第五章多元统计课件

第五章 假设检验与区间估计

5.1 假设检验概述

假设检验问题是统计推断的一类重要问题。在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况，为了推断总体的某些求知特征，提出某些关于总体的假设。例如，提出总体服从正态分布的假设，又如，对于正态总体提出数据等于一个常数的假设等。我们可以根据样本对所提出的假设作出是接受，还是拒绝的决策。假设检验是作出这一决策的过程。

一、假设检验的步骤

处理假设检验的步骤如下： 1、根据实际问题的要求，提出原假设（Null Hypothesis ）和备择假设（Alternative Hypothesis ）。 2、给定显著性水平α以及样本容量n 。 3、确定检验统计量以及拒绝域的形式。

4、按照00(|P H H α≤拒绝为真)求出拒绝域。

5、取样，根据样本观测值作出决策，是接受原假设还是拒绝原假设。

二、假设检验的基本概念

1、两类错误

假设检验是根据一定概率显著水平对总体特征进行推断。否定了原假设，并不等于已证明原假设不真；接受了原假设，也不等于已证明原假设是真实的。

0H 0H 0H 0H 原假设在客观上只有两种可能性：真、假。样本值0H 12(,,,)n x x x 也只有两种可能性：属于拒绝域C、不属于拒绝域C。则在观察到样本值12(,,,)n x x x 时只可能有下列四种情况：

(1) 原假设为真，而样本值0H 12(,,,)n x x x 属于拒绝域C； (2) 原假设为真，而样本值0H 12(,,,)n x x x 不属于拒绝域C； (3) 原假设为假，而样本值0H 12(,,,)n x x x 属于拒绝域C； (4) 原假设为假，而样本值0H 12(,,,)n x x x 不属于拒绝域C；

显然在（2）、（3）情形下，对原假设的表态与客观实际相符。而在（1）、（4）情形下，表态犯了错误，即与客观实际不符。在情形（1）下出现的错误是把本来真实的看法进行了否定，这种“以真为假”的错误叫做第一类错误。在情形（4）下出现的错误是把本来虚假的看法接受下来，这种“以假为真”的错误叫做第二类错误。由于样本值有随机性，这两类错误一般难以避免。

0H 0H 0H 2、检验统计量

在参数假设检验中，用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。在具体问题里，选择什么统计量作为检验统计量，需要考虑的因素与参数估计相同。

3、显著性检验

在描述假设检验时涉及在一个事先指定的显著性水平值α下拒绝原假设或不拒绝原假设，这

SAS 统计分析

就意味着要判断原假设的正确性。但在有些情况下，可以用P 值作为描述否定原假设的一个概括性度量。

P 值介于0和1之间。P 值越小越对原假设的真实性产生怀疑。如果（较小的）P 值表明统计量的值不可能合理地偶然取得，则应拒绝原假设；如果（较大的）P 值表明统计量的值在原假设 为真的条件下可能偶然地取到，就不能拒绝原假设（并不指可以接受原假设）。

