【预习系列】第八讲 倍长中线与截长补短

【预习系列】第八讲 倍长中线与截长补短
【预习系列】第八讲 倍长中线与截长补短

第八讲倍长中线与截长补短

一、学法建议

1、倍长中线和截长补短是几何证明题中常用的两种方法,非常重要。每种方法都有它们适

用的条件。我们需要熟练掌握这两种方法的条件和结论。

2、几何题目书写要规范。在这一节中,我们需要熟练掌握证明全等三角形的书写方法。另

外,倍长中线和截长补短是辅助线的添加方式,我们也需要规范辅助线的描述方法。

3、几何题目需要大家多加练习,在掌握了方法之后,更要学会熟练应用、总结规律。

二、应掌握的基础知识点

1、基础知识复习回顾

全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等;全等三角形的对应边相等;能够完全重合的顶点叫对应顶点;全等三角形的对应边上的高对应相等;全等三角形的对应角的角平分线相等;全等三角形的对应边上的中线相等;全等三角形面积和周长相等;全等三角形的对应角的三角函数值相等。

全等三角形的判定:

S.S.S.(Side-Side-Side)(边、边、边):如果两个三角形的三条边的长度都对应地相等的话,则这两个三角形就是全等三角形。

S.A.S.(Side-Angle-Side)(边、角、边):如果两个三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,则这两个三角形就是全等三角形。

A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、边、角):如果两个三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,则这两个三角形就是全等三角形。

A.A.S.(Angle-Angle-Side)(角、角、边):如果两个三角形的其中两个角都对应地相等,

且对应相等的角所对应的边对应相等的话,则这两个三角形就是全等三角形。

H.L.(hypotenuse -leg)(斜边、直角边):直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等,则这两个三角形就是全等三角形。

注意:利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点、对应角、对应边的顺序写一致,为找对应边、对应角提供方便。

全等三角形证明步骤:

①找到要证明全等的两个三角形

②从已知及图形出发找两个条件

③确定判定定理

④证明第三个条件

⑤书写全等的标准格式

⑥写出结论

三角形的三大变换:平移、轴对称、旋转(复习第六讲内容)

2、全等三角形辅助线的添加

①利用判定定理添加

②利用中点添加(倍长中线)

③利用角平分线添加

④利用截长补短添加

⑤利用等腰三角形三线合一定理添加等

这节我们需要重点掌握倍长中线和截长补短

倍长中线(这里的中线并不一定都是三角形中线,倍长中线体现旋转的思想)

总结:①特征:三角形中遇到中点(中线),题目中出现线段的2倍关系。

②作法:加倍延长过中点的线段

③目的:转移边、角,构造旋转型全等,把边角转移到一个三角形中

④结论:出现全等三角形、全等三角形对应边相等、全等三角形对应角相等、出现

平行线、出现平行四边形

口诀:见中线(2倍)必倍长,全等三角形必出现,平行线必出现,全连起来平行四边形也出现。

截长补短(截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某线段延长,使之与特定线段相等,再利用两线段所在三角形全等的有关性质加以说明)

总结:①特征:题目或结论中出现线段的和、差、倍、分等量关系,一般也会出现三角形内角平分线

②作法:通常情况下大部分题目截长、补短能同时使用解同一题。习惯来说,线段

和用补短法,线段差用截长法。

③目的:构造相等的边,从而构造对称性全等

④结论:出现对称性全等,有可能出现等腰三角形

添加辅助线步骤的书写规范:

①连接:连接AB

②延长作相等线段:延长AM至E,使ME=AM

③在长线段上截取相等线段:在AC上,截取AE=AB

④作平行线:过点B,作AC的平行线(作BE∥AC),与AD延长线的交点为E

⑤作垂线:过点F,作AE的垂线(作FH⊥AE),垂足为H

三、应掌握的题型

1.如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是( )

A.2<AB<12

B.4<AB<12

C.9<AB<19

D.10<AB<19

2、如图,点E是BC的中点,∠BAE=∠CDE,延长DE到点F使得EF=DE,连接BF,则下列说法正确的是()

