重庆市2017届中考数学一轮复习第四章几何初步第3节全等三角形试题

第三节全等三角形

课标呈现指引方向

1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．

2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．

3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．

4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．

5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，

考点梳理夯实基础

1．全等图形：能够完全重合的两个图形叫做＿＿全等图形＿＿．

注：能够完全重合即形状、大小完全相同．

2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做＿＿全等＿＿三角形．

3．全等三角形的性质：

(1)全等三角形的对应边＿＿相等＿＿；全等三角形的对应角＿＿相等＿＿．

(2)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）＿＿相等＿＿，周长＿＿相等＿＿，面积＿＿相等＿＿．

4．一般三角形全等的判定：

(1)若两个三角形的三条边分别＿＿对应相等＿＿，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”；

(2)若两个三角形的两边及其＿＿夹角＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”：

(3)若两个三角形的两角及其＿＿夹边＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”：

(4)若丙个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为＿＿“AAS"＿＿．

5．直角三角形全等的判定：

(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；

(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

(3)若两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为＿＿“HL”＿＿．

6．寻找对应边、对应角的方法：

(1)有公共边的，公共边一定是对应边；

(2)有公共角的，公共角一定是对应角；

(3)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

(4)两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．

7．证明三角形全等的思路：

(1)已知两边：①找夹角（SAS）；②找直角（HL）；③找第三边( SSS)．

(2)已知一边和一角：①边为角的对边，找任意一角(AAS)；②边为角的邻边，找夹角的另一边（SAS）；

③找夹边的另一角（ASA）；④找边的对角（AAS）．

(3)已知两角：①找夹边（ASA）；②找角的对边（AAS）．

考点精析专项突破

考点一三角形全等判定方法的选择

【例l】（2016云南）如图，已知∠ABC= ∠BAD，添加下列条件还不

能判定△ABC≌△BAD的是 ( A )

A．AC = BD

B．∠CAB=∠DBA

C ．∠C =∠

D D ．BC =AD

觯题点拨：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【例2】（2015泰州）如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是 ( D )

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

解题点拨：根据已知条件“AB =AC ．D 为BC 中点”，得出△ABD ≌△ACD ，然后再由AC 的垂直平分线

分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，推出△AOE ≌△EOC ，从而根据“SSS ”或“SAS ”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．

考点二 全等三角形的性质与判定综合

【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠B = ∠AFE ，EA 是∠BEF 的角平分线．求证： (1)△ABE ≌△AFE ； (2)∠FAD = ∠CDE ．

解题点拨：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角 形的判定与性质，(2)问关键是正确证明△AFD ≌△DCE ． 证明：(1)∵EA 是∠BEF 的角平分线， ∴∠1=∠2．

在△ABE 和△AFE 中，

,12,

,B AFE AE AE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△ABE ≌△AFE (AAS ). (2)∵△ABE ≌△AFE ， ∴AB =AF ，

∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AB =CD ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，

∴AF =CD ，∠ADF = ∠DEC ，∠B +∠C =180°， ∴∠B = ∠AFE ，∠AFE +∠AFD =180°， ∴AFD = ∠C ，

在△AFD 和△DCE 中，

,,,ADF FEC C AFD AF DC ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△AFD ≌△DCE (AAS ) ， ∴∠FAD = ∠CDE .

课堂训练 当堂检测

1．如图，已知AB =AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是 ( C ) A ．CB = CDB ．∠BAC = ∠DAC C ．∠BCA =∠DCAD ．∠B =∠D = 90°

2．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△4BE 竺△CDF ．则添加的条件不能是 ( A )

A ．AE =CF

B ．BE = FD

C ．BF = DE

D ．∠1= ∠2 3．（2016成都）如图，△ABC ≌△A 'B 'C '，其中∠A = 36°， ∠C '＝24°，则∠B = ＿＿120°＿＿．

4．已知，如图．AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE =DF ．

证明：连接AD ，

在△ACD 和△ABD 中，

,,,AC AB CD BD AD AD =??

=??=?

△ACD ≌△ABD (SSS )，

∴∠EAD =∠FAD ，即AD 平分∠EAF ， ∵DE ⊥AE ．DF ⊥AF ． ∴DE =DF ．

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．如图，△ABC和△DEF中，AB= DE，/B= LDEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF ( C )

A．AC∥DFB．∠A =∠D C．AC=DFD．∠ACB= ∠F

2．（2016陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M'、N'，则图中的全等三角形共有 ( C )

A．2对B．3对C．4对D．5对

3．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC= BD，AB= ED，BC= BE，则∠ACB等于 ( C )

A．∠EDBB．∠BEDC．1

2

∠AFBD．2∠ABF

4．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B则∠E1D1B的度数为 ( D )

A．10°B．20°C．7.5°D．15°

二、填空题

5．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件＿＿AB=CD＿＿（填出一个即可）．

6．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC= 70°，则∠ADC的度数为＿＿130°＿＿．

7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交

CD的延长线于点F．若EF= 5cm．则AB=＿＿cm．

三、解答题

8．（2016重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD．求证：AE＝FB．

证明：CE ∥DF ， ∴∠ACE = ∠D ，

在△ACE 和△FDB 中，

,,,AC FD ACE D EC BD =??