检验法则：给定显著性水平值α（通常取为0.01,0.05,0.10），若P 值小于α，则拒绝原假设，否则表明没有充分的理由拒绝原假设。

通常的方法：先由显著性水平值和检验统计量确定一个拒绝域，若样本落在拒绝域内，则拒绝原假设。

4、参数方法与非参数方法

许多统计方法依赖于样本是来自正态分布总体的假设，而有些检验方法又依赖于样本来自其他分布的假设。这种依赖于某种分布假设的统计方法通常称为参数检验方法。

还有一些统计方法并不需要假设数据的分布类型这种不依赖数据分布类型的统计方法通常称为非参数检验方法。

5.2 正态性检验

一、正态分布

在实际中，随机变量的规律性有很多都可以用正态分布来描述。正态分布是总体的一种理论分布，由高斯（Gauss ）首先提出的。

设连续型随机变量X 的概率密谋函数为

2

()=p x ， 其中,(0)μσσ>为常数，则称随机变量X 服从参数为,μσ的正态分布或高斯分布，记为

2(,)μσ～X N 。当0,1μσ==时称X 服从标准正态分布，记为。

(0,1)～X N

图5.1 正态概率密度函数图与经验法则

正态分布具有下面的一些性质：

假设检验与区间估计

(1) μ是位置参数，反映分布的具体位置；σ是刻度参数，反映分布的形状与大小，又称为形状参数。

(2) 正态分布的概率密度函数图是中间高、两边低、对称、光滑的“钟形”曲线。 (3) 正态分布的位置特征量均值、众数和中位数相等。

(4) 正态分布的偏度（Skewness ）与峰度（Kurtosis ）均为0。偏度是刻画总体分布是否对称，若偏度大于0，分布呈右偏的，若偏度小于0，分布呈左偏；峰度用于衡量分布的尾部轻重的特征量，若峰度大于0，分布呈重尾特征，若峰度小于，分布呈轻尾特征。

(5) 设2

(,)μσ～X N ，则

()68.26%μσμσ?<<+=P X ，即约的值落在距68%μ一个标准差σ的范围内。 (22)95.44%μσμσ?<<+=P X ，即约95%的值落在距μ两个标准差σ的范围内。 (33)99.74%μσμσ?<<+=P X ，即99%以上的值落在距μ三个标准差σ的范围内。 可以看出，尽管正态变量的取值范围是(,)?∞∞，但它的值落在(3,3)μσμσ?+内几乎是肯定的事。这就是人们常说的“3σ”法则，又称为经验法则。

二、正态性检验概述

正态性检验的方法有很多种，主要有：分布的拟合优度检验（卡方检验法与柯氏检验法）、直方图、偏峰检验法、QQ 图和PP 图检验法、W 检验法或经验分布函数的另一些检验法。还有稳定化PP 图也可进行分布的拟合检验。

在SAS 系统中，UNIV ARIATE 过程中，当样本容量小于2000时，SAS 还利用Shapiro-Wilks 的W 统计量来检验正态性。W 统计量是基于次序统计量线性组合平方的方差最优估计与通常校正平方和估计之比（介于0与1之间）。当样本来自正态总体，由样本构造的W 统计量的值应接近于1。W 的值过小是一种极端的情况，W 的值越小，则越表明数据不是来正态总体；Prob

时，采用Kolmogorov-Smirnov 的D 统计量，另外还有Cramer-von Mises 的W-Sq 统计量和

Anderson-Darling 的A-Sq 统计量。判断方法同W 统计量。

2000正态性检验可以用UNIV ARIATE 过程，其后加上选项NORMAL 。 语句格式为 PROC

UNIV ARIATE V AR DATA ＝数据集名 NORMAL; 变量名;

运行上述过程生一些描述性统计量的值以及四个检验统计量的值及相应的P 值。

三、正态性的其它检验方法

1、偏度和峰度

依据正态分布的偏度和峰度均为0进行判定。 2、正态概率图

根据样本点在正态概率图（纸）上是否落在一条直线上进行判定。图中加号（＋）均成一条直线，星号代表样本点。如果一个样本来自正态分布，则星号构成一条直线，因而将覆盖大多数的加号。正态概率图上加号越多，则认为样本值的分布偏离正态分布程度越大。（四种偏离情况：重尾，轻尾，左偏，右偏）。茎叶图及盒状图同样可以用于正态性的简单判定。

语句格式为： PROC

UNIV ARIATE V AR DATA ＝数据集名 PLOT; 变量名;

3、直方图（条形图）

根据正态分布的概率密度呈钟形进行判定。

SAS统计分析语句格式为：

PROC GCHART

VBAR DATA＝数据集名;变量名;

四、应用举例

例5.1：男子头颅的最大宽度的正态性检验

数据行中给出了84个伊特拉斯坎（Etruscan）人男子的头颅的最大宽度（mm）的数据，试

检验这些数据是否来自正态分布（取0.1

α=）。

SAS程序为：

data ch5_1;

input width @@;

cards;

141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148

144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142

141 140 145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154

137 139 143 140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144

141 143 147 146 150 132 142 142 143 153 149 146 149 138

142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 140 137 152 145

;

proc univariate data=ch5_1 normal;

var width;

proc univariate data=ch5_1 plot;

var width;

proc gchart data=ch5_1;

vbar width/levels=12;

run;