①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形

A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②③④

3、如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为()

A.1

B.2

C.3

D.4

4、如图,在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有()

①BD=DE=EC ②AB+AE>2AD ③AD+AC>2AE ④AB+AC>AD+AE

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

5、正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,

BE+DF=EF,则∠EAF的度数为( )

A.30°

B.37.5°

C.45°

D.60°

6、已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,则下列说法正确的是()

A.CD=AD+BE

B.AE=CE+BE

C.AE=AD+BE

D.AC=AD+BE

7、如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,

延长BD至E,是DE=AD,则∠ECA的度数为()

A.30°

B.35°

C.40°

D.45°

四、答案解析

1、C

解题思路:延长AD至E,使DE=AD,连接CE,可先证明△ABD≌△ECD,则AB=CE,在△ACE中,根据三角形的三边关系,得AE-AC<CE<AE+AC,即9<CE<19.则9<AB<19.故选C.

2、A

解题思路:可以先证明△BEF≌△CED,可以得到②正确,进而得到∠F=∠D,BF∥CD,①正确,又∵∠BAE=∠CDE=∠F,∴AB=BF,③正确。④不正确。

3、C

解题思路:延长FE交DA的延长线于点M,则可证△AEM≌△BEF,再证明△GEM≌△GEF,可以得到GF=GM=GA+BF=3,答案选C

4、D

解题思路:点D、E为边BC的三等分点,∴BD=DE=CE延长AD至点M,AE至点N,使得DM=AD,EN=AE,连接EM、CN,则可证明△ABD≌△MED,进而可得AB+AE>2AD,再证明△ADE≌△NCE,进而可得AD+AC>2AE,将两式相加可得到AB+AE+AD+AC>2AD+2AE,即AB+AC>AD+AE.∴①②③④均正确。

5、C

解题思路:延长EB至点G,使得BG=DF,连接AG,可证明:△ABG≌△ADF(SAS),∴∠DAF=∠BAG,AF=AG,又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE∴△AEG≌△AEF(SSS)∴∠EAG=∠EAF,∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°,∴∠EAF=45°。

6、C

解题思路:在AB上截取AF,使得AF=AD,连接CF,则可先证△ADC≌△AFC,再证明△CEF ≌△CEB,就可以得到AE=AD+BE,所以C选项正确。

7、C

解题思路:在BC上截取BF=AB,连DF,则有△ABD≌△FBD,∴DF=DA=DE,又∵∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°-∠A=80°,∴∠FDC=60°,∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°,∴△DCE≌△DCF,故∠ECA=∠DCB=40°.故选C.

倍长中线法、截长补短法

倍长中线(线段)造全等 1. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求 AD 证明:延长AD到E,使DE=AD, 则△ ADC≌△ EBD ∴ BE=AC=2 在△ ABE 中,AB-BE

人教版初中数学全等三角形倍长中线法和截长补短法

专题2:倍长中线法和截长补短法 例1:如图,AD 为△ABC 中BC 边上的中线(AB >AC ) (1)求证:AB ﹣AC <2AD <AB +AC ; (2)若AB=8cm ,AC=5cm ,求AD 的取值范围. 针对训练:1、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7,则BC 边的取值范围是________________. 2、如图,AD 为△ABC 的中线,∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F . 求证:BE +CF >EF . 3.如图,点D 、E 三等分△ABC 的BC 边,求怔:AB +AC >AD +AE . 例2:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 针对训练:1.已知:如图,?ABC 中,∠C=90?,CM ⊥AB 于M ,AT 平分∠BAC 交CM 于D ,交BC 于T ,过D 作 DE//AB B

交BC 于E ,求证:CT=BE. 2、如图,已知CD=AB ,∠BDA=∠BAD ,AE 是△ABD 的中线,求证:(1)AC=2AE (2)∠C=∠BAE 3、已知△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形,求证:EF=2AD 例3、在△ABC 中,∠B=2∠C ,AD 是∠BAC 的平分线.求证:AC=AB +BD . 针对训练: 1、如图,在△ABC 中,∠B=2∠C ,且AC=AB +BD .求证:AD 是∠BAC 的平分线. D A B C M T E

