初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练

初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练

锐角三角函数知识点

1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角, 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、特殊角的三角函数值

5、正弦、余弦的增减性:

当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。

6、正切的增减性:

当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大。

1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。

依据:①边的关系:2

22c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。

2、应用举例:

①仰角:视线在水平线上方的角; ②俯角:视线在水平线下方的角。

对边

邻边

b

③坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,

h

i

l

=

。坡度一般写成1:m的形式,如1:5

i=等。把坡面与水平面

的夹角记作α(叫做坡角),那么

tan

h

i

l

α==

④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。

如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:45°、135°、225°。

⑤指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫

做方向角。

如图4:OA、OB、OC、OD的方向角分别是:北偏东30°(东北方向),

南偏东45°(东南方向),南偏西60°(西南方向),北偏西60°

(西北方向)。

锐角三角函数练习

一、选择题

1、把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′,那么锐角A、A′的正弦值的关系为().A.sinA=sinA′ B. sinA=2sinA′ C.2sinA=sinA′ D.不能确定

2、在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,AC=4,则sinA的值是()

A.3

5

B.

4

5

C.

3

4

D.

4

3

3、如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于()

A.

B

. C.

D.

1

3

4、如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角,则COSα的值是()

A.1

2

B.2C.1

5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,

若AC=

AB=则tan∠ACD的值为()

:

i

h l

=

h

l

α

D C

B

A

B.

C.

6、计算tan602sin452cos30

+-的结果是()

A.

2 B C.1

D.

1-

7、如图,已知等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,AB=10,CD=3,则此梯形的周长为()

A. 25 B. 26 C. 27 D. 28.

8、如图,小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度,已知他与楼之间的水平距离BD为10m,眼高AB为1.6m (即小明的眼睛距地面的距离),那么这栋楼的高是()

A.(

8

10

5)m B.

21.6m C.

8

5

?

??

??m

9、如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若∠DPB=α,那么

CD

AB等于()

A.sinα B.COSα C.tanα D.

1

tanα

二、填空题

10.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,若b=3a,则tanA= .11.在△ABC中,∠C=90°,

cosA=,c=4,则a=_______.

12.如图,P是∠α的边OA上一点,且P点坐标为(2,3),则sinα=______ .

13.已知:α是锐角,tanα=

7

24

,则cosα=_______.

14.在Rt△ABC中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值为

15.tan230°+2sin60°-tan45°·sin90°-tan60°+cos 230°=____________.

16.如图,已知Rt△ABC中,AC=3,BC= 4,过直角顶点C作CA1⊥A B,垂足为A1,再过A1作A1C1⊥BC,垂足为C1,过C1作C1A2⊥AB,垂足为A2,再过A2作A2C2⊥BC,垂足为C2,…,这样一直做下去,

得到了一组线段CA1,A1C1,

12

C A,…,则CA1= ,=

5

5

5

4

C

A

A

C

三、解答题

17、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于D,∠CBD=α,AB=3,

?BC=4,?求tanα的值.

E

D

C

B

A

第8题图

第9题图

18、先化简,再求值:

+1,其中,tan 60x = .

19、如图,在Rt △ABC 中,CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线,BC=a ,AC=b (b >a ),若tan ∠DCE=1

2,

求a

b 的值.

20、如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为CA 上一点,∠DBC=30°,DA=3,

tanA 的值.

21、已知:如图,在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为?45,沿着坡度为?30 的斜坡前进400米到D 处(即

?=∠30DCB ,400=CD 米),测得A 的仰角为?60,求山的高度AB 。

22、 如图,台风中心位于点P ,并沿东北方向PQ 移动,已知台风移动的速度为30千米/时,受影响区域的半径为200千米,B 市位于点P 的北偏东75°方向上,距离点P 320千米处.

