微积分基本定理说课稿
《微积分基本定理》(说课稿) 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》,由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容,本节内容共设计两个课时,这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续,它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1)知识与技能目标:通过本节的学习,使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理,掌握牛顿—莱布尼兹公式,通过例题及练习,使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上,熟练掌握求定积分的方法,从而能够熟练计算定积分. (2)能力目标:本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 (3)德育目标:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点:了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的,而突破难点的关键在于让学生主动去探索,体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分,这样才能从真正意义上把握该定理的含义,提高学生的能力,体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法: 素质教育理论明确要求:教师是主导,学生是主体,只有教师在教学过程中注重引导,才能充分发挥学生的主观能动性,有利于学生创造性思维的培养和能力的提高,根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律,我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法,启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题,引导学生联想旧知识来解决和探索新知识,从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲,体现了学生的主体地位。 2、学法:
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理 一、教学目标: 知识与技能: 1.通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 2.通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 过程与方法: 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 情感、态度与价值: 让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不,不断获得成功积累愉快的体验,不断增进学习数学的兴趣,同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义。 三、教学模式与教法、学法 教学模式:本课采用“探究——发现”教学模式. 教师的教法:利用多媒体辅助教学,突出活动的组织设计与方法的引导. “抓三线”,即(一)知识技能线(二)过程与方法线(三)能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点. 学法:突出探究、发现与交流. 四、教学过程 n
有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? (1)下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - ()()S t v t '=。 3.微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? ? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差 ()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定 积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上, ⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份,在第i 个区间[xi-1,xi]上,记⊿yi=F(xi)-F(xi-1),则 ⊿y=∑⊿yi 如下图,因为⊿hi=f(xi-1) ⊿ 分与导数的关系: 学生说出你的发现; 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 微积分基本定理: 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? ? b a dx x f )(为了方便起见, 还常用()|b a F x 表示()()F b F a -, 即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 问题的解决过程的抽象。让学生体会积分与导数的关系。. 不要求学生理解证明的过程
微积分基本定理 教案
微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基 本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
微积分基本定理的应用
1.6.2微积分基本定理的应用 主编:徐其海 审核:张安永 一.学习目标 1.能理解导数于定积分的内在联系,掌握微积分基本定理,根据定积分的值解释其几何意义. 2. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式求最基本初等函数的定积分. 3. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式和定积分的性质求一些简单初等函数的定积分 二.重难点 1重点:对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解. 2难点:对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解. 三.知识链接. 1. 牛顿-莱布尼兹公式的理解. 一般的,如果f(x)是区间[]b a ,上的连续函数,并且),()(|x f x F =那么)()()(a F b F x f a b -=?.这个结论叫微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式 (1) 计算定积分dx x f a b )(?