全等三角形之倍长中线法资料讲解

课题:《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》 【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 △ ABC中,AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E, 例2: ABC中,AD是BAC的平分线,且BD=CD,求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF 丄AC于F,证明二次全等 方法2 :辅助线同上,利用面积 方法3 :倍长中线AD E 方式2 :间接倍长 作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到 C 【经典例题】 例1 :△ ABC中,AB=5, AC=3求中线AD的取值范围. 提示:画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边 N,使DN=MD连接CN C 例3:已知在△ ABC中,AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF ,求证:BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF 使DE=AD,连接BE

方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB 方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH 例4:已知在△ ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 例5:已知:如图,在 ABC 中,AB 求证:AE 平分 BAC 方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ,连结CH 例 6:已知 CD=AB ,/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线,求证:/ C=Z BAE 提示:倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS A 提示:倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形 AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 第1题图

倍长中线与截长补短常见题型.

角平分线类 1如图,在 ABC 中,.B =2. C , BAC 的平分线 AD 交BC 与D .求证: AB BD = AC . 2如图,在 ABC 中,AB B^AC , BAC 的平分线 AD 交BC 与D .求证: .B =2. C . 3 女口图,ABC 中, AB=2AC ,AD 平分 BAC ,且 AD=BD ,求证:CD!AC 4如图,在四边形ABCD 中,BC > BA,AD = CD ,BD 平分.ABC ,求证: AC =180° 5 已知 ABC 中,/A =6°, BD 、CE 分别平分 ^ABC 和三ACB , BD 、 CE 交于点0,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明 . C C

6 如图,在 ABC 中,.B =60 , AD 、CE 分别平分.BAC 、. BCA ,且 AD 7 如图,已知在 L ABC 内,.BAC =60° , ■ C = 40° , P , Q 分别在 BC , AP ,BQ 分别是? BAC ,■ ABC 的角平分线。求证: BQ+AQ=AB+BP 8在 ABC 中,AB AC ,AD 是.BAC 的平分线.P 是AD 上任意一点.求 证:AB - AC PB -PC . 9如图,P 是ABC 的外角? EAC 的平分线AD 上的点(不与A 重合)求 证:PB PC AB AC 与CE 的交点为F .求证: FE =FD . CA 上,并且 C

10.如图,在Rt ABC中,AD是斜边BC上的高,BE是.ABC的平分线,AD 交BE 于O,EF _AD 于F,求证:AF =0D . 11.已知在ABC中,.A =90,B的平分线交AC于E,交BC边上的高AH 于D,过D作DF // BC交AC于F,求证:AE =FC . 12已知在△ABC中,AB=AC,D在AB 上, E在AC的延长线上,DE交 BC 于F,且DF=EF,求证:BD=CE

截长补短与倍长中线法证明三角形全等

1.截长补短法证明三角形全等 例1已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE 练习1如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。 AC-AB=2BE 2.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: 3如图,已知AD∥BC,∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求 证:AD+BC=AB. P C E D B A

4在△ABC 中,?=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D , MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时, 求证: ①ADC ?≌CEB ?;②BE AD DE +=; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. 6.如图,已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD 相等吗?请说明理由 例2已知,如图1-1,在四边形ABCD 中,BC >AB ,AD =DC ,BD 平分∠ABC . 求证:∠BAD +∠BCD =180°. 例1. 练习已知,如图3-1,∠1=∠2,P 为BN 上一点,且PD ⊥BC 于点D ,AB +BC =2BD . 求证:∠BAP +∠BCP =180°. A B C D 图1-1 A P 1 2 N

2、倍长中线法证三角形全等 例1 、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 练习 1:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值范围 例2.已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE 练习2已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 例3已知:如图,在ABC ?中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,过D 作BA DF //交 F E C A B D F E D A B C

