广东省深圳市高级中学2019届高三12月模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

深圳高级中学2019届高三年级12月模拟考试

理 科 数 学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}

230A x x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则A B = （ ） A ．()2,+∞

B ．()2,3

C ．()3,+∞

D ．(),2-∞

2.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?，“//m β”是“//αβ”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2

+

的离心率为（ ）

A ．

B ．

C ． 或

D ． 或

4．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ） A ．100

11

升 B ．

9011

升 C ．

254

33

升 D ．

201

22

升

5.已知向量a ，b 满足||2a = ，||4b = ，()a a b ⊥+

，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．2

D ．1

6.已知直线430x y a -+=与22:40C x y x ++= 相交于A 、B 两点，且120ACB ∠=?，则实数a 的值为（ ）

A ．3

B ．10 C. 11或21 D ．3或13 7．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）

A ．2

x x y =

B ．22x

y =-

C ．e x

y x =-

D ．|2

|2x y x =﹣

8．若双曲线C ：()222210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线被抛物线2

4y x =

所截得的弦长为

，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．

14

B ．1

C ．2

D ．4

9.函数()()s i n f

x A x

ω?=+（其中0,2

A π

?><）的图像如图所示，为了得到

()c o s 22g x x π?

?=- ???

的图像，只需将()f x 的图像( )

A.向左平移3π个长度单位

B.向右平移3π

个长度单位 C.向左平移6π个长度单位 D.向右平移6

π

个长度单位

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )

A.8+

8+

2+

12

2

4

+

+

11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，则2018S =（ ） A ．1009

3(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183

(21)2

-

12. 若函数2

()ln ln x f x ax x x x

=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )

A. 1(1,

)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1

e e e --- π7π

x

二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知向量a 与b 的夹角为60?，2=a ，3=b ，则32-=a b __________． 14．若tan 3α=，π02α??∈ ???，，则πcos 4α?

?-= ??

?__________．

15．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边

若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．

16.ABC ?中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .D 是BC 边的中点，且AD =

，

8sin a B =，1

cos 4

A =-，则ABC ?面积为 ．

三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （l ）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++ 的

值．

18. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小；

（2）若3

sin sin 8

B C =，且ABC △的面积为a .

19．如图，四棱锥P ABCD -中，

PAD △为正三角形，//AB CD ，2AB CD =，90BAD ∠=?，PA CD ⊥，E 为棱PB 的中点．

（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；

（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为45?，求二面角A DE C --的余弦值．

20．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，有

124P P F F +=，椭圆的离心率为1

2

e =

； （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知()4,0N ，过点N 作直线l 与椭圆交于,A B 不同两点，线段AB 的中垂线为l '，线段AB 的中点为Q 点，记l '与y 轴的交点为M ，求MQ 的取值范围．

21.已知函数2

1()ln(1)2

f x x m x =

+-，其中m R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12

()11

ln 2042f x x -<<．

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C

的参数方程是2cos x y θ

θ

=???

=??（θ为参数），以射线Ox

为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-=．

（1）将曲线C 的参数方程化成普通方程，将直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．

2019届高三年级12月模拟考试理科数学

答 案

1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 10.A 11.A 12,A

8．【解析】双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程不妨设为：0bx ay +=，

与抛物线方程联立，2

04bx ay y x +=??=?，消去y ，得2

40ax bx +=，所以121240

b x x a x x ?

