2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练:四数列专题能力训练12(含答案)
专题能力训练12数列的通项与求和
一、能力突破训练
1.已知数列{a n}是等差数列,a1=tan 225°,a5=13a1,设S n为数列{(-1)n a n}的前n项和,则S2 016=()
A. 2 016
B.-2 016
C.3 024
D.-3 024
2.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,数列{b n}满足b n=(n∈N*),T n是数列{b n}的前n项和,则T9等于()
A. B. C. D.
3.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n-1,则a3+a17=()
A.15
B.17
C.34
D.398
4.已知函数f(x)满足f(x+1)= +f(x)(x∈R),且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()
A.305
B.315
C.325
D.335
5.已知数列{a n},构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,…,a n-a n-1,…,此数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列{a n}的通项公式为()
A.a n=,n∈N*
B.a n=,n∈N*
C.a n=
D.a n=1,n∈N*
6.植树节,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 m.
7.数列{a n}满足a n+1=,a11=2,则a1=.
8.数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2n+5,n∈N*,则a n=.
9.设数列{a n}的前n项和为S n.已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.
(1)求通项公式a n;
(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和.
10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
11.已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).
(1)求a n与b n;
(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.
二、思维提升训练
12.给出数列,…,,…, ,…,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是()
A.4 900
B.4 901
C.5 000
D.5 001
13.设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=.
14.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=3S n-S n+1+3,n∈N*.
(1)证明:a n+2=3a n;
(2)求S n.
15.已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且,S6=63.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.
16.已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.
(1)求q的值和{a n}的通项公式;
(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.
专题能力训练12数列的通项与求和
一、能力突破训练
1.C解析∵a1=tan 225°=1,∴a5=13a1=13,则公差d==3,∴a n=3n-
2.
又(-1)n a n=(-1)n(3n-2),
∴S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.
2.D解析∵数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,
∴当n=1时,a1=2;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n,
∴a n=2n(n∈N*),
∴b n=,
T9=+…+.
3.C解析∵S n=n2-2n-1,
∴a1=S1=12-2-1=-2.
当n≥2时,
a n=S n-S n-1
=n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1]
=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1
=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.
∴a n=
∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34.
4.D解析∵f(1)=,f(2)=,
f(3)=,……,
f(n)=+f(n-1),
∴{f(n)}是以为首项,为公差的等差数列.
∴S20=20×=335.
5.A解析因为数列a1,a2-a1,a3-a2,…,a n-a n-1,…是首项为1,公比为的等比数列,
所以a n-a n-1=,n≥2.
所以当n≥2时,
a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)
=1++…+
=.
又当n=1时,a n==1,
则a n=,n∈N*.
6.2 000解析设放在第x个坑边,则S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|).
由式子的对称性讨论,当x=10或11时,S=2 000.
当x=9或12时,S=20×102=2 040;……
当x=1或19时,S=3 800.
∴S min=2 000 m.
7.解析由a11=2及a n+1=,得a10=.
同理a9=-1,a8=2,a7=,….
所以数列{a n}是周期为3的数列.所以a1=a10=.
8.解析在a1+a2+…+a n=2n+5中用(n-1)代换n得a1+a2+…+a n-1=2(n-1)+5(n≥2),两式相减,得a n=2,a n=2n+1,又a1=7,即a1=14,故a n=
9.解(1)由题意得
又当n≥2时,由a n+1-a n=(2S n+1)-(2S n-1+1)=2a n,
得a n+1=3a n.
所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.
(2)设b n=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故b n=3n-1-n-2,n≥3.
设数列{b n}的前n项和为T n,则T1=2,T2=3.
当n≥3时,T n=3+,
所以T n=
10.解设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,
则a n=-1+(n-1)d,b n=q n-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②
联立①和②解得(舍去),
因此{b n}的通项公式为b n=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,
解得q=-5或q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
11.解(1)由a1=2,a n+1=2a n,
得a n=2n(n∈N*).
由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.
当n≥2时,b n=b n+1-b n,
整理得,所以b n=n(n∈N*).
(2)由(1)知a n b n=n·2n,
因此T n=2+2·22+3·23+…+n·2n,
2T n=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,
所以T n-2T n=2+22+23+…+2n-n·2n+1.
故T n=(n-1)2n+1+2(n∈N*).
二、思维提升训练
12.B解析根据条件找规律,第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母的和为6,……,第50个1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有1项,分子、分母的和为3的有2项,分子、分母的和为4的有3项,……,分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次
是:,……,,…,,第50个1是其中第50项,在数列中的序号为1+2+3+…+98+50=+50=4 901.
13.-解析由a n+1=S n+1-S n=S n S n+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,∴=-n,∴S n=-.
14.(1)证明由条件,对任意n∈N*,有a n+2=3S n-S n+1+3,
因而对任意n∈N*,n≥2,有a n+1=3S n-1-S n+3.
两式相减,得a n+2-a n+1=3a n-a n+1,即a n+2=3a n,n≥2.
又a1=1,a2=2,
所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,
故对一切n∈N*,a n+2=3a n.
(2)解由(1)知,a n≠0,所以=3,于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.
因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
于是S2n=a1+a2+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)
=3(1+3+…+3n-1)=,
从而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2-1).
综上所述,S n=
15.解(1)设数列{a n}的公比为q.由已知,有,解得q=2或q=-1.
又由S6=a1·=63,知q≠-1,
所以a1·=63,得a1=1.所以a n=2n-1.
(2)由题意,得b n=(log2a n+log2a n+1)=(log22n-1+log22n)=n-,
即{b n}是首项为,公差为1的等差数列.
设数列{(-1)n}的前n项和为T n,则T2n=(-)+(-)+…+(-
)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.
16.解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,
所以a2(q-1)=a3(q-1).
又因为q≠1,故a3=a2=2,
由a3=a1·q,得q=2.
当n=2k-1(k∈N*)时,a n=a2k-1=2k-1=;
当n=2k(k∈N*)时,a n=a2k=2k=.
所以,{a n}的通项公式为a n=
(2)由(1)得b n=.设{b n}的前n项和为S n,则S n=1×+2×+3×+…+(n-
1)×+n×,
S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,
上述两式相减,得S n=1++…+=2-,整理得,S n=4-.
所以,数列{b n}的前n项和为4-,n∈N*.
2019年高考数学试题带答案
2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1.已知二面角l αβ--的大小为60°,b 和c 是两条异面直线,且,b c αβ⊥⊥,则b 与 c 所成的角的大小为( ) A .120° B .90° C .60° D .30° 2.设集合(){} 2log 10M x x =-<,集合{ } 2N x x =≥-,则M N ?=( ) A .{} 22x x -≤< B .{} 2x x ≥- C .{}2x x < D .{} 12x x ≤< 3.如图所示的组合体,其结构特征是( ) A .由两个圆锥组合成的 B .由两个圆柱组合成的 C .由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D .由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 5.已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点,12F F , 为双曲线C 的左、右焦点,若112PF F F =,且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切,则C 的渐近线方程为( ) A .43y x =± B .34 y x =? C .3 5 y x =± D .53 y x =± 6.在△ABC 中,a =5,b =3,则sin A :sin B 的值是( ) A . 53 B . 35 C . 37 D . 57 7.圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2:x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12=0的公共弦的长为( ) A 2B 3 C .22 D .328.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为( ).