(1) 说明本次台风会影响B 市;

(2)求这次台风影响B 市的时间. b

a

E D C

B

A

C B

A D 北

()

2

221x x x x +-÷

北师大版九年级下册数学[锐角三角函数—知识点整理及重点题型梳理]

北师大版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 锐角三角函数—知识讲解 【学习目标】 1.结合图形理解记忆锐角三角函数定义; 2.会推算30°、45°、60°角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3.理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 所对的边BC 记为a ,叫做∠A 的对边,也叫做∠B 的邻边,∠B 所对的边AC 记为b ,叫做∠B 的对边,也是∠A 的邻边,直角C 所对的边AB 记为c ,叫做斜边. 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即sin A a A c ∠= =的对边斜边; 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即cos A b A c ∠= =的邻边斜边; 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边;cos B a B c ∠==的邻边斜边;tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边. 要点诠释: (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化. (2)sinA ,cosA ,tanA 分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成, , ,不能理解成sin 与∠A ,cos 与∠A ,tan 与∠A 的乘积.书写时习惯上省略∠A 的角的 C a b

中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .

【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.已知在平面直角坐标系中,点()()()3,0,3,0,3,8A B C --,以线段BC 为直径作圆,圆心为E ,直线AC 交E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是 E 的切线; (2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交E 于点G ,连接BG : ①当1 an 7 t ACF ∠=时,求所有F 点的坐标 (直接写出); ②求 BG CF 的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)①143,031F ?? ??? ,2(5,0)F ;② BG CF 的最大值为12. 【解析】 【分析】 (1)连接DE ,证明∠EDO=90°即可; (2)①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可; ②作GM BC ⊥于点M ,证明1~ANF ABC ??,得1 2 BG CF ≤,从而得解. 【详解】 (1)证明:连接DE ,则: ∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵ EB ED =

初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案

初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1.如图,点O 为△ABC 边 AC 的中点,连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ,若BD=12,AC=8,∠AOD =120°,则四边形ABCD 的面积为( ) A .23 B .22 C .10 D .243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为M 、N ,通过题意可求出AM 、CN 的长度,可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积,相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解:分别过点A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为M 、N , ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点,AC=8, ∴AO=CO=4, ∵∠AOD =120°, ∴∠AOB=60°,∠COD=60°, ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠, 342 CN CN sin COD CO ===∠, ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD , ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选:D. 【点睛】

本题考查了三角函数的内容,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2.如图,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC 上找一点B ,取145ABD ∠=o ,500BD m =,55D ∠=o ,要使A ,C ,E 成一直线,那么开挖点E 离点D 的距离是( ) A .500sin55m o B .500cos55m o C .500tan55m o D .500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可. 【详解】 在Rt △BDE 中,cosD= DE BD , ∴DE=BD ?cosD=500cos55°. 故选B . 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键. 3.如图,在ABC ?中,4AC =,60ABC ∠=?,45C ∠=?,AD BC ⊥,垂足为D ,ABC ∠的平分线交AD 于点E ,则AE 的长为( ) A .22 B .223 C .23 D .322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中,利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度,在Rt △ADB 中,由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度,在Rt △EBD 中,由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度,再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度. 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?

人教版九年级数学下册锐角三角函数单元测试

锐角三角函数 单元测试 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分) 1. 60cos 的值等于( ) A . 2 1 B .22 C . 2 3 D .1 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90?,AB=4,AC=1,则tanA 的值是( ) A .154 B .1 4 C .15 D .4 3.已知α为锐角,且2 3 )10sin(= ?-α,则α等于( ) A.?50 B.?60 C.?70 D.?80 4.已知直角三角形ABC 中,斜边AB 的长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是( ) A .sin 40m B .cos 40m C .tan 40m D . tan 40 m 5.在Rt ABC △中,90C ∠=,5BC =,15AC =,则A ∠=( ) A .90 B .60 C .45 D .30 6.如图,小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A 处)位于她家北偏东60度500m 处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是( ) A .250m. B . 250.3 m. C .500.33 m. D .3250 m. 7.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是( ) A . 24 7 B . 73 C . 724 D . 13 8.因为1 s i n 302= ,1sin 2102 =-,所以s i n 210s i n (18030)s i n =+=-; 因为2s i n 452 = ,2sin 2252=-,所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-,由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-,由此可知:sin 240= ( ) 6 8 C E A B D (第7题) 第6题

