信号采集与重建的编程思想课设概要

学生姓名： cobe 专业班级：电信

指导教师：工作单位：信息工程学院

题目: 信号采集与重建的编程实现

初始条件：

1.Matlab6.5以上版本软件；

2.课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“数字信号处理原理与实现”、“Matlab及在

电子信息课程中的应用”等；

3.先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab应用实践及信号处理类课程等。

要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

1.课程设计时间：1周（课内实践）；

2.课程设计内容：信号采样与重建的编程实现，具体包括：连续信号的时域采样、频谱混叠分析、

由离散序列恢复模拟信号等；

3.本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具

体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结；

4.课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括：

①目录；

②与设计题目相关的理论分析、归纳和总结；

③与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析；

④程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结；

⑤课程设计的心得体会（至少500字）；

⑥参考文献（不少于5篇）；

⑦其它必要内容等。

时间安排：

1）第1-2天，查阅相关资料，学习设计原理。

2）第3-4天，方案选择和电路设计仿真。

3）第4-5天，电路调试和设计说明书撰写。

4）第6天，上交课程设计成果及报告，同时进行答辩。

指导教师签名：年月日

系主任（或责任教师）签名：年月日

目录

1.软件介绍 (1)

2.课程设计的方案 (2)

2.1信号采样设计的原理 (2)

2.1.1连续信号的采样定理 (2)

2.1.2频谱混叠分析 (4)

2.2 设计内容 (5)

2.2.1设计题目 (5)

2.2.2程序设计框图 (5)

2.2.3程序代码与运行结果 (6)

2.2.4波形分析 (9)

3信号恢复重建 (10)

3.1信号恢复重建原理 (10)

3.2设计内容 (11)

3.2.1设计题目 (11)

3.2.2主程序框图 (12)

3.2.3程序代码与运行结果 (12)

3.2.4误差分析 (14)

4心得体会 (15)

5参考文献 (16)

1.软件介绍

MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩形计算、视化以线性动态线性系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多领域一面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。经过不断完善MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。成为线性代数,自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。

MTLAB的语言特点：

(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。

(2)运算符丰富。

(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。

(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。

(5)MATLAB的图形功能强大。

(6)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。

2.课程设计的方案

2.1信号采样设计的原理

2.1.1连续信号的采样定理

拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号)(t f s 恢复原信号)(t f 必需满足两个条件:

(1) )(t f 必须是带限信号，其频谱函数在

||ω＞ s ω各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。）

(2) 取样频率不能过低，必须 s ω＞2 m ω（或 s f ＞2m f ）。（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率

T s /2πω=大于或等于max 2ω，即m a x 2ωω≥s （max 2ω为连续信号)(t ε的有限频谱）

，则采样离散信号t ?ω能无失真地恢复到原来的连续信号 )(t ε。一个频谱在区间（- m ω，m ω）以外为零的频带有限信号)(t f ，可唯一地由其在均匀间隔 S T 上的样点值)(nTs f 所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号()t f ，它集中在（m m ωω+-,）的时间范围内，则该信号的频谱()ωj F 在频域中以间隔为1ω的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1ωj F 可以惟一表示原信号的条件为重复周期m t T 21≥。采样信号 )(t f s 的频谱是原信号频谱

)(ωj F 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当s ω＞2 m ω时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号

)(t f s 中恢复原信号 )(t f 。

（注：s ω＞2 m ω的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）

（a）

(b)

(c)

a)等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）

b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）

c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）

图1

对模拟信号

()

a

x t进行理想采样的公式如下式：

()()()

a a

n

x t x t t nT

δ

∞

∧

=-∞

=-

∑

公式(1)

2.1.2频谱混叠分析

对上式采样信号进行傅立叶变换，得到：

()()t j a a X j x t e dt

∧∧∞

-Ω-∞Ω=? 公式(2)

[()()]j t a n x t t nT e dt δ∞∞

-Ω-∞=-∞=-∑? 将上式的积分号和求和号交换次序，得到：

()()()j t a a n X j x t t nT e dt δ∞∧

∞-Ω-∞=-∞Ω=-∑? 公式(3)

在上式的积分号内，只有当t nT =时，才有非零值，因此：

()()n j T a a n X j x nT e ∞∧-Ω=-∞Ω=

∑ 公式(4)

式中，()a x nT 在树值上等于由采样得到的时域离散信号()x n ，如果再将T ω=Ω代入，得到：

()()j n a n X j x n e ω∞∧-=-∞Ω=

∑ 公式(5)

上式的右边就是序列的傅立叶变换

()jw X e ，即： ()()|jw a T X j X e ω∧=ΩΩ= 公式(6) 上式说明采样信号的傅立叶变换可用相应序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。

这里有一个问题要解释，采样信号的频谱()a X j ∧Ω是将模拟信号的频谱按照采样角频频率为周期，进行周期性延拓形成的，而序列的傅立叶变换是以2π为周期，这里是否一致？答案是肯定的。因为按照公式s f f T /2πω=Ω=，当s f f =时，2ωπ=，因此序列的傅立叶变换以2π为周期，转换到模拟域就是以采样频率s f 为周期。另外，/2s f f =是()a X j ∧

