (D)－a 2 15．下列二次根式中，是最简二次根式的是………………………………………（） (A)8x (B)_x 2－3 (C) x －y x (D)3a 2b 16 二次根式的个数是（）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 17 ）． A ．0 B ． 23 C ．42 3 D ．以上都不对 18．当a ≥0 正确的是（）． A C ．19.在实数范围内因式分解：（1）2x 2－4 （2）x 4 -9 20．计算：（1）1 3 (212 －75 )

二次根式的运算知识讲解

二次根式的运算（提高）知识讲解【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

二次根式化简的方法与技巧

二次根式化简的方法与技巧所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？使用转化策略，换个角度思考，往往能够打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，所以我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为能够约分和和能够合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。一、巧用公式法例1计算b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2 b =()b a +()b a -，能够协助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式能够使一些问题从复杂到简单。解：原式=()b a b a --2+()() b a b a b a +-+=()b a -+() b a -=2a -2b 二、适当配方法：例2．计算：3216 3223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是能够发现3+22=()221+，且() 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。

解：原式= ()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+2 三、准确设元化简法：例3：化简53262++ 分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再使用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=ab ，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加0222=-+c b a ，所以可能能使分子也有望化为含有c b a ++因式的积，这样便于约分化简。解：设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以：原式=()()()5322222222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法：例4，计算()()76655 627++++ 分析：本例通过度析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成： b a ab b a 11+=+再化简，便可知其答案。解：原式==()()()()()()()() 76657676656576657665+++++++=+++++ 576756761651 -=-+-=+++ 五、整体倒数法：例5、计算()()13251335++++

八年级数学二次根式的混合运算

二次根式的混合运算（1）教学目的：会进行二次根式的加减、乘混合运算。重点：二次根式的加减乘混合运算。难点：运算法则的综合运用。关键：掌握混合运算顺序和步骤。教学过程：复习提问： 1．叙述二次根式加减法的两个步骤。 2．填空：当a ≥0，b ≥0时，________=?b a ； 3．叙述单项式乘以多项式运算顺序； 4．叙述多项式乘以多项式的运算法则。二次根式的乘法：ab b a = ?（a ≥0，b ≥0）二次根式的除法：b a b a = （a ≥0，b>0）新课：形如a 的式子，a 表示什么？a 需要满足什么条件？根据平方根的定义，当a ≥0时， a 表示a 的算术平方根，是一个非负数，它的平方等于a ；当a<0时，a 无意义。形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。有如下性质：（1）) 0(0≥≥a a a 表示非负数且被开方数a 必须大于等于零（2） )0()(2 ≥=a a a ；（3） |a |a 2=； 2a 表示2a 的算术平方根，若0x ,a x 2 2≥=，则2a x = 如当a=2，-3，-0.1时，

22,22222==； 3)3(,)3(3222=--=； 1.0)1.0(,)1.0(1.0222=--=。所以x=|a|，即 |a |a 2= 例1计算：（1）6)3527 8 (?- 解：6)3569 2 ( -= 2153 4 -= 。（2）)3225)(65(-+ 解：26310310225-+-= 219=。例2计算：（1）)2332)(2332(-+；（2）2 )534(+；（3）2 )336(-。解：（1）原式2 2)23()32(-= =12-18 =-6；（2）原式2 2)53(53424+?-+=

整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧

1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法【例2】计算：【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：【解】原式．

【例3】把下列各式的分母有理化．（1）；（2）（）【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【解】①原式【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：【解】②原式 3．运用配方法【例4】化简【解】原式【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法【例5】化简【解】∵

16.2.3二次根式的运算

16.2.3二次根式的运算 1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则； 2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点) 一、情境导入计算： (1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2. 上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算： (1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B. 32 C.23 D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B 中， 32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D. 方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加法或减法 (1)8＋32； (2)12 23＋1332； (3)448－375； (4)1816－32 96. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63 ； (3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；

二次根式运算的技巧

二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法例1、计算) 3418)(4823(分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算解：原式=)3418 )(4823(22=)4818)(4818 (=18-48 =-30 二、巧提公因数法例2、计算)3225)(65 (分析：∵2=2) 2(∴3225中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算解：原式=]3)2(25)[65 (2 = )]65(2)[65( = )65)(65(2 = 2（25-6） =19 2三、公式法例3、计算) 632)(632(分析：整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式=]3)62][(3)62 [( = 22)3()62( = 366 222

