2018届河北省武邑中学高三下学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析:先化简集合A，再求.

详解：由题得={x|-2＜x＜3，x∈N}={-1,0,1,2},

所以.

点睛：本题主要考查集合的化简和集合的交集运算. 在解不等式时，最好把它变成

再解答，同时要注意N表示的是自然数，包括零.

2. 已知实数满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：先利用复数的运算化简已知，再根据复数相等的概念求m,n，最后求出m+n的值.

详解：由题得4m+2n+(4n-2m)i=5+3i,

∴4m+2n=5,且4n-2m=3，

解之得

所以m+n=.

故选A.

点睛：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，属于基础题.在计算时，要细心，不要计算出错.

3. 给出下列命题：

①已知，“且”是“”的充分条件；

②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；

③已知，“”是“”的充分不必要条件；

④命题：“，使且”的否定为：“，都有且”.其

中正确命题的个数是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】C

【解析】分析：利用充分条件必要条件充要条件的定义逐一判断每个选项，即得正确选项.

详解：①由a＞1且b＞1?ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，

因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，所以该命题正确；

②平面向量，||＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），

则|+|=1，因此|+|＞1不成立．反之取==，

则||＞1，||＞1不成立，

∴平面向量，||＞1，||＞1是“|+|＞1”的既不必要也不充分条件；

③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），

满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，

一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，

但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，

因此正确；

④命题P：“?x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为?p：“?x∈R，都有e x＜x+1或lnx

＞x﹣1”，因此不正确．

其中正确命题的个数是2．

故选C．

点睛：本题考查了不等式的选择与解法、平行向量有关性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在判断命题的真假时，要注意灵活，要说明它是假命题，可以证明，也可以举反例.

4. 若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（）

A. 6个

B. 4个

C. 3个

D. 2个

【答案】B

【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求．

详解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），

故函数的周期为2．

当x∈[0，1]时，f（x）=x，

故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．

因为函数y=f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．

在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：

显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，

故选B．

点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．判断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；

（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.

5. 设函数，其中常数满足.若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意得

，

∵函数为偶函数，

∴．

又，

∴．选A．

6. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.

详解：依次执行程序框图中的程序，可得：

①，满足条件，继续运行；

②，满足条件，继续运行；

③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．

故选C．

点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.

7. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为

A. 08

B. 07

C. 02

D. 01

【答案】D

【解析】试题分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20

的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．

可知对应的数值为08，02，14，07，01，

则第5个个体的编号为01

考点：随机抽样

8. 已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（）

A. 15

B. 9

C. 1

D.

【答案】B

【解析】由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，

将点坐标代入直线和圆的方程，有，第一个式子两边平方后，代入第二个式子，化简得，二次函数对称轴为，且开口向上，根据可知当时，有最大值为,

点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查二次函数求最值的方法，其中二次函数的定义域是有范围的.由于直线和圆有交点，故圆心到直线的距离不大于半径，由此可求得的取值范围.再将点坐标代入两个曲线的方程，化简出关于的表达式，最后利用二次函数求最值的方法求得最大值.

9. 若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

若a=0，则不等式x+ay+2?0等价为x??2，此时不满足条件，

若a>0,则不等式等价为,直线的斜率,此时区域都在直线的上方，不满足条件。

若a<0,则不等式等价为,直线的斜率，

若平面区域存在点(x0,y0),使x0+ay0+2?0成立，

则只要满足点A(0,2)满足条件不等式此时区域都在直线的上方即可。

即0+2a +2?0，解得a ??1， 本题选择A 选项.

点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．

10. 北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ）

A. 25

B. 32

C. 60

D. 100

【答案】C

【解析】试题分析：号、号与

号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6

小时，有

种选法，都比24大时，有

种选法，合计30种选法，号、号与

在选厅时

有两种选法，所以选取的种数共有种，故正确选项为C.

考点：组合与排列的概念. 11. 已知在

中，两直角边

，

，是内一点，且，设

，则

（ ）

A.

B.

C. 3

D.

【答案】A

【解析】分析：建立平面直角坐标系，分别写出B 、C 点坐标，由于∠DAB=60°，设D 点坐标

为（m ，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．

详解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），

因为∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），

=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，

则．

故选A．

点睛：本题主要考察平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，属于中档题．

12. 已知函数的定义域为，若对于分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：

①；②；③；④.其中为“三角形函数”的个数

是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【解析】分析：利用“三角形函数”的定义，分别判断所给的四个函数，能求出结果找到答案．详解：对于①，f（x）=lnx（e2≤x≤e3），

对于?a，b，c∈[e2，e3]，f（a），f（b），f（c）∈[2，3]，

∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，故①是“三角形函数”；

在②中，f（x）=4﹣cosx，对于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[3，5]，

∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，故②是“三角形函数”；

在③中，，对于?a，b，c∈（1，4），f（a），f（b），f（c）∈（1，2），∴f（a），f（b），f（c）为某个三角形的边长，故③是“三角形函数”；

在④中，，是一个定义域内的增函数，对于?a，b，c∈D，f

（a），f（b），f（c）∈（0，1），

∴f（a），f（b），f（c）不一定是某个三角形的边长，如：f(a)=0.1, f(b)=0.1 f(c)=0.8最短两边之和小于第三边，故④不是“三角形函数”．

故选C．

点睛：本题考查“三角形函数”的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．对于这种定义题，一定要首先全面理解新定义，再利用新定义分析解答数学问题.

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 若满足约束条件，则的最小值是______.

【答案】

【解析】根据约束条件，做出可行域，如下图：

从图中可以看出直线在可行域内移动，当直线经过点，取最大值，为

故答案为

14. 若的展开式中的系数是80，则实数的值是_______.

【答案】2

【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3?（-1）2=10a3x3=80x3，

则实数a的值是2，

15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为_______.

【答案】

【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥．

∵正方体的棱长为2，

∴,

∴，

∴该几何体的表面积为．

答案：

16. 若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得

的最大值为0，则称函数是“柯西函数”.

给出下列函数：

①；②；③；④.

其中是“柯西函数”的为_____.

【答案】①④

【解析】

设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（

三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．

对于①，函数图象上不存在满足题意的点；

对于②，函数图象上存在满足题意的点；

对于③，函数图象上存在满足题意的点；

对于④，函数图象不存在满足题意的点．

图① 图② 图③ 图④

故函数①④是“柯西函数”．

答案：①④

点睛：

（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．

（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．

三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，证明：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）利用项和公式求数列的通项公式.（2）先求出，再裂项求和，再证明不等式. 详解：(1)当时，有，解得，

当时，有，则

整理得

∴数列是以为公比，以为首项的等比数列

∴.

（2）由（1）有，则