精选湖北省八校2017届高三数学下学期第二次联考试题理
湖北省八校2017届高三数学下学期第二次联考试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数(1)(2)
i i z i
-++=
-，则z 在复平面内对应的点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B =∩ A ．{7} B ．{3,5} C ．{1,3,6,7} D ．{1,3,7}
3.下列选项中说法正确的是
A ．命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真” 的必要条件.
B ．若向量,a b r r 满足0a b ?>r r ，则a r
与b r 的夹角为锐角.
C ．若2
2bm am ≤，则b a ≤.
D ．“0,02
00≤-∈?x x R x ”的否定是“0,2
≥-∈?x x R x ”.
4.若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于
A. 7
B.6
C.5
D.4
5.过双曲线
22
2
1(0)4x y b b -=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且||6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是
A ．(0,2]
B ．(0,2)
C ．
D ．(
6.已知若1e ，2e 是夹角为
90的两个单位向量，则213e e a -=，212e e b +=的夹角为
A ．120
B ．60
C ．45
D ．30
7.()20cos a x dx π
=-?，则9
12ax ax ??+ ??
?展开式中，3
x 项的系数为
A ．212-
B ．638-
C ．638
D ．63
16
8.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 A.S =S +n x B.S =S +
n
x n
C.S =S + n
D.S =S +
10
n
x 9.设F 为抛物线2
4x y =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若
0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++的值为
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
10.函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数()()()g x f x a f x =+-都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是
11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（d ）的立方成正比”，此即3
V kd =。与此类似，我们可以得到：
(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3
V ma =； (2)正方体的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3
V na =；
(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3
V ta =；
那么::m n t =
A
．1:4 B
:16 C
．
:1:12
6:12.记)(n f 为最接近
)(*∈N n n 的整数，如：1)1(=f ，1)2(=f ，2)3(=f ，2)4(=f ，
2)5(=f ，……，若
11114034(1)(2)(3)()
f f f f m ++++=L ，则正整数m 的值为 A. 20172016? B. 2
2017 C. 20182017? D.20192018?
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点)0,3
2
(π中心对称，那么|φ|的最小值为.
14.袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件A , “摸得的两球同色”为事件B ,则概率()|P B A 为.
15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的外接球的表面积为.
16.已知动点),(y x P 满足：???????≥++-+≥≤+1
)1)(1(04222y y x x x y x ，则x y x 62
2-+的最小值为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B
. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若0 2π，a =6，且△ABC 的面积S ABC 的周长. 18. （本小题满分12分） 某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下： （Ⅰ）求频率分布表中x 、y 的值，并补全频率分布直方图； （Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数 X ， 求 X 的分布列及数学期望. 19.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°， AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =1，M 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ； （Ⅱ）设直线AM 与平面ABCD 所成的角为α，二面角M —AC —B 的大小 为β，求sin α·cos β的值. 20.（本小题满分12分） 设椭圆22 22 :18x y E a a +=-（a >0）的焦点在x 轴上. （Ⅰ）若椭圆E 的离心率e = ，求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为直线x +y =E 的一个公共点; 直线F 2P 交y 轴于点Q ，连结F 1P .问当a 变化时，1F P uuu r 与1F Q uuu r 的夹角是否为定值，若是定值， 求出该定值；若不是定值，说明理由. 21.