=3 45四、因式分解法例4、计算) ()2(y x y xy x 分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便解：原式=) (])(2)[(22y x y xy x =) ()(2y x y x =y x 五、拆项法例5、化简) 23)(36(2 3346分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式=) 23)(36() 23(3)36( =3 63 231 =3 623 =2 6六、配方法例6、计算3 819625223分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式=2 22)34()23()21( =) 34()23()12( =-5

二次根式运算和化简超级经典

二次根式运算和化简(超级经典)

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二次根式的运算【知识梳理】 1、当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、二次根式具有如下性质：（1）() ()02≥=a a a ；（2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，；（4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下：（1）()()0≥±=±c c b a c b c a ；（2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式（1）一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母。适合上述这些条件的根式叫做最简根式。（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。

【例题精讲】【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253，求m 的值。【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。

二次根式计算专题训练

二次根式计算专题训练解答题（共30小题） 1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简：（1）++（2）2﹣6+3． 4．计算（1）+﹣（2）÷×．

（1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算（1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）

（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．

①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题（1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．

15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算：（1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．

20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，… 解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想= ；（2）计算：（++…+）×（）

二次根式的运算(基础)知识讲解

二次根式的运算（基础）知识讲解【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

二次根式化简与计算的方法和技巧

谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧安陆市辛榨中学周俊军同学们从小学就开始学习数的计算，到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律，并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用，但二次根式有其独特的性质，在解题时仍需掌握一些技巧和方法，这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。一、拿出来当二次根式下出现分母时，需要将分母“开出来”，从而化简。例如：化简a 1- 解：a 1-=2a a -= a a -- 归纳：对于此类二次根式，首先要利用分式的性质，将分子分母同时乘以a 将分母变成平方的形式以便开方，同时要挖掘题中的隐含条件，考虑到二次根式的意义，应有a<0.而当a<0时，a a -=2。二、放进去有时将根号外面的式子放到根号里面去，同样可消除根号下的分母，从而达到化简的目的。例如：化简a a 1- 解：a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳：对于此类问题，也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”，但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。此题同样要注意到a<0这个隐含条件，而当a<0时，2a a -= 。再如：计算：()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析：此题除式中出现因式m n ，而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ，再将括号中的各项分别与m n b a 22相除，运算更简便。解：原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-=

二次根式相关计算(技巧型)

第一讲二次根式相关计算一．二次根式的概念与性质 1.比较大小：- 22=，则()a b a b -+的值为． 3．方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是． 4．若化简1x -25x -，则x 的取值范围是．二．二次根式的运算 1．=-，则（） A.0x ≤ B.3x ≤- C.3x ≥- D.30x -≤≤ 2．若0x y <<=（） A.2x B.2y C.2x - D.2y - 3．若01x <<=（） A.2x B.2 x - C.2x - D.2x 4．化简0)a a <得（） B. C. 5．当0,0a b <<时，a b -+可变形为（） A.2 B.2- C.2 D.2 6．若2015a a -=，则22015a -=_____________．

7．计算：（1）201220130(2(22(-+-- （24 三．分母有理化 1.（10(2 + （2 （3）计算 ???+. 四．二次根式化简求值 1．化简（1 （2 （3 +???+.

2．已知521 +=a ，求代数式a a a a a a a -+-+-+-22212369的值． 3．已知1x == . 4．先化简，再求值，其中3x =，求 35(2)242x x x x -÷----的值. 5．已知22x y =+=-的值. 6.已知x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值.

7.已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a +-+?-+++的值为 . 8.若0,0a b >>=的值为 . 9.(1)已知实数,,a b c 满足211024 a b c c --+=，则()a b c += . (2)已知1 52a b c +-=-，求a b c ++的值为 . 五．降次 1．设12a -=，则5432322a a a a a a a +---+-的值为_________．

二次根式的概念及运算

二次根式的概念及运算二次根式形如()0a a ≥的式子．二次根式有意义被开方数大于等于零（即若a 有意义，则0a ≥）【例1】 1当x 取何值时，下列式子有意义？ ⑴2x - ⑵2x - ⑶2 x - ⑷213x x ++- ⑸1x - ⑹x 模块一二次根式的概念知识导航知识互联网夯实基础

2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值． 3 设3 1221 x x y x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围. ①0(0)a a ≥≥ ②2 ()(0)a a a =≥ ③（必考）2a a a a ?==?-?() ( )00a a <≥ 【例2】化简下列各式 ⑴ ( ) 2 25 - ⑵ () 2 3a - 能力提升夯实基础知识导航题型二二次根式的性质