程序说明：第首先建立SAS数据集ch5_1，第一个UNIV ARIATE过程使用了选项NORMAL

表示进行正态性检验。第二个UNIV ARIATE过程使用了选项PLOT，表示可输出茎叶图、盒形图

和概率图。最后一个过程是GPLOT过程可输出直方图。

输出5.1.1 由UNIV ARIATE过程的NORMAL选项得到的正态性检验

正态性检验

检验 ----统计量---- -------P 值-------

Shapiro-Wilk W 0.98901 Pr < W 0.7023

Kolmogorov-Smirnov D 0.085098 Pr > D 0.1364

Cramer-von Mises W-Sq 0.055499 Pr > W-Sq >0.2500

Anderson-Darling A-Sq 0.335623 Pr > A-Sq >0.2500

输出分析：第一个UNIV ARIATE过程加了选项NORMAL给出了正态性检验的统计量方法，可以输出四个检验统计量及相应的P值，从P值来看，四个值均大于给定的显著性水平值0.1

α=，故不能拒绝原假设，即该数据是来自正态分布的。第二UNIV ARIATE过程加了选项PLOT，给出了正态性检验的正态概率图，从图形可以看出基本呈一条直线，可以认为数据是服从正态分布的。最后使用了GCHART过程得到的直方图，结论也是一致的。

假设检验与区间估计

输出5.1.2 由UNIV ARIATE 过程的PLOT 选项得到的正态概率图

输出5.1.3 由GCHART 过程得到的直方图

5.3 单样本的t 检验

一、单样本的t 检验

设总体2

~(,)μσX N ，其中2

,μσ未知，假设检验问题为：

001:,:0μμμ=≠H H μ

不妨设00μ=，当00μ≠时，令0(1,2,,)μ=?=

i i y x i n 。假设12(,,,)n x x x 是来自正

态总体X 的样本值，

使用统计量(1)=?～T t n t 作为检验统计量。由样本值计算统计量值

SAS 统计分析

及相应的P 值：(||||)=>P P T t 。并根据P 值的大小来判断以上的假设是否成立。当P 值小于显著性水平值α，则应否定以上的假设，即总体均值与0有显著性差异。否则认为总体均值μ与0没有显著性差异。利用SAS 进行t 检验主要有以下三种方法：

方法1：采用MEANS 过程 语句格式为： PROC

MEANS V AR

DATA=数据集名 MEAN STD STDERR PRT CLM; 变量名；

方法2：采用UNIV ARIATE 过程

语句格式为： PROC

UNIV ARIATE V AR

DATA=数据集名; 变量名；

方法2：采用TTEST 过程 语句格式为： PROC TTEST V AR DATA=数据集名; 变量名；

二、应用举例

例5.2：某种元件的寿命X （以小时计）服从正态分布，现测得16只元件的寿命如下：

159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170

问是否有理由认为元件的平均寿命等于225 (显著性水平值α为0.05)？

SAS 程序为： data ch5_2;

input x @@; y=x-225; cards ;

159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 ;

proc means data =ch5_2 mean std stderr prt; var y ;

proc univariate data =ch5_2;

var y;

proc ttest data =ch5_2; var y; run ;

输出5.2.1 由MEANS 过程得到的检验

MEANS 过程 分析变量：y

均值 标准偏差 标准误差 Pr > |t|

-------------------------------------------------------- 16.5000000 98.7258831 24.6814708 0.5140 --------------------------------------------------------

假设检验与区间估计

输出5.2.2 由UNIV ARTIATE 过程得到的检验

UNIVARIATE 过程 位置检验: Mu0=0

检验 --统计量--- -------P 值------- 学生 t t 0.668518 Pr > |t| 0.5140 符号 M -1 Pr >= |M| 0.8036