数学倍长中线法

数学倍长中线法集团档案编码:[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

倍长中线法 1.如图,在正方形ABCD 中,E 为AB 边的中点,G 、F 分别为AD ,BC 边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,求GF 的长 2.如图,CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线,且AC=AB .求证:①CE=2CD .②CB 平分∠DCE . 3.如图已知△ABC,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形,求证EF =2AD. 4.如图,在△ABC 中,D 是BC 边的中点,E 是AD 上一点,BE =AC ,BE 的延长线交AC 于点F ,求证:∠AEF=∠EAF 5..如图,在△ABC 中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ,交EF 于点G ,若BG=CF ,求证:AD 为△ABC 的角平分线. 6..如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证,AD 平分∠BAE. 7.:已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE 9.在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论 10.已知:如图,ABC 中,C=90,CMAB 于M ,AT 平分BAC 交CM 于D ,交 BC 于T ,过D 作DE//AB 交BC 于E ,求证:CT=BE. 12. 13.四边形ABCD 是矩形,将ABE 沿着直线AE 翻折,点A 落在点F 处,直线AF 与直线CD 交于点G, 如图1,若E 为BC 的中点,请探究线段AB 、AG 、DG 之间的关系 F E C A B D E A B C

a全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

手拉手模型 要点一:手拉手模型 特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的 顶点为公共顶点 结论:(1)△ABD ≌△AEC (2)∠α+∠BOC=180° (3)OA平分∠BOC 变形: 例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD ?,连结AE与CD,?与BCE 证明 (1)DBC ? ? ABE? (2)AE与DC之间的夹角为? 60 (3)BH平分AHC ∠ 变式精练1:如图两个等边三角形ABD ?,连结 ?与BCE AE与CD, 证明(1)DBC ? ABE? ? (2)AE与DC之间的夹角为? 60

(3)AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2:如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?,连结AE 与CD , 证明(1)DBC ABE ??? (2)AE 与DC 之间的夹角为?60 (3)AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2:如图,两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问:(1)CDE ADG ???是否成立 (2)AG 是否与CE 相等 (3)AG 与CE 之间的夹角为多少度 (4)HD 是否平分AHE ∠ 例3:如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问:(1)CDE ADG ???是否成立 (2)AG 是否与CE 相等 (3)AG 与CE 之间的夹角为多少度 (4)HD 是否平分AHE ∠ 例4:两个等腰三角形ABD ?与BCE ?,其中 BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ,

倍长中线法

全等三角形的类型题 常见辅助线的作法有以下几种: 1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”. 2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的 “旋转”. 3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”, 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线 段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答. 倍长中线法 1.已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD 2、已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证: 1 2 CD AB 3、已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC 4、已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC A D B C D A B C B A C D F 2 1 E

截长补短法 1、已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C 2、如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 3、如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB . 4、已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE 边加减的问题 1、已知:点A 、F 、E 、C 在同一条直线上, AF =CE ,BE ∥DF ,BE =DF .求证:△ABE ≌△CDF . 2、如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。求证:△AED ≌△BFC 。 C D B F A E D C B A F E D C P E D C B A

最新倍长中线法(经典例题)

倍长中线法 知识网络详解: 中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线. 所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 倍长中线法的过程:延长某某到某点,使某某等于某某,使什么等于什么(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角) 倍长中线最重要的一点,延长中线一倍,完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方式1:延长AD到 E,AD是BC边中线 使DE=AD, 连接BE 方式2:间接倍长 作CF⊥AD于F,延长MD到N, 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD, 连接BE 连接CN 经典例题讲解: 例1:△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围

例2:已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE 过D 作DG//AC 例3:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 例4:已知:如图,在ABC ?中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,过D 作BA DF //交AE 于点F ,DF=AC. 求证:AE 平分BAC ∠ B A B F D E C

例5:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:∠C=∠BAE 自检自测: 1、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证,AD平分∠BAE. 2、在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论. A B F E A B C

倍长中线与截长补短常见题型

D C B A 角平分线类 1如图,在ABC ?中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证: AB BD AC +=. D C B A 2如图,在ABC ?中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证: 2B C ∠=∠. D C B A 3如图,ABC ?中,AB=2AC ,AD 平分BAC ∠,且AD=BD ,求证:CD ⊥AC 4如图,在四边形ABCD 中,BC >BA,AD =CD ,BD 平分ABC ∠,求证: 0180=∠+∠C A 5已知ABC ?中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、 CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明. C D B A