+=-???=?，所以所

=，

化简可得2

4bc a =

，2

bc =，()

222412c a c a -=，42120e e --=，得24e =或3-（舍），所以双曲线C 的离心率2e =．

9.【解析】由图像知1A =，74123T T πππ=-?=，22ππωω=?=

，7()1

12f π

=-

7322122k ππ?π??+=+，2π?<，得3π?=，所以()s i n (2)3f x x π=+，为了得到

()cos 2sin(2)

2g x x x π??=-= ???的图像，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即

可，故选D ．

10.该几何体为如图中的三棱锥C －A 1C 1E ，EC ＝EA 1＝A 1C 三角形EA 1C 的底边A 1C 上的高为： 表面积为：S ＝

12?2?4＋12?2?4＋12??4＋1

2

??8+

11

π7π

x

12.

ln ,(0,)

ln x x

a x x x x

=

-∈+∞-有3个不同解，令ln (),

ln x x g x x x x =

--2222

1ln 1ln ln (1ln )(2ln )

(0,),'(),(ln )(ln )

x x x x x x x g x x x x x x x ----∈+∞=

-=--则当

(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211

'2,(0,),'0,2

x y x y y x x -=-

=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则m i n 11l n 1l n 20,(0,)2

y x =-=+>∈+∞则当时

，恒有2l n 0.'()x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为

(1)1,()g g x =的极大值为1

(),1e g e e e

=

--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1

(1,

)1e e e

--.[答案]A 二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．

13．【解析】2= a ，3=b ，a 与b 的夹角为60?，1

cos602332

?∴?=??=??

=a b a b ， 又2

22329124361233636-=-?+=-?+= a b a a b b ，326∴-=a b ，故答案为6． 14．【解析】由tan 3α=，可得

sin 3cos αα=．又22sin cos 1αα+=，结合π02α??

∈ ???

，，可得

s i n α=

，cos α=．)πcos cos sin 4ααα?

?∴-=+=

??

?．

15．

根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，即

3

4π36π3

R =，3R ∴=，则球心O 到底面等边ABC △得中心O '的距离

2O O

'=O 与高AD 围成的等腰三角形，可得三棱锥的高

2h OO '==2

13V =?．

16.

三．解答题

17．【解析】（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，①·····2分 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②

①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥．·····4分 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=?=，即21n n a =-．·····6分

（2）根据（1）求解知，()

22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．·····7分

又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，

·····9分 所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ ()

()127

107121322272

?+??=

-+++-?? ()7

2121072147212

-?=-+- 2810729=-+11202=．·····12分

18.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=， 即222b c bc a +-=，·····3分

所以2221cos 22

b c a A bc +-==，∴3A π

=.·····6分

（2）由正弦定理

simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a C

c A

=，

所以1sin 2ABC

S bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C

A A A =??2sin sin 2sin a

B

C A

==·····10分

又3sin sin 8B C =

，sin A =2

=4a =.·····12分 19．【解析】（1）取AP 中点F ，连接EF ，DF ．

E 为PB ，//=CD E

F ∴， CDFE ∴为平行四边形，···········2分

//DF CE ∴．

又PAD △为正三角形，PA DF ∴⊥，从而PA CE ⊥，···········3分 又PA CD ⊥，CD CE C = ，PA ∴⊥平面CDE ，···········4分 又PA ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面CDE ．···········5分

（2）//AB CD ，PA CD PA AB ⊥?⊥，又AB AD ⊥，PA AD A = ，AB ∴⊥平面

PAD ．CD ∴⊥平面PAD CPD ?∠为PC 与平面PAD 所成的角，即45CPD ∠=?，

CD AD ∴=．···········7分

以A 为原点，建系如图，设4AD =，则()8,0,0B

，(0,2,P ，()0,4,0D

，

(E ，···········8分

()0,4,0AD =

．设(),,x y z =n 为平面ADE 的法向量，

4z =-

，得)

4=-n ， (10)

分

由（1

）知，(2AP =

为平面CDE 的一个法向量．···········11分

A DE C --

的余弦值为， 即二面角A DE C --

的余弦值为19

-

．······12分 20．【解析】（1）因为124P P F F +=，所以

24a =，所以2a =， 因为1

2

e =

，所以1c =， 所以222413b a c =-=-=， 所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=．·······4分

（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设l ：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，

联立直线与椭圆()

22143

4x y y k x ?==-+

?

