2012年江苏高考数学信息卷一(南师大数学之友版)word版

2012 高考数学模拟题一

一、填空题

1．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z +++

的最大值是2

.

提示：222

21122

x y y z +

++≥. 2. 已知函数2(1)

()1(1)x ax x f x ax x ?-+≤=?->?，若存在12,x x R ∈，12x x ≠，使12()()

f x f x =成立，则实数a 的取值范围是2a ≤.

3．已知ABO ?三顶点的坐标为(1,0),(0,2),(0,0),(,)A B O P x y 是坐标平面内一点，

且满足0,0AP OA BP OB ?≤?≥

，则OP AB ? 的最小值为 3 .

提示：由已知得(1,)(1,0)10AP OA x y x ?=-?=-≤

，

且(,2)(0,2)2(2)0BP OB x y y ?=-?=-≥

，即1x ≤，且2y ≥， 所以(,)(1,2)2143OP AB x y x y ?=?-=-+≥-+=

.

4. 函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，

(1)'()0

x f x -<，设1

(0),(),(3)2

a f

b f

c f ===，则,,a b c 的大小关系为c ，()f x 为增函数；

又(3)(1)f f =-，且11012-<<

<，因此有1(1)(0)()2

f f f -<<， 即有1

(3)(0)()2

f f f <<,c a b <<.

5. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{n a }的公比为

13

. 提示：设等比数列{n a }的公比为(0)q q ≠，由21343S S S =+，得

21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，即230q q -=，13

q ∴=. 6

．在平面直角坐标系中，设直线:0l kx y -=与圆C ：

2

2

4x y +=相交于A 、B 两点，.OM OA OB =+

若点M 在圆C

上，则实数k =1±.

提示：OM OA OB =+ ，则四边形OAMB 是锐角为60?的菱形， 此时，点O 到AB 距离为1.

1=，解出k =1±.

7． 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第5个数应是2012.

提示：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的数是

63(631)

20162

?+=，所以，从左至右的第5个数应是2016-4=2012. 1

3

654

78910

1514131211

2

二、解答题

1. 已知向量)1

,(sin θ=a ，)3,(cos θ=

b ，且//a b ，其中)2,0(π

θ∈.

(1)求θ的值；

(2)若2

0,53)sin(π

ωθω<<=-，求cos ω的值.

解：(1)(sin ,1)a θ=

，(cos b θ= ，且//a b ，

cos 0θθ-=，即tan 3

θ=

， .

30),2,0( =∴∈θπ

θ

(2) ,6

,2

0π

θπ

ω=

<< .3

6

6

π

π

ωπ

<

-

<-

∴

53)6sin(=-π

ω ,5

4)6(sin 1)6cos(2=--=-∴πωπω.

)6sin(6sin )6cos(6cos 66cos cos πωππωπππωω---=??????

+-=∴）（ 4133

.252510

=-?=

2.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11ABB A 和侧面

11ACC A 均为正方形， 90=∠BAC ，的中点为BC D . (1)求证：11//ADC B A 平面; (2)求证：C B A C 11⊥.

证明：(1)连接OD O AC C A ，连接于点交11,.

的中点为为正方形，所以四边形C A O A ACC 111 , 又D 为BC 的中点，

BC A OD 1?∴为的中位线，

∴.OD //B A 1

1ADC OD 平面? ,

11ADC B A 平面?,

∴11//ADC B A 平面.

(2)由(1)可知，11CA A C ⊥.

侧面11A ABB 为正方形，

111AA B A ⊥,

且 9011=∠=∠BAC C A B ，

1111A ACC B A 平面⊥∴. 又1

11A ACC A C 平面? ,

A C

B A 111⊥∴.

C B A A C 111平面⊥∴. C B A C B 111平面又?,

∴C B A C 1

1⊥.

3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ． (1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B 两点，且与走廊的一边的夹角为(0)2

π

θθ<<

，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；

(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）． 解：(1) 根据图得22(),(0,).sin cos 2

l BP AP πθθθθ=+=

+∈ (2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：

22

()()(sin cos l θθθ

'''=+

220sin 2cos 0cos 2sin sin cos θθθθθθ?-??+?=+33222(sin cos ).sin cos θθθθ

-=

令()0l θ'=得，4

π

θ=

．

当04

π

θ<<时，()0,()l l θθ'<为减函数； 当

4

2

π

π

θ<<

时，()0,()l l θθ'>为增函数； 所以当4

π

θ=

时，()l θ

有最小值

因为5>，所以铁棒能水平通过该直角走廊．

4.椭圆C ： )0(122

22>>=+b a b y a

x 两个焦点为12,F F ，点P 在椭圆C 上，且

211F F PF ⊥,且2

1

1=

PF ，3221=F F . (1)求椭圆C 的方程.