九下 锐角三角函数 第5课时 由三角函数值求锐角 含答案

C B A 第5课时 由三角函数值求锐角 1.(1)已知sin A =0.4561,则锐角A =______°; (2)已知cos A =0.3638,则锐角A =______°; (3)已知tan A =l. 235,则锐角A =______°.(结果精确到0.01°) 2.若锐角A 满足2sin(A +15°)=1,则∠A =______. 3.已知tanα=0.8036,则锐角α=________.(精确到1’) 4.已知一个直角三角形的面积为23cm 2,其中一边长为2 cm ,则这个 三角形较小锐角的度数为_________. 5.(2010 荆州)如图,在△ABC 中,∠B=45°,cos ∠C= 5 3,AC=5a ,则△ABC 的面积用含a的式子表示是 . 6.若锐角α满足3sin 5α=,则α的取值范围为 ( ) A .0°<α<30° B .30°<α<45o C .45o<α<60o D .60o<α<90° 7.若∠A 为锐角,且满足3tan(15)1A +?=,则锐角A 的度数应该是 ( ) A .15° B .30° C .45° D .60° 8.如图,已知秋千吊绳OA 为4m ,当秋千向左摆动,水平距离为1.5 m 时, 秋千吊绳与竖直方向所成的夹角约为 ( ) A . 22o B . 35o C . 55o D . 68o 9.若锐角α满足1cos 2 α≤,则α的取值范围为 ( ) A .0°<α≤60° B .60°≤α<90o C .0o<α≤30o D .30o≤α<90° 10.(2010眉山)如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为 A .90° B .60° C .45° D .30° 11.某商场工作人员在大厅安装一部由一楼到二楼的电梯,已知一、二楼层高3.4 m ,可 供电梯伸展的长度不超过10 m ,求电梯的最小倾斜角α的大小.

中考数学锐角三角函数的综合题试题附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D从点A出发,在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动,连结CD,作点A关于直线CD的对称点E,设点D运动时间为t(s). (1)若△BDE是以BE为底的等腰三角形,求t的值; (2)若△BDE为直角三角形,求t的值; (3)当S△BCE≤9 2 时,所有满足条件的t的取值范围(所有数据请保留准确值,参考 数据:tan15°=23 【答案】(1)33 2 ;(23秒或3秒;(3)6﹣3 【解析】 【分析】 (1)如图1,先由勾股定理求得AB的长,根据点A、E关于直线CD的对称,得CD垂直平分AE,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE,所以AD=DE=BD,由3,可得t 的值; (2)分两种情况: ①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,根据3t的值; ②当∠EDB=90°时,如图3,根据△AGC≌△EGD,得AC=DE,由AC∥ED,得四边形CAED 是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3; (3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化, ①当△BCE在BC的下方时, ②当△BCE在BC的上方时, 分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论. 【详解】 解:(1)如图1,连接AE, 由题意得:AD=t, ∵∠CAB=90°,∠CBA=30°, ∴BC=2AC=6, ∴22 63 3 ∵点A、E关于直线CD的对称,

∴CD垂直平分AE, ∴AD=DE, ∵△BDE是以BE为底的等腰三角形, ∴DE=BD, ∴AD=BD, ∴; (2)△BDE为直角三角形时,分两种情况: ①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE, ∵CD垂直平分AE, ∴AD=DE=t, ∵∠B=30°, ∴BD=2DE=2t, ∴ ∴ ②当∠EDB=90°时,如图3, 连接CE, ∵CD垂直平分AE, ∴CE=CA=3, ∵∠CAD=∠EDB=90°, ∴AC∥ED, ∴∠CAG=∠GED, ∵AG=EG,∠CGA=∠EGD, ∴△AGC≌△EGD, ∴AC=DE, ∵AC∥ED, ∴四边形CAED是平行四边形, ∴AD=CE=3,即t=3; 综上所述,△BDE为直角三角形时,t3秒; (3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化, ①当△BCE在BC的下方时,过B作BH⊥CE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时, 此时S△BCE=1 2 AE?BH= 1 2 ×3×3= 9 2 , 易得△ACG≌△HBG,∴CG=BG, ∴∠ABC=∠BCG=30°,