2 P Q C B A O E D C B A 6如图,在ABC ?中,60B ∠=?,AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠,且AD 与CE 的交点为F .求证:FE FD =. F B E D C A 7如图,已知在ABC 内,0 60BAC ∠=,040C ∠=,P ,Q 分别在BC ,CA 上,并且AP ,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP 8在ABC ?中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点.求 证:AB AC PB PC ->-. C D B P A 9如图,P 是ABC ?的外角EAC ∠的平分线AD 上的点(不与A 重合)求证:PB PC AB AC +>+

P E D C B A 10.如图,在Rt ABC ?中,AD 是斜边BC 上的高,BE 是ABC ∠的平分线,AD 交BE 于O ,EF AD ⊥于F ,求证:AF OD =. B A Q F E D C O 21 11.已知在ABC ?中,90A ∠=?,B ∠的平分线交AC 于E ,交BC 边上的高AH 于D ,过D 作DF BC ∥交AC 于F ,求证:AE FC =. H F D C B A E 12已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE F E C A B D

三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结49762

一、手拉手模型 要点一:手拉手模型 特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的 顶点为公共顶点 结论:(1)△ABD ≌△AEC (2)∠α+∠BOC=180° (3)OA 平分∠BOC 变形: 例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ?与BCE ?,连结AE 与CD ,证明 (1)DBC ABE ??? (2)DC AE = (3)AE 与DC 之间的夹角为? 60 (4)DFB AGB ??? (5)CFB EGB ??? (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //

变式精练1:如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?,连结AE 与 CD , 证明(1)DBC ABE ??? (2)DC AE = (3)AE 与DC 之间的夹角为? 60 (4)AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2:如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?,连结AE 与CD , 证明(1)DBC ABE ??? (2)DC AE = (3)AE 与DC 之间的夹角为?60 (4)AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2:如图,两个正方形ABCD 与DEFG ,连结 CE AG ,,二者相交于点H 问:(1)CDE ADG ???是否成立? (2)AG 是否与CE 相等? (3)AG 与CE 之间的夹角为多少度? (4)HD 是否平分AHE ∠?

例3:如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问:(1)CDE ADG ???是否成立? (2)AG 是否与CE 相等? (3)AG 与CE 之间的夹角为多少度? (4)HD 是否平分AHE ∠? 例4:两个等腰三角形ABD ?与BCE ?,其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD , 问:(1)DBC ABE ???是否成立? (2)AE 是否与CD 相等? (3)AE 与CD 之间的夹角为多少度? (4)HB 是否平分AHC ∠? 二、倍长与中点有关的线段 倍长中线类 ?考点说明:凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】 已知:ABC ?中,AM 是中线.求证:1 ()2 AM AB AC <+.

中考专题中线倍长法及截长补短

几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知:如图,△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,求证:AD ﹤2 1 (AB+AC) 分析:要证明AD ﹤ 2 1 (AB+AC),就是证明AB+AC>2AD ,也就是证明两条线段之和大于第三条线段,而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中的三条线段共点,没有构成一个三角形,不能用三角形三边关系定理,因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD 中,出现了2AD ,即中线AD 应该加倍。 证明:延长AD 至E ,使DE=AD ,连CE ,则AE=2AD 。 在△ADB 和△EDC 中, ???? ? AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC ∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中, AC+CE >AE ∴AC+AB >2AD ,即AD ﹤ 2 1 (AB+AC) 小结:(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。 课题练习:ABC ?中,AD 是BAC ∠的平分线,且BD=CD ,求证AB=AC C

例2:中线一倍辅助线作法 △ABC中 方式1:延长AD到 E,AD是BC边中线 使DE=AD, 连接BE 方式2:间接倍长 作CF⊥AD于F,延长MD到N, 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD, 连接BE 连接CD 例3:△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围 例4:已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE 课堂练习:已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于例5:已知:如图,在ABC ?中,AC AB≠, D、E在BC上,且DE=EC,过D作BA DF//交AE于点F, DF=AC. 求证:AE平分BAC ∠ 第 1 题图