(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由. 解：(1)3221=F F 3=∴c ，又211F F PF ⊥，

∴,2

7,44922

2

1212

2

==

+=PF F F PF PF ∴1,2,422

2221=-===+=c a b a PF PF a 则,

∴所求椭圆C 的方程为1422

=+y x .

(2)假设能构成等腰直角三角形ABC ，其中)1,0(B ，由题意可知，直角边

BC BA ,不可能垂直或平行于x 轴，故可设BA 边所在直线的方程为1+=kx y ， )0(

-+=x k

y .

由221,44,y kx x y =+??+=?

得12280()14k x x k ==-+舍，,故)1418,418(2

22++-+-k k k k A ， ∴,4118)418()418(2

2

22222k k

k k k k k AB ++=+-++-=

用k 1-代替上式中的k ，得22418k

k

BC ++=, 由得,BC AB =,41)422k k k

+=+（ 即324410,k k k +++=即2(1)(31)0,k k k +++=

,25

31,0±-=

-=∴

故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.

5.有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a （3,,,3,2,1,≥=n n k m ），公差为m d ，并且nn n n n a a a a ,,,,321 成等差数列. (1)证明的多项式）是m p p n m d p d p d m 212211,,3(≤≤+=，并求21p p +的值； (2)当3,121==d d 时，将数列{}m d 分组如下：

)(1d ，),,(432d d d ，),,,,(98765d d d d d ，…（每组数的个数构成等差数列）. 设前m 组中所有数之和为4)(m c （0>m c ），求数列{}

m c d m 2的前n 项和n S . (3)设N 是不超过20的正整数，当N n >时，对于(1)中的n S ，求使得不等式

n n d S >-)6(50

1

成立的所有N 的值. 解：(1)由题意知m m n d n a )1(1-+=.

[][]))(1()1(1)1(1121212d d n d n d n a a n n --=-+--+=-,

同理，))(1(2323d d n a a n n --=-，))(1(3434d d n a a n n --=-，…，

))(1(1)1(----=-n n n n nn d d n a a .

又因为nn n n n a a a a ,,,,321 成等差数列，所以n n a a 12-=n n a a 23-=…=n n nn a a )1(-- 故,12312--==-=-n n d d d d d d 即{}n d 是公差为12d d -的等差数列. 所以21121)1()2())(1(d m d m d d m d d m -+-=--+=.

令,1,221-=-=m p m p 则2211d p d p d m +=此时21p p +=1.

(2) 当3,121==d d 时,)(12*

N m m d m ∈-=

数列{}m d 分组如下：)(1d ，),,(432d d d ，),,,,(98765d d d d d ，… 按分组规律，第m 组中有12-m 个奇数，

所以第1组到第m 组共有2)12(531m m =-++++ 个奇数. 注意到前k 个奇数的和为2)12(531k k =-++++ ， 所以前2m 个奇数的和为422)(m m =.

即前m 组中所有数之和为4m ，所以44)(m c m =.

因为,0>m c 所以m c m =，从而).(2)12(2*N m m d m m c m ∈?-= 所以n n n n n S 2)12(2)32(272523211432?-+?-++?+?+?+?=- .

154322)12(2)32(272523212+?-+?-++?+?+?+?=n n n n n S

故14322)12(222222222+?--?++?+?+?+=-n n n n S 1322)12(2)2222(2+?---++++=n n n

12)12(21

2)

12(22+?-----?

=n n n 62)23(1--=+n n . 所以62)32(1+-=+n n n S .

(3)由(2)得)(12*N n n d n ∈-=, 62)32(1+-=+n n n S )(*N n ∈. 故不等式

n n d S >-)6(50

1

就是)12(502)32(1->-+n n n . 考虑函数100)502)(32()12(502)32()(11---=---=++n n n n n x f . 当5,4,3,2,1=n 时，都有0)(=--=f ，

注意到当6≥n 时，)(n f 单调递增，故有0)(>n f .

因此,当6≥n 时，)12(502)32(1->-+n n n 成立，即n n d S >-)6(50

1

成立. 所以,满足条件的所有正整数N=20,,7,6,5 .