符号秩 S 0.5 Pr >= |S| 0.9904

输出5.2.3 由TTEST 过程得到的检验

The TTEST Procedure

T-Tests

Variable DF t Value Pr > |t| y 15 0.67 0.5140

输出分析：由输出5.2.1可以看出P 值为0.5140，故平均寿命与225无显著性差异，由输出5.2.2和输出5.2.3得到的结论也是一致的。

5.4 两样本比较的统计检验

在进行两样本的统计检验之前，先做几件事情：

(1) 用第四章中讲述的一些描述性统计分析SAS 过程（如MEANS ，UNIV ARIATE ，CHART ）对两个样本进行概括和比较，以得出一个初步的结论：是否有差异。

(2) 确定两个样本是独立组还是成对组。 (3) 确定正态性是否满足。

在此基础上确定用什么统计量、哪一个SAS 过程去进行统计检验。概括起来有四种检验统计量。

表5.1 进行两组比较的统计检验

独立组 成对组 参数检验 (正态假设下) 两样本t 检验

成对差值t 检验

检验的类型

非参数检验 (非正态下)

Wilcoxon 秩和检验

Wilcoxon 符号秩检验

一、两(独立)样本的t 检验

设2

2

12~(,),~(,)X N Y N μσμσ，其中2

12,,μμσ

均未知，假设检验问题为：

012112:,:H H μμδμμδ?=?≠，δ为已知常数

假设12(,,,)n x x x 和12(,,,)n y y y 分别是来自正态总体X

和Y 的样本值，使用t 统计量

T =22

21112)n n ?+22(1(1)2w n S n S S ?=

+?，w S =。当为真时，。与单个总体的t 检验类似，我们可以得到相应的P 值。

0H 12~(2)T t n n +?

SAS统计分析

两样本的t检验用于比较两个独立组的均值是否相等的一种参数检验，需要下面的三个假设：观测是独立的；每组的观测来自正态总体；两个独立组的方差（未知但相等）。若上述假设均满足，则可采用PROC TTEST进行两样本的t检验。

语句格式为：

PROC TTEST

CLASS

V AR DATA=数据集名;变量名;

变量名;

例5.3：下表分别给出两个文学家马克·吐温（Mark Twain）的8篇小品文和斯诺特格拉斯（Snodgrass ）的10篇小品文中由3个字母组成词的比例。

Mark Twain 0.225 0.262 0.2170.2400.2300.2290.2350.217 Snodgrass 0.209 0.205 0.1960.2100.2020.2070.2240.223 0.220 0.201

设两组数据分别来自正态总体，两样本相互独立。问两个作家所写的小品文中包含3个字母组成 的词的比例是否有显著性差异(显著性水平值取为0.05)？

SAS程序为：

data ch5_3;

do i=1to2;

input n;

do j=1to n;

input x @@;

output;

end;

end;

cards;

8

0.225 0.262 0.217 0.240 0.230 0.229 0.235 0.217

10

0.209 0.205 0.196 0.210 0.202

0.207 0.224 0.223 0.220 0.201

;

proc ttest data=ch5_3;

class i;

var x ;

run;

输出5.3.1 由TTEST过程得到的t检验

The TTEST Procedure

T-Tests

Variable Method Variances DF t Value Pr > |t|

x Pooled Equal 16 3.88 0.0013

x Satterthwaite Unequal 11.7 3.70 0.0032

假设检验与区间估计

输出5.3.2 由TTEST过程得到的方差齐性检验

Equality of Variances

Variable Method Num DF Den DF F Value Pr > F

x Folded F 7 9 2.27 0.2501

输出分析：由输出5.3.2给出了方差齐性检验，由于方差齐性检验的P值0.2501大于0.01，故认为两样本的方差相等，因而采用上面一行适合于两样本方差相等的T值，自由度DF和P值判别，由于P值0.0013大于0.01，故两样本的均值有显著差异，也即两个作家所写的小品文中3个字母组成的词的比例有显著性差异。如果方差齐性检验不能通过，则改用Unequal一行的近似t检验。

二、成对差值的t检验和Wilcoxon符号秩检验

有时为了比较两种产品，或两种仪器、两种方法等的差异，我们常在相同的条件下作对比试验，得到一批成对的观察值。然后分析观察数据作为推断。这种方法常称为逐对比较法。

成对差值的t检验是比较成对组的一种参数检验。一般假定：差值来自正态总体(方差未知)；每对观测与其他对观测独立。此两个假设与单样本t检验的假设相同，因此成对数据(组)的比较利用它们的差值将问题转化为单样本的t检验问题。单样本的t检验直接用于对对组的检验，即可用MEANS过程、UNIV ARIATE过程或TTEST过程进行。

