江苏省泰州市高二第二学期期末联考

江苏省泰州市高二第二学期期末联考

数学试题（理科）

(考试时间：120分钟 总分160分)

命题人：蔡德华（泰兴市第二高级中学） 华增元（姜堰娄庄中学） 李立群（江苏省口岸中学）

审题人：周如才（省姜堰中学） 芮 进（泰兴市第一高级中学）窦如强（泰州市教研室）

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 可选用公式：数学期望：E(X)=n n p x p x p x +++ 2211

方 差：V(X)=n n p x p x p x 2222121)()()(μμμ-++-+- ，其中i x 是随机变量X 的可能取值，i p 是概率，i p ≥0，i =1，2，3,……,n ；μ= E(X) 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知

ni i

+=-112，其中R n ∈，i 是虚数单位，则n = ▲ ．

2. 曲线)(sin 2cos 为参数t t y t

x ?

?

?-==的普通方程是 ▲ ． 3．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 ▲ 个.(用数字作答) 4．在6

)2(x

x -

的展开式中，常数项是 ▲ ．（用数字作答）

5．若根据5名儿童的年龄x （岁）和体重y (kg)的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体

重的线性回归方程是?27y

x =+，已知这5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重是 ▲ kg ．

6．通过随机询问56名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明书，得到如下22?列联表：

从调查的结果分析，经计算得2

2

56(2016812) 4.66732242828

χ?-?=≈???，你认为性别和读营养说

明书有关系的把握有 ▲ ． 附：

7．若3162323n n C C ++=2012((3)n n

n n N x a a x a x a x *∈-=++++ )且，则

012(1)n

n a a a a -+-+-= ▲ ．

8．曲线y=x x 62+-,则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为 ▲ ． 9．已知复数(,)z x yi x y R =+∈

，且|2|z -=

y x

的最大值是 ▲ ．

10．用反证法证明命题：“如果,a b N ∈，a b 可被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为 ▲ ．

11．给出下面类比推理命题（其中R 为实数集，C 为复数集）：

①“若,,a b R ∈则0a b a b -=?=”类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b -=?=”； ②“若,,a b R ∈则0ab =0a ?=或0b =”类比推出“若,,a b C ∈则0ab =0a ?= 或0b =”；

③“若,,a b R ∈则0a b a b ->?>” 类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b ->?>”； ④“若,,a b R ∈则220a b +≥”类比推出“若,,a b C ∈则220a b +≥” 所有命题中类比结论正确的序号是 ▲ ．

12．对于R 上的可导函数()f x ，若满足(2)'()0x f x -≥，则(0)(3)f f +与2(2)f 的大小关系为 ▲ ．（填“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”）

13．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0,,,m n m n <≤

)N *∈，共有1m n C +种取法。在这1m

n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部

为白球，一类是取出的1m -个白球和1个黑球，共有011111m m m n n n C C C C C -+?+?=，即有等式：

1

1m m m

n n

n C C C -++=成立。试根据上述思想化简下列式子：

k

m n

k k m n

k m n k m

n k C C C C C C C C ---?++?+?+? 2

21

1

= ▲ ．(*

,,,2N n m k n m k ∈≤<≤)

14．已知]1,0(∈x ?

+-=

dt

t x x f x )221()(0

，则)(x f 的值域是 ▲

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知复数2

2

(1)(32)z m m m i =-+-+，求分别满足下列条件的实数m 的值．

（1）z 为纯虚数；

（2）z 在复平面上的对应点在以(0,3)m -为半径的圆上错误！未找到引用源。．

16．（本小题满分14分）已知在n x x f )1()(+=的展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求n ；

（2）求)96(f 被10除所得的余数。

17．（本小题满分14分）已知直线:l 1314x t y t

=+??

=--? （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴

正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为)4

cos(2π

θρ+=.

（1）将曲线C 的方程化成直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.

18．（本小题满分14分）试求使不等式

1111521

2

3

31

t n n n n +

+

++

>-++++ 对一切正整数n 都成立的最小自然数t 的值，

并用数学归纳法加以证明．

19．（本小题满分16分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时

游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （1）求ξ的分布；

（2）求ξ的数学期望及方差；

（3）记“函数2()2ln f x x x x ξ=-+是单调增函数”为事件A ，求事件A 的概率． （可能用到的数据：58.076.02≈，23.048.02≈，31.252.12≈，06.024.02≈）

20．（本小题满分18分）已知函数2

1()23ln 2

f x x tx x =

-+，2

()3

x t g x x +=

+，函数()f x 在

,x a x b ==处取得极值，其中0a b <<．

（1）求实数t 的范围；

（2）判断()g x 在[,]b a --上单调性；

（3）已知()g x 在[,]b a --上的最大值比最小值大13

，若方程()f x m =有3个不同的解，

求m 的范围．

参考答案

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1． 1 2．1)2(2

2=-+y x 3．36 4．－160 5．17

6．95％ 7．256 8．x y 6= 9．3 10．假设,a b 都不能被3整除

11．①② 12．不小于 13．m

n k C + 14．1

[0,]4

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）

15．（本小题满分14分） （本小题满分14分）

解：（1）由2210

320m m m ?-=?-+≠?