6. 对任意x R ∈，给定区间11

[,)22

k k k Z -+∈，设函数()f x 表示实数x 与x 所属

的给定区间内唯一整数之差的绝对值.

(1)当11[,]22x ∈-时，求出()f x 的解析式；11

[,]()22

x k k k Z ∈-+∈时，写出绝对

值符号表示的()f x 的解析式；

(2)求44

(()33

f f -，判断函数()()f x x R ∈的奇偶性，并证明你的结论；

(3)当12

1e

a -

<<时，

求方程()log 0a f x -=的实根.( 要求说明理由，1

2

12

e

-

>

). 解：(1)当11[,]22x ∈-时，11

[,22

-中唯一整数为0，

由定义知：11

(),[,].22

f x x x =∈-

当11[,]()22x k k k Z ∈-+∈时，在11

[,]22

k k -+中唯一整数为k ，

由定义知：11

(),[,)22

f x x k x k k k Z =-∈-+∈.

(2) 411411[1,1],[1,1322322∈-+-∈---+

4141

(,()3333

f f ∴=-=,下判断()f x 是偶函数.

对任何x R ∈，存在唯一k Z ∈，使得11

,()22

k x k f x x k -≤≤+=-则.

由1122k x k -≤≤+可以得出11

()22

k x k k Z --≤-≤-+∈,

即11

[,)22

x k k k Z -∈---+-∈.

由(1)的结论，()()(),f x x k k x x k f x -=---=-=-=即()f x 是偶函数.

(3)()log 0a f x -=，即1

log 02a x k x --=，其中0x >；

①当1x >时，10log 2a x k x -≥>，所以1

log 02

a x k x --=没有大于1的实根；

②容易验证1x =为方程1

log 02

a x k x --=的实根；

③当

112x <<时，对应的1k =，方程1log 02a x k x --=变为1

1log 02

a x x --=. 设11

()log (1)(1)22

a H x x x x =--<<.

则1

2

1111

'()log 11110,22ln 2ln a H x e x x a

x

x e

-=

+=+<+=-+<

故当

112x <<时，()H x 为减函数，()(1)0H x H >=，方程没有112

x <<的实根； ④当102x <≤时，对应的0k =，方程1log 02a x k x --=变为1

log 02a x x -=，

设11

()log (022a G x x x x =-<≤，明显()G x 为减函数.

1()()()02G x G H x ≥=>,所以方程没有1

02

x <≤的实根.

综上，若12

1e a -

<<

时，方程()log 0a f x -=有且仅有一个实根，实根为1.

三、理科附加题

1.在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H 、I 、J 、K 四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担. (1)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率;

(2)设这五位同学中承担H 任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望

.ξE

解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件B ，那么,101)(442544=A A =B P C

所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是.10

9

)(1(=B P -=B P (2)随机变量ξ可能取的值为1,2.

事件“2=ξ”是指有两人同时承担H 任务，

则41

244

253325=

A A ==P C C )(ξ，

.)()(4

3211=

=P -==P ξξ 所以,ξ的分布列是

所以.4

4241=?+?

=E ξ 2. 已知2012(1)(1)(1)(1),(*).n n n x a a x a x a x n N +=+-+-++-∈ (1) 求0a 及1n

n i i S a ==∑；

(2) 试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由.

解：(1) 令1x =，则02n

a =，令2x =，则03n

n i i a ==∑，所以32n n n S =-.

(2) 要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，即比较：3n 与2(1)22n n n -+的大小， 当1n =时，3n >2(1)22n n n -+;当2,3n =时，3n <2(1)22n n n -+； 当4,5n =时，3n >2(1)22n n n -+；

猜想：当4n ≥时，3n >2(1)22n n n -+，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，4n =时结论成立，

假设当(4)n k k =≥时结论成立，即3k >2(1)22k k k -+；两边同乘以3得：

1212

2

33[(1)22]22(1)[(3)2442]

k k k k k k k k k k k ++>-+=+++

-

+-

-. 而

22(3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>

所以1123[(1)1]22(1)k k k k ++>+-++； 即1n k =+是结论也成立，

所以，当4n ≥，3n >2(1)22n n n -+成立. 综上得，当1n =时，3n >2(1)22n n n -+；

当2,3n =时，3n <2(1)22n n n -+; 当4n ≥，*n N ∈时，3n >2(1)22n n n -+.