Wilcoxon符号秩检验是类似于成对差值t检验的一种非参数检验。Wilcoxon符号秩检验假设每对观测与其他对观测独立。Wilcoxon符号秩检验由UNIV ARIATE过程自动进行。一般地，要解释Wilcoxon符号秩检验的输出结果，看Pr >= |S|后面给出的值。如果此值小于给定的显著性水平，结论为两组有显著性差异，如果此P值大于显著性水平，结论是两组样本差异不明显例5.4：随机地选8个人，分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高（cm），得到以下数据：

序号 1 2 345 6 7 8早上 172168 180181160163 165 177晚上 172167 177179159161 166 175设各对数据的差是来自正态总体的样本，问是否可以认为早上的身高比晚上的身高要高（取显著性水平值α为0.05）？

SAS程序为：

data ch5_4;

input x y @@;

d=x-y;

cards;

172 172 168 167 180 177 181 179

160 159 163 161 165 166 166 175

;

proc means data=ch5_4 mean std stderr t prt;

var d;

proc univariate data=ch5_4;

var d;

proc ttest data=ch5_4;

var d;

run;

SAS统计分析

输出5.4.1 由MEANS过程得到的t检验

MEANS 过程

分析变量：d

均值 标准偏差 标准误差 t 值 Pr > |t|

-------------------------------------------------------------------

1.2500000 1.2817399 0.4531635

2.76 0.0282

-------------------------------------------------------------------

输出分析：输出5.4.1至输出5.4.3容易看出学生t检验的P值（Pr > |t|）为0.0282<0.05，故认为早上的身高与晚上的身高有显著性差异。而Wilcoxon符号秩检验的P值为0.0625，即早上的身高与晚上的身高无显著性差异。

输出5.4.2 由UNIV ARIATE过程得到的t检验

UNIVARIATE 过程

变量: d

位置检验: Mu0=0

检验 --统计量--- -------P 值-------

学生 t t 2.758386 Pr > |t| 0.0282

符号 M 2.5 Pr >= |M| 0.1250

符号秩 S 12 Pr >= |S| 0.0625

输出5.4.3 由TTEST过程得到的t检验

The TTEST Procedure

T-Tests

Variable DF t Value Pr > |t|

d 7 2.76 0.0282

三、两(独立)样本的Wilcoxon秩和检验

两样本的Wilcoxon秩和检验用于比较两个独立组的一种非参数检验(又称Mann-Whitney U 检验)。此检验只需假定观测独立(正态性假设并不满足)。

NPAR1WAY过程是一个单因素的非参数过程，它分析变量的秩，计算几个相应的统计量，并检验一个变量的分布在不同组中具有相同的位置参数，或者检验在不同组中的变量具有相同的分布。NPAR1WAY过程要求数据是独立组的。

1、语句格式

PROC NPAY1WAY

CLASS

V AR

BY 选项;

变量名; 变量名; 变量名;

2、语句说明

(1) 选项

DATA=数据集名：指定分析数据集名。

Wilcoxon：对数据进行Wilcoxon的秩和检验。对于两水平，即为wilcoxon的秩和检验；对于多水平，这是一个Kruskal-Wallis检验。

(2) CLASS语句

假设检验与区间估计

这个语句是必须的，它指定一个且只能指定一个分类变量。该变量用来识别数据中的各个类。Class变量可以数值变量，也可以是字符变量。

(3) BY语句

这个语句用来得到由BY变量定义的不同的观测组，并用NPAR1WAY过程分别进行分析。当然，使用BY变量之前，数据集需要先按BY变量排序。

(4) V AR语句

该语句命名要分析的响应变量或自变量。如果省略，则过程分析数据集中所有数值变量，除了CLASS变量以外。

例5.5：某机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽若干个样品测量零件尺寸，得到如下数据：

第一台机器：6.2 5.7 6.5 6.0 6.6 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0

第二台机器：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5

α=）？

问这两台机器的加工精度是否有显著性差异（显著性水平值0.05

SAS程序为：

data ch5_5;

input engine$ x @@;

cards;

1 6.