得1m =- …………………………6分

（2）2222(1)(2)17m m -++=

2

2

(3)(2)0m m +-=

∴m = ………………………14分 16．（本小题满分14分）

解：（1）10n = ……………………………………4分 （2）10)196()96(+=f

10

97

=

10

)3100(-=

10

10

109

9

102

82

109

1

1010

103310031003100100

C C C C C +?--?+?-

∴)96(f 被10除得的余数与３10除得的余数相同…………………………10分 又5510)110(93-==

= C C C C C C 5

51

4

52

3

53

2

54

1

55

51010101010-+-+- ∴３10被10除得的余数为9，

∴)96(f 被10除得的余数为9…………………………14分

17．（本小题满分14分）

解：(1) 把)4

π

ρθ=

+

化为直角坐标系中的方程为22

0x y x y +-+= ………6分

(2) 把1314x t

y t =+??=--?

化为普通方程为4310x y +-= ……………………………8分

∴圆心到直线的距离为

110

，……………………………10分

∴弦长为75

=

； …………………………………14分

18．（本小题满分14分） 解：设11

11()1

2

331

f n n n n n =

++++++++

∵111

111(1)()(

)()2

33412

31

f n f n n n n n n n +-=+++-+++

++++++

111

132

33

341

n n n n =

+

+

-

++++1

1232

34

33

n n n =

+

-

+++

2

2

2

662(33)662(33)0(32)(34)

(33)

9188

9189

n n n n n n n n n n n ++++=-=

-

>+++++++

∴()f n 递增，∴()f n 最小为11113(1)234

12

f =++=

∵()52f n t >-对一切正整数n 都成立，∴135212t -<，∴自然数2t ≥

∴自然数t 的最小值为2 …………………………………………7分 下面用数学归纳法证明

1

1

1

1

112331n n n n +

+

++

>++++

（1）当1n =时，左边11113

123412

=++=>，∴1n =时成立

（2）假设当n k =时成立，即1111

112331

k k k k ++++>++++

那么当1n k =+时，左边1

1

1

1

23434

k k k k =

+

+

++

++++

11111111123313233341

k k k k k k k k =+++++++-++++++++ 1111

13233341

k k k k >+++-++++

2

11(32)(34)(33)k k k =+

>+++

∴1n k =+时也成立

根据（1）（2）可知

1111

112331

n n n n ++++>++++ 成立 ………………14分 注：第（1）小题也可归纳猜想得出自然数t 的最小值为2 19． （本小题满分16分） 解：（1）∵1ξ=表示客人游览了1个景点或2个景点

∴(1)P ξ=10.40.50.6(10.4)(10.5)(10.6)0.76=-??----=…………2分 ∵3ξ=表示客人游览了0个景点或3个景点

∴(3)P ξ=(10.4)(10.5)(10.6)0.40.50.6=---+??0.24= …………5分 故ξ的分布为：

（2）()10.7630.24 1.48E ξ=?+?= ………………………………………8分 2

2

()(1 1.48)0.76(3 1.48)0.240.230.76 2.310.240.7292V ξ=-?+-?=?+?= …………………………………………11分 （3）∵函数2()2ln f x x x x ξ=-+是单调增函数 ∴1'()220f x x x ξ=-+

≥

∴12x x ξ≤+ (0)x >

∵12x x

+

≥

ξ≤

…………………………………………14分

∴()((1)0.76P A P P ξξ=≤=== ……………………………………16分

20．（本小题满分18分） 解：（1）3'()20f x x t x

=-+

=有两个不等正根，

即方程2

230x tx -+=有两个不等正根,a b ∴24120t ?=->且'()f x 的对称轴0x t =>及'(0)30f =>

解得：t >…………………………………………3分

（2）2

2

2

2

2

2

(3)()223'()(3)

(3)

x x t x

x tx g x x x +-+--+=

=

++ …………………………………5分

根据题设得：2,3a b t ab +==

令222()23()3h x x tx x t t =--+=-+++ ∵()h x 的对称轴为2

a b x t +=-=-

∴()h x 在[,]b a --上的最小值为

2

2

()()23()360h a h b a at a a a b -=-=-++=-+++=>

∴'()0g x >

∴()g x 在[,]b a --上单调递增 …………………………………………9分 （3）由（2）可知()g x 在[,]b a --上单调递增

m ax m in 2

2

1()()()()3

3

3

a t

b t g x g x g a g b a b -+-+-=---=

-

=

++

∴

2

2

()(3())

1

(3)(3)3

b a ab t b a a b --++=

++，∵2,3a b t ab +==，0a b <<

解得：1,3a b == …………………………………………14分

∴2

1

()43ln 2f x x x x =

-+，∴3

(1)(3)

'()4x x f x x x

x

--=-+

=

，

∴()f x 在(0,1),(3,)+∞上递增，在(1,3)上递减

∵7(1)2

f =-，15(3)3ln 32f =-

+

∴当1573ln 32

2

m -

+<<-

时，方程()f x m =有3解

∴m 的范围为157(3ln 3,)2

2

-+-

………………………………………18分