倍长中线法(初二)

全等三角形的构造方法---常用辅助线 搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了.下面举例说明几种常见的构造方法,供同学们参考. (一)倍长中线法: 题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内。 例1.如图(1)AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于E ,交AD 于F ,且AE=EF . 求证:AC=BF 证明:延长AD 至H 使DH=AD ,连BH ,∵BD=CD , ∠BDH=∠ADC ,DH=DA , ∴△BDH ≌△CDA ,∴BH=CA ,∠H=∠DAC ,又∵AE=EF , ∴∠DAC=∠AFE ,∵∠AFE=∠BFD ,∴∠AFE= 图(1) ∠BFD=∠DAC=∠H ,∴BF=BH ,∴AC=BF . 小结:涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即倍长中线法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。 中线一倍辅助线作法 △ABC 中 延长AD 到E , AD 是BC 边中线 使DE=AD , 连接BE 作CF ⊥AD 于F ,延长MD 到N , 作BE ⊥AD 使DN=MD , 连接BE 连接CD ,AC=3,求中线中,AB=AC ,D 在交BC 于F ,且课堂练习:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 例4、已知:如图,在ABC ?中,AC AB ≠,D 、E 在BC 交AE 于点F ,DF=AC. 求证:AE 平分BAC ∠ 课堂练习:已知CD=AB ,∠BDA=∠BAD ,AE 是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE 作业: 1、在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线 E A B C D F H

倍长中线+截长补短

倍长中线巧解题 中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线?所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法?丁面举例说明. 一、证明线段不等 例1如图1,在△/!腮中,力〃为腮边上的中线.求证:AB^AO2AD 变式1:如图,点D、E三等分AABC的BC边,求证:AB^AOAD-AE 二、证明线段相等 例2如图2,在中,AH>AC9 E为必边的中点,?仏为ABAC的平分线,过E作月〃的平行线,交AB于F、交以的延长线于G.求证:BWCG. 图2 变式2:如图,D为线段AB的中点,在AB上取异于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连结DE. DF、EF,求证:ADEF为等腫直角三角形 三、求线段的长

例3如图3, △/应中,ZJ=90° , 〃为斜边必的中点,E、F分别为化上的点,且DE1DF,若BES CF4,试求胪的长.(超前班选作) 四、证明线段倍分 例4 如图4, CB、C9分别是钝角△胚C和锐角的中线,且AOAB.求证:CB2CD. 图4 五、证明两直线垂直 例5:如图,ZXABC 中,D 为BC 中点,AB二5, AD二6, AC二13。求证:AB丄AD。 变式:如图5,分别以的边初,胚为一边在三角形外作正方形丽胪和ACGH, H为刖的中点.求证:MA丄BC.

“截长补短法”在几何证明问题中的运用 例1?已知,如图1T,在四边形/仿09中,BQAB、AD-DC.劭平分ZABC. 求证:Z创仍Z〃O180°? 例2?如图2-1, AD//BC.点£在线段/矽上,ZADE二乙CDE、乙DC氐乙ECB. 求证:CD-AD^BC. 例3. 已知,如图3-1, Z1 = Z2, P为鈕'上一点,且PDLBC于点2检BO2BD. 求证:ZBA丹ZBCPX80。. 例4. 已知:如图4-1,在△川%中,乙C=2乙B、Z1 = Z2. 求证:AB-A&CD. 练习: 1、已知,如右图:RtAABC 中,ZC=90° , AC=BC, AD 平分ZBAC.求证:AC+ CD =AB 图1」 图2

倍长中线法(经典例题)2资料讲解

倍长中线法(经典例 题)2

倍长中线法(加倍法) 知识网络详解: 中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线. 所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 倍长中线法的过程:延长某某到某点,使某某等于某某,使什么等于什么(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角) 倍长中线最重要的一点,延长中线一倍,完成SAS全等三角形模型的构造。经典例题讲解: 例1:△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD 例2:已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF, 求证:BD=CE