2 1 5.7 1 6.5 1 6.0 1 6.6 1 6.

3 1 5.8 1 5.7 1 6.0 1 6.0 1 5.8

1 6.0

2 5.6 2 5.9 2 5.6 2 5.7 2 5.8 2 6.0 2 5.5 2 5.7 2 5.5

;

proc npar1way data=ch5_5 wilcoxon;

class engine;

var x;

run;

输出5.5.1 由NPAR1WAY过程得到的Wilcoxon检验

The NPAR1WAY Procedure

Wilcoxon Scores (Rank Sums秩和) for Variable x

Classified by Variable engine

Sum of Expected Std Dev Mean

engine N Scores Under H0 Under H0 Score

----------------------------------------------------------------------

1 1

2 171.0 132.0 13.905806 14.250000

2 9 60.0 99.0 13.905806 6.666667

Average scores were used for ties.

Wilcoxon Two-Sample Test

Statistic 60.0000

①Normal Approximation（正态近似）

Z -2.7686

One-Sided Pr < Z 0.0028

Two-Sided Pr > |Z| 0.0056

②t Approximation（t近似）

One-Sided Pr < Z 0.0059

Two-Sided Pr > |Z| 0.0119

SAS 统计分析

Z includes a continuity correction of 0.5.

Kruskal-Wallis Test ③Chi-Square 7.8657 DF 1

Pr > Chi-Square 0.0050

输出分析：一般地，解释Wilcoxon 秩和检验的输出结果主要看“Pr>|Z|”后面的P 值，如果此P 值大于预先给定的显著性水平，结论是两组的均值有显著性差异。如果此P 值大于预先给定的显著性水平，则两个组的均值无显著性差异。正态近似情况下①的双侧检验的P 值为0.0056，说明有显著性差异，在t 近似情况②与卡方检验③得到的结论也是一致的，

5.5 区间估计

对于一个未知量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需要估计误差，即要求知道近似值的精确程度。例如，对于未知参数，除了求出它们的点估计外，还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数真值的可信程度。这样的范围通常以区间的形式给出，同时还给出此区间包含参数真值的可信程度。这种形式的估计称为区间估计，这样的区间即所谓置信区间。

一、置信区间的基本概念

1、单个正态总体均值和标准差的区间估计

设总体2

~(,)μσX N ，其中2

,μσ未知。假设12(,,,)n x x x 是来自正态总体

X 的样本值，

则μ的1α?的置信区间为：

/2/2[((x t n t n αα??+?， 其中是自由度为1/2(1t n α??)1n ?的

t 分布的上侧/2

α分位点。

σ的置信水平为1

α?的置信区间为：

??

， 其中是自由度为2

/2(1n αχ?)1n ?的2

χ分布的上侧/2α分位点。 2、两个正态总体均值差的区间估计

设2

2

12~(,),~(,)X N Y N μσμσ，其中2

12,,μμσ均未知，且两样本独立。12(,,,)n x x x 和

12(,,,)n y y y 分别是来自正态总体X 和Y

的样本值，则12μμ?的1α?的置信区间为：

利用MEANS 过程和TTEST 过程能够获得均值的区间估计，利用TTEST 过程可以方差的区

间估计。具体参见后面的应用举例。

假设检验与区间估计

二、应用举例

例5.6：有一大批糖果。现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：

506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496

假定它们来自某个正态总体，试求其均值和标准差的置信水平为95%的置信区间。

SAS程序为：

data ch5_6;

input x @@;

cards;

506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496

;

proc means data=ch5_6 clm alpha=0.05;

var x;

proc ttest data=ch5_6 alpha=0.05;

var x;

run;