∠=∠??=?

△ACE ≌△FDB ， ∴AE ＝FB ．

9．如图，∠ABC = 90°，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD ⊥DE ，且AD = DE ．点F 是AE 的中点．FD 与AB 相交于点M ．

(1)求证：∠FMC = ∠FCM ;

(2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．

解：(1)证明：∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 中点， ∴DF ⊥AE ，DF =AF = EF ，又∵∠ABC =90， ∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余， ∴∠DCF =∠AMF ． 在△DFC 和△AFM 中．

,,,DCF AMF MFA CFD DF AF ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△DCF ≌△AMF (AAS )，

∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD ⊥MC ，

理由：由 (1)知，∠MFC = 90°，FD = EF ，FM = FC ，∴∠FDE =∠FMC =45°， ∴DE //CM ，∴AD ⊥MC ．

B 组提高练习

10．（2016丹东）如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE = 45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE = ∠BAD ．有下列结论：①FD =FE ；②AH =2CD ；③BC ·AD

AE 2

；④4ABC ADF S S ??=其

中正确的有 ( D

)

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

（提示：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB =∠AEB =∠CEB =90°，

∵点F 是AB 的中点，∴FD =1

2

AB ，∵∠ABE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，

∴AE =BE ，∵点F 是AB 的中点，∴FE ＝1

2

AB ，∴FD ＝FE ，①正确；∵∠CBE =∠BAD ，∠CBE + ∠C = 90°，

∠BAD +∠ABC =90°，∴∠ABC = ∠C ，∴AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BC = 2CD ，∠BAD =∠CAD = ∠CBE ，在△AEH 和△BEC 中， ,,

,AEH CEB AE BE EAH CBE ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△AEH ≌△BEC (ASA )，∴AH =BC =2CD ，②正确；∵∠BAD = ∠CBE ， ∠ADB =∠CEB ，．．，△ABD ∽△BCE ，

BC BE AB AD

=

，即BC ·AD =AB ·BE

AE 2

＝AB ·AE ＝AB ·BE ，∴BC ·AD

2

；③正确；∵F 是AB 的中点，BD = CD ，∴24ABC ABD ADF S S S ???==．④正确；故选：D ．） 11．（2016丹东）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上，OA =3，OB =4，连接AB ．点P 在平面内，若以点P \A 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等（点P 与点O 不重合），则点P 的坐标为＿＿(3，4)，(

9625，72

25

)，(2125-，2825)＿＿．

(提示：如图所示：①∵OA =3，OB =4，∴P 1(3，4)；

②连结OP 2，设AB 的解析式为y =kx +b ，

则30,4,k b b +=??=?解得4,34.

k b ?

=-???=?故AB 解析式为y =43-x ＋4，则OP 2的解析式为y ＝43x ，

联立方程组得

4

4,

3

3

,

4

y x

y x

?

=-+

??

?

?=

??

解得

48

,

25

36

25

x

y

?

=

??

?

?=

??

，则P2(

96

25

，

72

25

)；

③连结P2P3，则四边形AP2BP3为平行四边形，则E为线段AB和P2P3的中点，

设P3(x，y)，则

96

03

25

22

x++

=，

72

04

25

22

x++

=，

∴x＝

21

25

-，y＝

28

25

，∴P3(

21

25

-，

28

25

)，故点P的坐标为(3，4)或(

96

25

，

72

25

)或(

21

25

-，

28

25

)．

12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．

（1）若BC＝2

2，求△BDE的周长；

（2）求证：NE－ME＝CM．

（1） 证明：∵CD ⊥AB ，BM ⊥AC ，

∴∠ABN ＋∠A ＝90°，∠ACD ＋∠A ＝90°， ∴∠ABN ＝∠ACD ， ∵CD ⊥AB ，ND ⊥MD ，

∴∠BDN ＋∠CDN ＝∠CDM ＋∠CDN ＝90°， ∴∠BDN ＝∠CDM ， 在△BDN 和△CDM 中，

??

?

?

?∠=∠=∠=∠CDM BDN CD BD ACD ABN ， ∴△BDN ≌△CDM （ASA ）， ∴DN ＝DM ，

∴△DMN 是等腰直角三角形，

过点D 作DF ⊥BE 于F ，则DF ＝NF ， ∵BM ⊥AC 于点M ，

∴∠DFE ＝∠CME ＝90°， 在△DEF 和△CEM 中，

??

?

??=∠=∠∠=∠CE DE CEM DEF CME DFE ， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ）， ∴DF ＝CM ，EF ＝ME ，

∴NE －ME ＝NE －EF ＝NF ＝DF ＝CM ， 即NE －ME ＝CM ．