例3:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长 BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 例4:如图,AD 为ABC ?的中线,DE 平分BDA ∠交AB 于E ,DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证:EF CF BE >+ 第 14 题图 D F C B E A B

例5:已知CD=AB ,∠BDA=∠BAD ,AE 是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE 自检自测: 1 、如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证,AD 平分∠BAE 。 2、在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论. E D A B C F E A B C D

初二数学 倍长中线

全等之倍长中线和截长补短 定 义 示例剖析 倍长中线:即延长三角形的中线,使得延长后的线段是原中线的两倍. 其目的是构造一对对顶的全等三角形; 其本质是转移边和角. E D A B C 其中BD CD =,延长AD 使得DE AD =,则BDE CDA △≌△. 【例1】 已知ABC △中,AD 平分BAC ∠,且BD CD =,求证:AB AC =. 知识互联网 思路导航 例题精讲 题型一:倍长中线 A B C D

【例2】 ⑴如下左图,已知ABC △中,AB AC =,CE 是AB 边上的中线,延长AB 到D , 使BD AB =.给出下列结论:①AD =2AC ;②CD =2CE ;③∠ACE =∠BCD ;④CB 平分∠DCE ,则以上结论正确的是 . ⑵如下右图,在△ABC 中,点D 、E 为边BC 的三等分点,给出下列结论:①BD =DE =EC ;②AB +AE >2AD ;③AD +AC >2AE ;④AB +AC >AD +AE ,则以上结论正确的是 . 【例3】 如图,已知在ABC △中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,AF EF =,求证:AC BE =. 【例4】 在正方形ABCD 中,PQ ⊥BD 于P ,M 为QD 的中点,试探究MP 与MC 的关系. A B P Q P M D C B A 典题精练 E D C B A F E D C B A M E D B E D C B A

定 义 示例剖析 截长:即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 D C B A 在线段AB 上截取AD AC = 补短:即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 A B C D 延长AC ,使得AD AB = 【例5】 在ABC △中,A ∠的平分线交BC 于D ,AB AC CD =+,40B ∠=?,求C ∠的大 小. D C B A 【例6】 如图,在ABC △中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D . 思路导航 例题精讲 典题精练 题型二:截长补短

中线倍长法及截长补短经典讲义

几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知:如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:AD ﹤ 2 1 (AB+ AC) 小结:涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。 例2、中线一倍辅助线作法 △ABC中 方式1:延长AD到E,AD是BC边中线 使DE=AD, 连接BE 方式2:间接倍长 AD于F,延长MD到N, 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD, 连接BE 连接CD 例3、△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围 例4、已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交 BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE 课堂练习:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线, 求证:∠C=∠BAE C

作业: 1、在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论 2、已知:如图,?ABC 中,∠C=90?,CM ⊥AB 于M ,AT 平分∠BAC 交CM 于D ,交BC 于T ,过D 作DE//AB 交BC 于E ,求证:CT=BE. 3:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于 F ,求证:AF=EF (二)截长补短法 教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知,如图1-1,在四边形ABCD 中,BC >AB ,AD =DC ,BD 平分∠ABC .求证:∠BAD +∠BCD =180°. 分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现. 证明:过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ,作DF ⊥BC 于点F ,如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ,∴DE =DF , 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中, ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°,∴∠BAD +∠DCF =180°, 即∠BAD +∠BCD =180°. 例2. 如图2-1,AD ∥BC ,点E 在线段AB 上,∠ADE =∠CDE ,∠DCE =∠ECB . D A B C M T E A B C D 图1-1 F E D C B A 图 1-2

截长补短与倍长中线法证明三角形全等

1 / 2 1、截长补短法证明三角形全等 例1已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 练习1如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 2.已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE 3如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E , CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB . 4在△ABC 中,?=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证: ①ADC ?≌CEB ?;② BE AD DE +=; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. 6.如图,已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD 相等 吗?请说明理由 例2已知,如图1-1,在四边形ABCD 中,BC >AB ,AD =DC ,BD 平分∠ABC . 求证:∠BAD +∠BCD =180°. 例1. 练习已知,如图3-1,∠1=∠2,P 为BN 上一点,且PD ⊥BC 于点D ,AB +BC =2BD . 求证:∠BAP +∠BCP =180°. 2、倍长中线法证三角形全等 例1 、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 练习 1:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值范围 例2.已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE 练习2已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 例3已知:如图,在ABC ?中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,过D 作BA DF //交AE 于点F ,DF=AC. P E D C B A F E C A B D F E D A B C 第 1 题图 A B F A B C D 图1-1 A B C D P 1 2 N 图3-1