程序说明：MEANS过程可以得到均值的区间估计，后面选项alpha=0.05表示显著性水平，缺省值为0.05。TTEST过程可以得到均值和方差的区间估计。

输出5.6.1 由MEANS过程得到的均值的区间估计

MEANS 过程

分析变量：x

均值下限95% 均值上限95%

均值的置信限 均值的置信限

----------------------------

500.4451075 507.0548925

----------------------------

输出5.6.2 由TTEST过程得到的均值与方差的区间估计

The TTEST Procedure

Lower CL Upper CL Lower CL Upper CL Variable N Mean Mean Mean Std Dev Std Dev Std Dev Std Err x 16 500.45 503.75 507.05 4.5816 6.2022 9.599 1.5505

输出分析：由输出5.6.1和输出5.6.2容易得到均值的95%的区间估计为（500.45，507.05），标准差的95%的区间估计为（4.5816，9.599）。

例5.7：有一大批随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻为：A批导线：0.143 0.142 0.143 0.137

B批导线：0.140 0.142 0.136 0.138 0.140

假设数据分别来自两个正态总体，且两样本独立，试求两样本均值差的95%的置信区间。

SAS程序为：

data ch5_7;

input class $ x @@;

cards;

a 0.143 a 0.142 a 0.143 a 0.137

b 0.140 b 0.142 b 0.136 b 0.138 b 0.140

SAS统计分析

;

proc ttest data=ch5_7;

class class;

run;

输出5.7.1 由MEANS过程得到的均值的区间估计

The TTEST Procedure

Lower CL Upper CL Lower CL Upper CL

Variable class N Mean Mean Mean Std Dev Std Dev Std Dev Std Err

x a 4 0.1367 0.1413 0.1458 0.0016 0.0029 0.0107 0.0014

x b 5 0.1364 0.1392 0.142 0.0014 0.0023 0.0066 0.001 x Diff (1-2) -0.002 0.002 0.0061 0.0017 0.0026 0.0052 0.0017

输出分析：由输出5.7.1容易得到均值差的95%的区间估计为（-0.002，0.0061）。

习题五

1、某车间生产滚珠，随机抽取了50个产品，测得它们的直径为（以毫米计）：

15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3

15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 15.8 14.5 14.2 14.9 14.9

15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2

15.9 15.8 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1

15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 问：滚珠直径是否服从正态分布？

2、为了比较做鞋子后跟的两种材料的质量，选取15名男子(他们的生活条件各不相同)。每人穿

一双新鞋，其中一只是以材料A做成的，另一只是以材料B做成的，其厚度为10mm。过了一个

月再测厚度，得到数据如下：

材料A 6.6 7.0 8.3 8.2 5.2 9.3 7.9 8.5 7.8 7.5 6.1 8.9 6.1 9.4 9.1

材料B 7.4 5.4 8.8 8.0 6.8 9.1 6.3 7.5 7.0 6.5 4.4 7.7 4.2 9.4 9.1 设它们的差值是来自某个正态总体的样本,问是否可以认为材料A制成的后跟比材料B的耐穿? (显著性水平为0.05)

3、一化学家用两种不同的液体层析方法测量一种用煤制造的合成燃料的萘含量。取十份样品，每

一份分成两半：一半用标准的层析方法(STD)测量，另一种用高压液体层析方法(HP)测量，数据分

别为：

HP 10.9 13.1 14.5 9.6 11.2 9.8 13.7 12.0 9.112.1

STD 14.0 12.9 16.2 10.2 12.4 12.0 14.8 11.8 9.7 14.7 假设它们的差值来自某个正态总体的样本，问两种液体层析方法是否有显著差异？(显著性水平为0.05)

假设检验与区间估计

4、十岁前的儿童学习游泳，在肌肉发育方面，较不学习游泳的人更为协调。这种情况是否在智能

测验中也有一定的效应？选出15孪生子，教孪生子中的一个学习游泳。到30岁时，这30个人由

三位专家组成的小组进行口头测验。结果产生下列智能记分：

游泳组86 49 77 63 59 99 77 83 67 73 78 74 86 73 69

非游泳组 85 53 70 60 53 84 79 85 65 70 72 70 88 71 60

问两组之间能否检验出智能的显著不同？显著性水平为0.05。

5、现已收集到两个城市A和B犯罪青年初犯的年龄样本如下：

城市A16 26 23 19 45 30 23 29 24 35 32

城市B15 25 17 40 22 27 21 20 18 16 14 31 试在5%的显著性水平下判定两个城市A，B的犯罪青年初犯的平均年龄之间是否有显著差异？