???，消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，

21223243

k x x k +=+，2122

6412

43k x x k -=+，·······5分 又(

)

()()2

2223244364120k

k k ?=--+->，解得：11

22

k -<<，·····6分

2

120216243

x x k x k +==+，()00212443k y k x k =-=-+，

所以2221612,4343k k Q k k ??

- ?++??

，

·······7分 所以l '：()001y y x x k

-=--，即222121164343k k y x k k k ??

+=-- ?++??，

化简得：21443

k

y x k k =-

++，·······8分 令0x =，得2443k m k =

+，即2

40,43k M k ?

? ?+??

，·······9分 ()

2

2

2422

2222

161616434343k k k k MQ k k k ??+??=+=? ? ?++????+，·······10分 令2

43t k =+，则[

)3,4t ∈，

所以2

22222

33

231144161616321t t t t MQ t t t t --??+ ???--????=?=?=?-?-?+?? ???????

， 所以[

)0,5MQ ∈．·······12分

21.解：（1）函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x m

f x x x x

-+-=-=--， 10x ->， 令20x x m -+-=，14m ?=-，·····1分

当0?≤，即1

4

m ≥

时，'()0f x ≤，∴()f x 在(,1)-∞上单调递减；·····2分 当0?>，即14m <时，由20x x m -+=

，解得1x =

2x =， 若1

04

m <<

，则121x x <<，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 12(,)x x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；2(,1)x x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；·····3分

若0m ≤，则121x x <≤，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 11(,1)x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；

·····4分 综上所述：0m ≤时，()f x

的单调递减区间为(-∞

，单调递增区间为；

104m <<

时，()f x

的单调递减区间为(-∞

，，单调递增区间

为11(

22

； 1

4

m ≥

时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞．·····5分 （2）因为函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x m

f x x x x

-+-=-=--， ∵函数()f x 存在两个极值点，∴'()0f x =在(,1)-∞上有两个不等实根1x ，2x ，

记2

()g x x x m =-+-，则140,

11,2(1)

(1)0,

m g ??=->?

?-

从而由1212

1,,x x x x m +=??=?且12x x <，可得11(0,)2x ∈，21

(,1)2x ∈，·····7分

∴2

2111122221ln(1)

()12ln(1)2x m x f x x m x x x x x +-==?+-211111

ln(1)2(1)

x x x x =?+--，·8分 构造函数2()ln(1)2(1)x x x x x ?=+--，1(0,)2x ∈，

则22

22

2'()ln(1)ln(1)2(1)12(1)x x x x x x x x x x ?-=+--=+----，

记22

()ln(1)2(1)x p x x x =+--，1

(0,)2x ∈，则231'()(1)3

x x p x x h -+-=-， 令'()0p x =

，得01(0,)2x =

（1

2

x =>，故舍去）

， ∴()p x 在0(0,)x 上单调递减，在01

(,)2

x 上单调递增，·····10分 又(0)0p =，1

1

()ln 2022

p =

-<， ∴当1(0,)2

x ∈时，恒有()0p x <，即'()0x ?<， ∴()x ?在1(0,)2上单调递减，∴1()()(0)2x ???<<，即11

ln 2()042

x ?-<<， ∴

12

()11

ln 2042f x x -<<．

·····12分 22．【解析】（1）曲线C 的参数方程化成直角坐标方程为22

143

x y +=，·····2分 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l

的直角坐标方程为0x y -=．·····4分 （2）直线l 的倾斜角为

4

π

，过点， 所以直线l

化成参数方程为cos 4sin 4x t y t π?

=???π?=??

，即2x y ?=????=??，

（t 为参数），5分

代入22

143

x y +=

得，2760t +-=

，247(6)3840?-??-=>，

设方程的两根是1t ，2t ，则127

t t +=-

，1267t t =-，·····8分

所以12AB t t =-===

．·····10分