Ω的折叠频率，如果产生频率混叠，就是在该处附近发生，在数字域中，就是在ωπ=附近易产生频谱混叠。

由此我们可以得出，如果信号带宽小于奈奎斯特频率，那么采样得到的离散样本值能够完全表示原信号。频率大于等于奈奎斯特频率的信号分量会发生混叠现象

在重建时将会重建成频率低于奈奎斯特频率的信号。

2.2 设计内容

2.2.1设计题目 已知00()sin (), A=444.128, a=502, =502at a x t Ae tu t ππ-=ΩΩ，计算并图示()a x t 及其幅频特性函数()a X j Ω；分别以采样频率1000,400,200s f Hz Hz Hz =对()a x t 进行等间隔抽样，得到()(),1/a s x n x nT T f ==为采样周期；计算并图示三种采样频率下的采样信号()x n 及其幅频特性函数()

()iw j T a w T X e X e Ω=Ω=。观察()j T a X e Ω的周期性、周期以及

频谱混叠程度与s f 的关系。 2.2.2程序设计框图

图2

2.2.3程序代码与运行结果

1采样频率为1000HZ.选择观测时间50p T ms

clf;

A=444.128;a=50*pi*sqrt(2);w0=50*pi*sqrt(2);

Tp=50/1000;

fs=1000; %采样频率1000HZ

T=1/fs;

n=0:0.5:Tp*fs-1; %产生的长度区间n

xt=A*exp(-a*n*T).*sin(w0*n*T); %产生采样序列xt(n)

f=fft(xt,length(n)); %采样序列xt(n)的FFT 变换

k1=0:length(f)-1;

fk1=k1/Tp; %设置xt(n)的频谱的横坐标的取值

subplot(1,2,1)

stem(n,xt,'.') %xt 离散图

title('(a)fs=1000Hz');

xlabel('n');ylabel('x(n)');

subplot(1,2,2)

plot(fk1,abs(f))

title('(a)FT[x(nT)],Fs=1000Hz');

xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')

图3 2采样频率为400HZ ,选择观测时间50p T ms

clf;

A=444.128;a=50*pi*sqrt(2);w0=50*pi*sqrt(2);

Tp=50/1000;

fs=400; %采样频率400HZ

T=1/fs;

n=0:0.5:Tp*fs-1; %产生的长度区间n

xt=A*exp(-a*n*T).*sin(w0*n*T); %产生采样序列xt(n)

f=fft(xt,length(n)); %采样序列xt(n)的FFT 变换

k1=0:length(f)-1;

fk1=k1/Tp; %设置xt(n)的频谱的横坐标的取值

subplot(1,2,1)

stem(n,xt,'.') %xt 离散图

title('(a)fs=400Hz');

xlabel('n');ylabel('x(n)');

subplot(1,2,2)

plot(fk1,abs(f))

title('(a)FT[x(nT)],Fs=400Hz');

xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')

图 4

3.采样频率为200HZ ,选择观测时间50p T ms

clf;

A=444.128;a=50*pi*sqrt(2);w0=50*pi*sqrt(2);

Tp=50/1000;

fs=200; %采样频率200HZ

T=1/fs;

n=0:0.5:Tp*fs-1; %产生的长度区间n

xt=A*exp(-a*n*T).*sin(w0*n*T); %产生采样序列xt(n)

f=fft(xt,length(n)); %采样序列xt(n)的FFT 变换

k1=0:length(f)-1;

fk1=k1/Tp; %设置xt(n)的频谱的横坐标的取值 subplot(1,2,1)

stem(n,xt,'.') %xt 离散图

title('(a)fs=200Hz');

xlabel('n');ylabel('x(n)');

subplot(1,2,2)

plot(fk1,abs(f))

title('(a)FT[x(nT)],Fs=200Hz');

xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')

图5

2.2.4波形分析

采样频率为1000Hz时没有失真，400HZ时有混叠失真，200Hz时混叠加重，失真加大。说明采样频率越大，失真越小，当频率小于基带信号频率的2倍时发生

混混叠现象，失真很大，当频率远大于基带信号频率的2倍时几乎没有失真。

3信号恢复重建

3.1信号恢复重建原理

用时域内插公式 ()()()a n x t x n g t n T ∞=-∞=

-∑ 公式(7)

其中 s i n ()()s i n c ()s t T g t F t t T

ππ== 公式(8) 模拟用理想低通滤波器恢复()a x t 的过程，观察恢复波形，计算出最大恢复误差。其中()a x t 和()x n 同上题。采样频率s F 取400Hz 。

所谓模拟信号恢复（或重构）就是根据离散点的采样序列()()a x n x nT =估算出采样点之间的模拟信号的值。因此，g(t)应是一个连续时间函数。MATLAB 不能产生连续函数。但可以把t 数组取得足够密，使在一个采样周期T 中，插入m 个点，也即使dt=T/m ，就可以近似地将g(t)=sinc(t/T)看作连续波形。

根据上述内插公式，在用MATLAB 实现时，设定一个ti 值求xa(ti)的问题，可归结为一个行向量x(n)和一个同长的由n ’构成的列向量g(ti-n ’T)相乘，即xa(ti)=x*g(ti)，这里面已包括了求和运算，和上题求频谱的算法非常相似。对于很多个ti ，既可以用for 循环，也可以把t 作为行向量代入，利用MATLAB 元素群运算的规则，一次求出全部的xa(t)。在t-n ’T 中，t 设成行向量，n ’T 为列向量。我们的目的是把它构成一个行数与n 同长而列数与t 同长的矩阵，因此，要把两项分别扩展为这样的矩阵。这只要把t 右乘列向量ones(length(n),1)，把n ’T 左乘行向量ones(1,length(t))即可。

所以，只要正确设定t 向量和n 向量，设t 向量长M ，n=1:N-1，就可生成t-n ’T 矩阵，把它命名为TNM ，用MATLAB 语句表示为：