的关键是找到满足函数)()(|x f x F =的函数)(x F . (2) 通常利用基本初等函数的求导公式和定积分的性质求出)(x F . 如cdx m n bxdx m n dx ax m n dx c bx ax m n ????++=++22)(, 分成各个简单的函数进行积分较简单,求导运算和求)(x F 的运算是互逆的运算. (3) ,|)(F )()(b a x a F b F 记成-即)()(|)()(a F b F x F dx x f a b b a -==? (4) 只有f(x)在区间[]b a ,上连续,定积分dx x f a b )(?才存在 (5) 实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同,故 dx x f a b )(?可以写成[][]c a F c b F +-+)()(,但结果与)()(a F b F -相同,故省略了c 2. 复合函数的定积分 求复合函数的定积分主要依据定积分的性质 (1) 有限个函数代数和的积分,等于各个函数积分的代数和.即
定积分的概念说课稿
定积分的概念说课稿 华洪涛(河南科技学院) 尊敬的各位评委老师大家好,我是来自河南科技学院的教师华洪涛,我今天说课的题目是“高等数学第五章第一节定积分的概念”。 一、教材分析 1、课程定位:高等数学在理工院校的教学计划中是一门重要的公共基础理论课。通过本课程的学习,使学生获得的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识和常用的运算方法,为后续课程,特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。 2、地位与作用 第五章第一节定积分的概念,是高等数学中最主要的经典理论,是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛。这节课上承极限的运算、导数、不定积分,下接定积分的性质、计算,以及定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。正确理解定积分的概念及几何意义有助于进一步讨论定积分的性质与计算方法。 3、教学重点、难点,及学情分析 教学重点:定积分的基本思想方法,定积分概念的形成过程。 教学难点:定积分概念的理解,关键是理解定积分定义的“四步曲”及定积分的几何意义。 学生情况分析:学生已经学习过极限和微分,接受了近似值转化为精确值和以直代曲的数学事实。但是对于概念性知识的理解,特别是将概念性的知识运用于实践还比较欠缺。 二、教学目标 1、知识目标:理解定积分的定义与几何意义,掌握可积性条件,会用定义与几何意义 计算简单函数的定积分。 2、能力目标:逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力,提高学生的抽象思维 能力、探索能力和高等数学语言表达能力。 3、情感目标:引导学生进一步体会“以直代曲”的数学思想,渗透“化整为零零积整” 的辨证唯物观,培养学生勇于探索新知的科学态度,克服畏难心理。 三、教法学法 定积分的概念比较抽象,本节课以学生自主探索和教师的引导相结合的方式。在教学中采用黑板和多媒体相结合,激发学生的学习兴趣,并加深对积分四步曲(大化小、常代变、近似和、取极限)的理解。在教学中由曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引出定积分的定义,实际探索方案如下: 教法:引导探究法与讲解法(把曲边梯形面积问题转化为小规则图形面积问题) 1、曲边梯形的面积→若干小曲边梯形的面积→若干小矩形的面积。 2、曲边梯形的面积可近似用若干小矩形的面积和来近似。 3、取和式的极限,引出定积分的定义。 4、对定积分的概念提出四个注意点。 学法:实践法观察法协作法(自主学习分组讨论归纳总结) 5、通过学生分组讨论和归纳总结,得出函数可积的充分条件。 6、请学生用图形直观地揭示定积分的本质。 7、请学生通过定义寻找可积的必要条件。 四、教学过程 根据定积分的概念及知识结构,加上自己对概念的理解,我将整个教学过程分成引导
微分学的基本定理
微分学的基本定理 【费马(Fermat)定理】 若(i)函数)(x f 在0x 点得某一邻域),(0δx O 内有定义,并且在此邻域内恒有 )(x f )(0x f ≤, 或者)(x f )(0x f ≥; (ii)函数)(x f 在0x 点可导, 则有 0)(0='x f 证明我们对)(x f 的情形给出假设证明.由于假设)(0x f '存在,按定义,也就是 +'f (0x )=-'f (0x )=f '(0x ), 另一方面,由于)(x f )(0x f ≤,所以对(δ+00,x x )内的各点x ,有 ≤--0 0)()(x f x f 0;而对(00,x x δ-)内的各点x ,有 0)()(0 0≥--x f x f .再由极限性质得 )(0x f '=+'f (0x )=lim 0+→o x x ≤--00)()(x x x f x f 0,)(0x f '=-'f (0x )=lim 0 -→o x x 0)()(00≥--x x x f x f .而)(0x f '是一个定数,因此它必须等于零,即)(0x f '=0. 对于)(x f )(0x f ≥的情形,也可相仿证明. 这个定理的几何意义是:如果曲线)(x f y =在0x 点具有极大值(也就是函数)(x f 在0x 点的值不小于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值)或者曲线)(x f y =在0x 点具有极小值(也就是函数)(x f 在0x 点的值不大于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值),并且曲线
)(x f y =在0x 点具有切线l ,那么,费马定理就表明了切线l 必为水平线. 【拉格朗日(Lagrange)中值定理】 这个定理也称为微分学的中值定理,它是微分学中的一个很重要的定理. 若函数)(x f 满足 (i) 在[]b a ,连续;(ii)在(b a ,)可导, 则在(b a ,)内至少存在一点ξ,使 )(ξf '=a b a f b f --)()(.这个定理从几何图形上看是很明显的.画出[]b a ,上的一条曲线)(x f y =,连接A,B 两点,作弦AB,它的斜率是 = ?tan a b a f b f --)()(.下面对此定理给以证明. 证明不妨假设)(x f 在[]b a ,上不恒为常数.因为如果)(x f 恒为常数,则0)(='x f 在(b a ,)上处处成立,这时定理的结论是明显的. 由于)(x f 在[]b a ,连续,由闭区间连续函数的性质,)(x f 必在[]b a ,上达到其最大值M 和最小值m,我们分两种情形来证明. (1)考虑特殊情形,)()(b f a f =.由于)(x f 不恒为常数,所以此时必有M >m,且M 和m 中至少有一个不等式.这时根据闭区间上连续函数的性质,在(b a ,)内至少有一点ξ,使得))(()(m f M f ==ξξ或者,于是对(b a ,)内任一点x ,必有 )) ()()(()(ξξf x f f x f ≥≤或于是由费马定理,即得 0)(='ξf . 而此时0)()(=-a f b f ,这就证明了定理成立. 对于这样特殊情况的中值定理,也叫【罗尔(Rolle)定理】. (2)考虑一般情形,)()(b f a f ≠.此时,作辅助函数[] 1