（本小题满分12分） 设函数f (x )=x 2 -a x （a >0，且a ≠1），g (x )=()f x '，（其中()f x '为f (x )的导函数）. （Ⅰ）当a =e 时，求g (x )的极大值点； （Ⅱ）讨论f (x )的零点个数. 请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程. 将圆x 2+y 2 =1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的13 ，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程； （Ⅱ）设直线l ：3x +y +1=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲. 已知0,0,0,a b c >>>函数()f x x a x b c =+--+的最大值为10. （Ⅰ）求a b c ++的值； （Ⅱ）求 ()()()222 11234 a b c -+-+-的最小值，并求出此时,,a b c 的值. 2017届八校二联理数参考答案 一、选择题 CDABD CADBB AC 二、填空题 13. 6π 14.4 1 15. π41 16.40 9 - 17.解：（1）由正弦定理得2sin A sin B sin B A ?= （3分） ∵0 = 或2 3 π；……………………（5分） （2 ）∵1sin 2S bc A == ∴28 3 bc = ，（7分） 由余弦定理得，2222362cos ()33 a b c bc b c bc π ==+-=+-8.b c ?+=（11分） 故△ABC 的周长l =a+b+c =14………………..(12分) 18.由图知，P (25≤x <30)=0.01×5=0.05，故x =100×0.05=5；（2分） P (30≤x <35)=1-(0.05+0.35+0.3+0.1)=1-0.8=0.2 故y =100×0.2=20， （4分） 其 0.2 0.045 ==频率组距…………（6分） （2）∵各层之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人， ∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人. （8分） X 可取0，1，2，21113137622 2020 7891 (0),(1)190190C C C P X P X C C ======， 272 21 (2),190 C P X C ===故X 的分布列为 （10分） 故9121133 12190190190 Ex = ?+?= （12分） 19.（1）证明：连结OM ，在△PBD 中，OM ∥ PB ，OM ?平面ACM ， PB ?平面ACM ， 故PB ∥平面ACM ；（4分） （2）取DO 的中点N ，连结MN ，AN ，则MN ∥PO ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 故∠MAN =α 为所求的直线AM 与平面ABCD 所成的角. ∵1122MN PO = =，在Rt △ADO 中，DO ==12AN DO ==，在Rt △AMN 中， 3,4AM ==∴2sin 3 MN AM α==， （8分） 取AO 的中点R ，连结NR ，MR ，∵NR ∥AD ，∴NR ⊥OA ，MN ⊥平面ABCD ， 由三垂线定理知MR ⊥AO ，故∠MRN 为二面角M —AC —B 的补角，即为π-β. ∵11,,2 2 NR MN ==∴cos()cos πββ-==-， （11分） ∴sin cos αβ=g （12分） 20. 解：（1）由题知2 2 2 2 (8)28c a a a =--=- ，由e ==得 a 4 - 25a 2 +100=0，故a 2 =5或20（舍），故椭圆E 的方程为22 153 x y +=；（4分） （2）设P (x 0，y 0)，F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，则c 2=2a 2 -8， 联立222222 (8)(8) x y a x a y a a ?+=?? -+=-?? 得8x 2 2x +a 4 =0， 即22)0a -= ，故2 0x ，20y =， （7分） 直线PF 2的方程为00()y y x c x c =--，令x =0，则00cy y x c -=-，即点Q 的坐标为0 0(0,)cy x c --， 故01 1000(,),(,)cy FQ c F P x c y x c -==+-uuu r uuu r ， （9分） 故422222220001100001[(28))][()]84()0c a a cy c x c y FQ F P c x c x c x c x c -----=+-===---uuu r uuu r g （11分） 故1F Q uuu r 与1F P uuu r 的夹角为定值2 π . （12分） 21.（1）g (x )=2x -e x ，()g x '=2-e x =0ln 2x ?=， 当x 110f a -=- >；f (0)=-1<0，由零点存在性定理知f (x )有一个零点； 当x >0时，由f (x )=0得 22ln 2ln ln ln x x x a x x a a x =?=?= ，令2 2ln 2(1ln ) (),()x x h x h x x x -'==则. 由()h x '=0得，x =e ，当0 e ，()10,h =且()0h x >总成立，故()h x 的图像如下图， 由数形结合知， ①若2 ln a e >即2 e a e >时，当x >0时， f (x )无零点，故x ∈R 时，f (x )有一个零点； ②若2 ln a e =即2 e a e =时，当x >0时， f (x )有一个零点，故x ∈R 时，f (x )有2个零点； ③若2 0ln a e <<即2 1e a e <<时，当x >0时，f (x )有2个零点，故x ∈R 时，f (x )有3个零点.（9分） （Ⅱ）再考虑0 1 1a >，同上可知， 当21e e a >即0 e e -时， f (x )有一个零点； 当21e e a =即a =2 e e -时， f (x )有2个零点； 当21 1e e a <<即2 e e - f (x )有3个零点.（11分） 综合上述， ①当2e a e >或0 e -时， f (x )有一个零点； ②当a =2e e 或a =2e e -时， f (x )有2个零点； ③当1 e e 或2e