数学倍长中线法

倍长中线法 1. 如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,求GF的长 | 2.如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB.求证:①CE=2CD.②CB平分∠DCE. 、 3.如图已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,求证EF=2AD.

4.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC 于点F,求证:∠AEF=∠EAF ? 5..如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BG=CF,求证:AD为△ABC的角平分线. ) 6..如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证,AD平分∠BAE. 7.:已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE

… ¥ 、 9.在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论 ' 10.已知:如图, ABC 中, C=90 ,CM AB 于M ,AT 平分 BAC 交CM 于D ,交BC 于T ,过D 作DE//AB 交BC 于E ,求证:CT=BE. E A B C D A B M 第 1 题图 A B F D E C

! : ^ 12. { G C A D E

倍长中线和截长补短常见题型

完美WORD 格式 专业 知识分享 D C B A 角平分线类 1如图,在ABC ?中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证: AB BD AC +=. D C B A 2如图,在ABC ?中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证: 2B C ∠=∠. D C B A 3如图,ABC ?中,AB=2AC ,AD 平分BAC ∠,且AD=BD ,求证:CD ⊥AC 4如图,在四边形ABCD 中,BC >BA,AD =CD ,BD 平分ABC ∠,求证: 0180=∠+∠C A 5已知ABC ?中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、 CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明. C D B A

2 P Q C B A O E D C B A 6如图,在ABC ?中,60B ∠=?,AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠,且AD 与CE 的交点为F .求证:FE FD =. F B E D C A 7如图,已知在ABC 内,0 60BAC ∠=,040C ∠=,P ,Q 分别在BC ,CA 上,并且AP ,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP 8在ABC ?中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点.求 证:AB AC PB PC ->-. C D B P A 9如图,P 是ABC ?的外角EAC ∠的平分线AD 上的点(不与A 重合)求证:PB PC AB AC +>+

(完整版)初二数学(几何证明Ⅱ:倍长中线法及截长补短法专题B)学科教师版

精锐教育学科教师辅导讲义 年 级:初二 科 目:数学 课时数:3 课 题 几何证明 教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题. 教学内容 【例题讲解】 题型一:截长补短法 【例1】已知:如图,在△ABC 中,2ABC ACB ∠=∠,AD 是BAC ∠的平分线.求证:AB BD AC +=.(根据图中添加的辅助线用两种方法证明) 【提示】截长补短,2种方法‘ 方法一: 方法二: 【例2】已知:如图,在△ABC 中,2AB BC =,∠B =60°.求证:∠ACB =90°.

【提示】截长补短(两种方法) 方法一: 方法二: 【方法总结】当已知(或求证)“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时,通常用截长补短法. 题型二:倍长中线法 【例3】已知三角形的两边长分别为7和9,求第三边上中线长的取值范围. 【提示】倍长中线 【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题(注:有时倍长的并不一定是中线).可以倍长过中点的任意一条线段. 【借题发挥】 1. 已知:如图,DA ⊥AC ,FC ⊥AC ,ADB BDF ∠=∠,CFB DFB ∠=∠.求证:DF AD CF =+. 【提示】截长补短,2种方法

方法一: 方法二: 2.已知:如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,点P在DC边上,且AP AB CP =+.求证:2 BAP BAM ∠=∠. A D C B M P 【提示】截长补短,2种方法 方法一: 方法二:

=.求证:AC=BF. 3.已知:如图,AD为△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE EF 【提示】倍长中线法,2种方法 方法一: 方法二: +=. 4.已知:如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,作DH⊥BC于点H.求证:DC CH BH 【提示】截长补短法,两种方法

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