【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示：化简：() 2 2a a c c b b -++---的结果为________ ⑵已知01a <<，化简2 2 1144a a a a ??? ?-+++- ? ????? ⑶化简( ) 2 2 412912x x x -+- -得( ) A. 2 B.44x -- C.2- D.44x - ⑷若()2 2340a b c -+-+-=，则a b c -+= ． ⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A ． 20或16 B ． 20 C ． 16 D ．以上答案均不对 ⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++的值. 乘法与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ?=≥≥ 除法与商的算术平方根可互相转化： (0,0)a a a b b b =>≥ 最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．知识导航模块三二次根式的运算 c a

二次根式计算专题——30题(教师版含答案)

二次根式计算专题——30题(教师版含答案) https://www.360docs.net/doc/b213088247.html,work Information Technology Company.2020YEAR

二次根式计算专题 1．计算：⑴ ()() 24632463+- ⑵ 20(3)(3)2732π++-+- 【答案】(1)22; (2) 643- 【解析】试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案. (2)分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案. 试题解析：(1) ()() 24632463+- 22(36)(42)=- =54－32 =22. （2）20(3)(3)2732π++-+- 313323=+-+- 643=- 考点: 实数的混合运算. 2．计算（1） ﹣ × （2）（6 ﹣2x ）÷3 ．【答案】（1）1；（2）1 3 【解析】试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：2051 1235 +2553 235 += 32=- 1=；（2）1(6 2)34x x x ÷62)3x x x x =÷

=÷ = 1 3 =. 考点: 二次根式的混合运算. 3 ．计算：? ÷ ? 【答案】14 3 ．【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再算括号里面的,最后算除法．试题解析： ? ÷ ? ÷= 14 3 =．考点：二次根式运算． 4．计算：3 2 2 6 6 3- + - ? 【答案】2 2. 【解析】试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减. 试题解析：原式=2 3 3 2 3- + - =2 2 考点：二次根式运算. 5．计算：)2 3 (3 18 2+ - ? 【答案】- 【解析】

二次根式化简的方法与技巧

二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 \a、b =、ab a - 0,b- 0 ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

例1■计算 a -2 ba b a - ；b 、巧用公式法

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与、b成立，且分式也成立，故有 a . 0,b ? 0, (... ab =0)而同时公式： 2 2 2 2 2 (a—b)=a - 2 ab +b , a - b =(a+b)(a—b),可以帮助我们将 a a b b和a -b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式 (\ a \ b)(\ a - \ b) =a 一\ b) (\ a 一\ b) 二2 a2「b 、适当配方法。 3 2一2 - 3 -、6 例 2 .计算： 1 ? ?? 2 _ \ 3 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，???分母含有1 . 3其分子必有含i+J2—J3的因式，于是可以发现3十2丿2 = 1 + 2，且、3 飞「31 -2 ,

二次根式四则运算

二次根式的四则运算同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。（PPT1）二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。下面我们来看几个具体的例子例1计算下列各式：（1；（2）最后把它化成最简二次根式得. 通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。，然后把它化成最简二次根式得5．通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。我们一起来看例2 例2 计算：我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开， -所以最后结得1848 果为－30 多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用方法2：所以可利用整式乘法公式进行计算得22 -＝18－48＝－30 所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。拓展提高

（1）通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。总结：通过本节课的学习我们可以发现：（1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立；（2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点；（3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 20152016 22)(3)-

二次根式的加减法知识讲解

二次根式的加减法一、知识概述 1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变． 3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； (2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识 1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．

2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．

根式的运算技巧

根式的运算平方根与立方根一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a 2、立方根： ⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a≥0。 4、公式：⑴)2=a（a≥0a取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用

很广，务必掌握）。例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2 )3(-；（3）49 15 1 ； ⑷ 2 1(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3） 25 9；（4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）49 25 ± （8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10 227 -； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.

分式和二次根式知识总结

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分式与二次根式—知识讲解【知识网络】知识点一、分式的有关概念及性质?1．分式?设Ａ、Ｂ表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意分母Ｂ的值不能为零，否则分式没有意义.?2.分式的基本性质?

(M为不等于零的整式).?3.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释: 分式的概念需注意的问题：? (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用；（2）分式中，A和Ｂ均为整式,A可含字母,也可不含字母，但B中必须含有字母且不为０;?(３）判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.?（4）分式有无意义的条件:在分式中, ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.?②当B=０时，分式无意义；当分式无意义时,B=0．?③当B≠0且A = ０时，分式的值为零. 知识点二、分式的运算?1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1)加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．；异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． (3)除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (４)乘方运算（分式乘方) 分式的乘方,把分子分母分别乘方．?２．零指数．?3.负整数指数 4．分式的混合运算顺序先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的.