§1.6微积分基本定理
1.6微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有
()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1.计算下列定积分: (1)2 11dx x ?; (2)3211(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x =, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x ==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算 120x dx ? 解:由于313 x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
高等数学说课稿
《高等数学》说课稿 一、课程分析 1、地位和作用 本课程是通信工程、应用电子工程专业学生专业基础课。根据学生学习的特点,循序渐进,深入浅出,注重工科所需数学知识点的方法的讲解和技能的传授,同时注重教材的实用性,力求适应当前本系工科学生。本教材主要内容包括常系数微分方程、级数、线性代数、概率论。本课程的任务为学生后继课程学习做铺垫,是专业课学习的工具,为培养高技能型人才打下良好的基础。 2、教学目标 (一)知识目标 通过本课程的学习,使学生掌握常微分方程、线性代数、概率统计的基础知识和运算。为学生从事相关工作打下必要的数学基础(二)能力目标 从培养应用型人才的角度来更新教学内容和改革教学体系,高等数学课程不仅要教学生一些数学工具,它更是培养学生的数学思维,数学素质,使学生具有抽象概括能力,逻辑思维能力。 (三)素质目标 培养独立素质和团队协作的素质。 二、课程设计 1、课程设计理念 根据学生的基础和专业需要,我们将高等数学课程的内容进行
合理切割,并对学生的特点加以优化处理和整合,形成三个模块:基础模块,应用模块和提高模块。 2、重点难点 常微分方程:可分离变量的微分方程、常数变易法、二阶微分方程'' =的求解、二阶常系数线性齐次微 f y y f x y y(,') =,''y(,') 分方程的通解。 无穷级数:级数的概念和性质,数项级数收敛性的判定,幂级数 线性代数:行列式的计算、克莱姆法则、矩阵的运算、初等变换求矩 n 线性方程组的唯一解、用矩阵变换解阵的逆矩阵、n 线性方程组、线性方程组解的判定、向量组的线性相关 性、求线性方程组的解。 概率论:随机事件、随即变量及分布。 3、考核方法 书面考试(主要为基本理论和基本知识内容,理解和分析问题)为主。平时作业占课程成绩的30%,期末卷面考试占70% 三、高职高等数学教学理念 根据内容设计,我们选用了人中国计量出版社出版的《高等数学》和高等教育出版社出版的《使用工程数学》,其为高职高专技能紧缺人才培养规划较次,内容符合课程的设计与建设要求。 学情分析:学生参加高考,具备一定初等数学基础知识,但学生学高等数学的基础部扎实。 教学理念:淡化严格的数学论证,把学生从繁琐的数学推导和不
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
知识讲解_微积分基本定理
微积分基本定理 编稿:赵雷 审稿:李霞 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理说课稿新人教A版选修
2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理说课稿新人教A版选修 一、教材分析 1、地位与作用 “微积分基本定理”是高中人教版选修2-2第一章第6节的内容。这节课的主要内容是:微积分基本定理的形成,以及用它求定积分。 在本节课之前教材已经引入导数和定积分的概念,并研究了其性质。该定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法。本节内容不仅是本书一个非常重要的内容,也是整个数学学习中的一块重要知识,该定理为下一节定积分的应用的学习奠定了基础,同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。 2、教学目标 根据以上的教材分析,确定本节课的教学目标如下: 知识与技能: (1)了解微积分基本定理,学会应用微积分基本定理求定积分; (2)通过对本课学习,培养应用微积分思想解决实际问题的能力。 过程与方法: (1)通过自主探究速度与位移的关系对图像的研究,巩固数形结合的方法,; (2)通过设问,探究速度与位移的关系,培养化整为零,以直代曲的思想。 情感态度与价值观: (1)感知寻求计算定积分新方法的必要性,激发求知欲; (2)通过对定理的应用,体会微积分基本定理的优越性; (3)帮助建立微观与宏观的联系桥梁。 3、教学重点 根据教材分析,及教学目标我对本节课确定了以下重点:通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出出微积分基本定理,以及对微积分基本定理的应用。
二、学情分析 1、已有的知识与能力 学生是在高二时学习该定理,因此学生具备了以下知识和能力储备 (1)学生在学习本节内容之前,变速直线运动中的位移、速度、时间三者的关系已经很熟悉; (2)已经熟练掌握高中导数的知识,并能应用这些知识解决问题; (3)理解了定积分的定义及其几何意义,并能按定积分的定义求解定积分; (4)相对高一而言具有更好地抽象思维能力和计算、化简能力。 2、学生可能遇到的困难 (1)学生在本学期才开始接触微分和逐步逼近的思想,所以大部分学生微积分基本定理的形成还是比较困难的,因此只要求学生通过实例了解微积分基本定理; (2)在用微积分基本定理计算定积分时,部分学生对该定理的条件的理解和找满足的还是存在困难,但在高中对此要求不高,故提醒学生不必深究。 3、教学难点 针对以上的学情分析,以及教学目标和重点的制定,我确定了本课的难点:微积分基本定理的导出。 三、教法与学法 1、教学方法:教法以老师讲授为主,引导学生探究为辅。 2、学习方法:课前预习探究发现例题理解练习巩固课后复习。 3、教学手段:黑板教学与多媒体教学相结合。 四、教学过程 总体设计:复习旧知、设题引入、探究归纳、定理导出与应用、定理延伸、课堂小结与布置作业 1、复习旧知(10分钟) 1.1老师和学生一起复习定积分的定义: 如果函数在区间连续,用分点 b x x x x x a n i i =<<<<<=- 110将区间等分成个小区间,在每个小区间上任取一点,作和式 ()()()i n i i n i i f n a b x f ξξ∑∑==-=?11 当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即 ()()∑?∞=→∞-=1lim )(i i n b a f n a b dx x f ξ,