6、研究两组病人的胃液成分的试验。病人被分成两组：患胃溃疡的病人 (N) 与无胃溃疡的“正常”( Y )或对照组的病人。现要判断在5%显著性水平下两组的平均溶菌酶是否存在显著性差异。 数据如下表。

N 0.2 N 10.4 N 0.3N10.9N0.4N11.3N 1.1 N 12.4

N 2.0 N 16.2 N 2.1N17.6N 3.3N18.9N 3.8 N 20.7

N 4.5 N 24.0 N 4.8N25.4N 4.9N40.0N 5.0 N 42.2

N 5.3 N 50.0 N 7.5N60.0N9.8Y0.2Y 5.4 Y 0.3

Y 5.7 Y 0.4 Y 5.8Y0.7Y7.5Y 1.2Y 8.7 Y 1.5

Y 8.8 Y 1.5 Y 9.1Y 1.9Y10.3Y 2.0Y 15.6 Y 2.4

Y 16.1 Y 2.5 Y 16.5Y 2.8Y16.7Y 3.6Y 20.0 Y 4.8

Y 20.7 Y 4.8 Y 33.0

7、随机10个失眠患者，服用甲、乙两种安眠药，延长睡眠时间（小时）如下表所示。

患者编号 12345678910

甲药 1.90.8 1.10.1-0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4

乙药 0.7-1.6 -0.2-1.2-0.1 3.4 3.70.8 0 2.0

请回答下列问题：

(1) 这两种安眠药的疗效有无显著性差异？

(2) 并求出甲乙两种药延长睡眠时间差的99%的置信区间？

8、为了研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行驶到损坏为止。记录

行驶的路程(以公里计)如下：

41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41096 40680 43500 39775 40400 首先对该数据进行正态性检验，再求汽车行驶平均路程的置信水平为0.95的单侧置信上限。

9、某天7个银行给出了它们的抵押贷款利率：

银行利率银行利率银行利率银行利率

BANKA 11 BANKB 10.5 BANKC 10.625 BANKD 10.5 BANKE 10.5 BANKF 10.625 BANKG 10.25

SAS统计分析

假定它们来自某个正态总体，试求其均值的置信水平为95%的置信区间。

10、设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为：

6.0 5.7 5.8

7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设干燥时间总体服从正态分布，求均值的置信水平为95%的置信区间？

11、下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（以小时计）：

型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9

型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6设样本独立且数据所属的两总体的密度至多差一个平移，试问能否认为型号A的计算器平均使用时间比型号B来得长（取显著性水平值为0.01）？

12、下面给出两个工人五天生产同一种产品每天生产的件数：

49 52 53 47 50 工人A

工人Ｂ56 48 58 46 55 设两样本独立且数据所属的两总体的密度至多差一个平移，问能否认为工人Ａ、工人Ｂ平均每天完成的件数没有显著性差异（取显著性水平值为0.01）？

13、设从某河流内每月抽取一次水样，检验河水中汞的含量（以每克中含的微克量计），得到一年的数据如下：

月份123456789101112汞含量 2.3 2.7 2.5 3.2 3.8 3.6 2.8 2.5 3.4 3.7 4.2 3.5用秩方法检验河水的汞含量是否有上升的趋势？

14、设从两个不同的地区各取得某种植物的样品12个，测得植物中铁元素含量（以每克中含的微克量计）的数据如下：

地区A 11.5 18.6 7.6 18.211.416.519.210.111.2 9.0 14.015.3地区B 16.2 15.2 12.3 9.710.219.517.012.018.0 9.0 19.010.0假设已经知道这种植物中铁元素含量服从正态分布，且分布的方差不受地区影响，检验这两个地区该种植物中铁元素含量的分布是否相同？

15、假设用A、B两种饲料各喂猪10头，经一个喂养周期后，猪的增重（以千克计）如下表：

A饲料20 24 32 31 28 17 25 19 24 30 B饲料27 29 27 38 38 27 35 29 31 36 请给出A、B两种饲料使猪平均增重的差的90%的置信区间。