平面向量易错点归纳总结

2011届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（五）

平面向量

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||

AB AB ±)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直

线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

④三点A B C 、、共线? AB AC 、

共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb

c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：

（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：

如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、

2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

如（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1

322

a b -）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. 12(0,0),(1,2)e e ==-

B. 12(1,2),(5,7)e e =-=

C. 12(3,5),(6,10)e e ==

D. 1213(2,3),(,)24

e e =-=-（答：B ）；

（3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433

a b +）；

（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→

??→

?=DB CD 2，?→

??→

??→

?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当

λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝

2

π

时，a ，b 垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如（1）△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________（答：－9）； （2）已知1

1(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4

π

，则k 等于____（答：1）； （3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____（答：23）；

（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30） （3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||=→

a ，5||=→

b ，且

12=?→

→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______（答：

5

12） （4）a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥??=；

②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b ，特别地，2

2

2

,a a a a a a =?==

；当a 与b 反向时，a ?b

＝－a b ；当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、

不同向，0a b ?>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、

不反向，0a b ?<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a b

θ?=

；④||||||a b a b ?≤。

如（1）已知)2,(λλ=→

a ，)2,3(λ=→

b ，如果→

a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：

4

3λ<-或0λ>且13

λ≠）

； （2）已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→

??→?FQ OF ，若2

321<

围是_________（答：(

,)43

ππ

）； （3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式3,0ka b a kb k +=->其中，

①用k 表示a b ?；②求a b ?的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21

(0)4k a b k k

+?=>；②最

小值为

1

2

，60θ=） 6、向量的运算： （1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即

a b AB BC AC +=+=；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的

终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如（1）化简：①AB BC CD ++=___；

②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；

（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：22）；

（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；

（4）若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设

||

||

AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）

； （5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____（答：120）； （2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在

第一、三象限的角平分线上（答：

1

2

）； （2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6

π

或

2

π

-

）； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的

终点坐标是 （答：（9,1））

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。 ③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121

,A B x x y y

=--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向

线段的终点坐标减去起点坐标。

如设(2,3),(1,5)A B -，且1

3

AC AB =

，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11

(1,

),(7,9)3

-）

； ④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+。

如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。（1）若x ＝

3

π

，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-

，函数b a x f ?=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1

(1)150;(2)2

或

21--）；

⑤向量的模：2

22222||,||a x y a a x y =

+==+。如已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，

那么|3|a b +＝_____（答：13）；

⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()

22

2121||AB x x y y =

-+-。

如如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=，平面上任一点P 关于

斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。（1）若点P 的斜坐标为（2，－

2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（1）2；（2）2

2

10x y xy ++-=）；

7、向量的运算律：

（1）交换律：a b b a +=+，()

()a a λμλμ=，a b b a ?=?； （2）结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ?=?=?； （3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +?=?+?。

如下列命题中：① →→→→→→→?-?=-?c a b a c b a )(；② →

→→→→→??=??c b a c b a )()(； ③ 2

()a b →→

-2

||a →

=2

2||||||a b b →→→

-?+；④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→

b ； ⑤若,a b

c b ?=?则a c =；⑥2

2

a a =；⑦

2

a b b a

a

?=

；⑧222()a b a b ?=?；⑨22

2()2a b a a b b -=-?+。

其中正确的是______（答：①⑥⑨） 提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(?≠?，为什么？

8、向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ?=22()(||||)a b a b ??=1212x y y x ?-＝0。如(1)若向量

(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，

2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____

时，A,B,C 共线（答：－2或11）

9、向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=- 12120x x y y ?+=.特别地

(

)()A B A C A B A C

A B

A C A

B A C

+

⊥-。 如（1）已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = （答：

32

）； （2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；

（3）已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或） 10.线段的定比分点：

（1）定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数λ ，使

12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP 的以定比为λ的定比分点；

（2）λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当P 点在线段 P 1P 2

的延长线上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ?-<<；若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ

。如若点P 分AB 所成的比为3

4，则A 分BP 所成的比为

_______（答：7

3

-）

（3）线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP 所成的比为λ，则

121211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?

，特别地，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式121222

x x x y y y +?=???

+?=??。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ。

如（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3

--→

--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7

(6,)3--）；

（2）已知(,0),(3,2)A a B a +，直线1

2

y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a 等于_______（答：２或－４）

11.平移公式：如果点(,)P x y 按向量(),a h k =平移至(,)P x y ''，则x x h

y y k

'=+??

'=+?；曲线(,)0f x y =按向

量(),a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.

注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？

（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______（答：（－８，

３））；

（2）函数x y 2sin =的图象按向量→

a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→

a ＝

________（答：)1,4

(π

-

）

12、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当 a b 、

同向或有0?||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、反向或有0?||||||a b a b -=+≥|||||||a b a b -=+；当 a b 、

不共线?|||||||||||a b a b a b -

<±<+(这些和实数比较类似). （3）在ABC ?中，

①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G ++++??

???

。 如若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24

(,)33

-）；

②1()3

PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?为ABC ?的重

心；

③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??为ABC ?的垂心；

④向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；

⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心；

（4）若P 分有向线段12PP 所成的比为λ，

点M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ

+=+，特别地P 为12P P 的中点122

MP MP MP +?=

； （4）向量 PA PB PC 、、中三终点A

B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+且 1αβ+=.如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足

?→?OC

?→

?

?→

?

+OB

OA

2

1

λ

λ,其中R

∈

2

1

,λ

λ且1

2

1

=

+λ

λ,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

=