初中数学锐角三角函数定义大全

初中数学:锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c 正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b 余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a 正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系:

sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系: sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系: tanα·cotα=1

sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα tan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα

sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα

初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题

锐角三角函数知识点 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角, 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、特殊角的三角函数值 5、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:2 22c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。 2、应用举例: ①仰角:视线在水平线上方的角; ②俯角:视线在水平线下方的角。 对边 邻边 b

③坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示, 即 h i l = 。坡度一般写成1:m的形式,如1:5 i=等。把坡面与水平面 的夹角记作α(叫做坡角),那么 tan h i l α== 。 ④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。 如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:45°、135°、225°。 ⑤指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫 做方向角。 如图4:OA、OB、OC、OD的方向角分别是:北偏东30°(东北方向), 南偏东45°(东南方向),南偏西60°(西南方向),北偏西60° (西北方向)。 锐角三角函数练习 一、选择题 1、把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′,那么锐角A、A′的正弦值的关系为().A.sinA=sinA′ B. sinA=2sinA′ C.2sinA=sinA′ D.不能确定 2、在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,AC=4,则sinA的值是() A.3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 3、如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于() A. B . C. D. 1 3 4、如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角,则COSα的值是() A.1 2 B.2C.1 5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D, 若AC= AB=则tan∠ACD的值为() : i h l = h l α D C B A

(人教版初中数学)锐角三角函数

锐角三角函数 一.〖基础训练〗 1、在△ABC 中,∠C =90°,则sinA= ,cosA= tanA= cotA= . 2、根据直角三角形的 元素(至少有一个边),求出 其它所有元素的过程,即解直角三角形 3.Rt △ABC 中,若sinA =45 ,AB =10,那么BC = ,tanB = 4.写出适合条件的锐角α Sin600= , tan300= ,cos α=32 ,α= , 5、在△ABC 中,∠C =90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 6、sin300+tan450= . 7、若sin α=cos70°,则角α等于 A .70°; B .60°; C .45°; D .20°. 8、(讲解)若∠A 为锐角,且cosA ≤ 12 ,那么( ) A 、00≤A ≤600 B 、600≤A ≤900 C 、00≤A ≤300 D 、300≤A ≤90 0 二.〖中考在线〗(讲解) 1、(2004年中考题).在△ABC 中,∠C =90°,sinA =35 ,则cosA 的值是( ) (A ) 35 (B )45 (C )925 (D )1625 2、如图,(2003年第21题)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证:AC=BD (2)若sinC=1213 ,BC=12,求AD 的长. 三.〖考点训练〗 1.Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =6,AC =2,则sinA =( ) (A ) 13 (B )23 (C )23 2 (D )23 2.已知∠A +∠B =90°,则下列各式中正确的是( ) A B C D

初三数学锐角三角函数通用版

初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括:正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠;把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即c b A A cos =∠=斜边的邻边;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法: 【解题方法指导】 例1. (2000年成都市)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =60°,D 是AC 的中点,那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数

分析:在Rt △ABC 中,由∠ABC =60°,可知3BC AC 60tan == ,即AC =3BC ,又CD = 1 2 AC ,tan ∠DBC 可求。 解:在△ABC 中, ∵∠C =90°,∠ABC =60°, ∴tan ∠ABC =tan60°=3BC AC =, ∴AC =3BC 。 又D 是AC 中点, ∴DC = 12AC =32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析:在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. (2001年四川)在Rt △ABC 中 ,CD 是斜边AB 上的高,已知3 2 ACD sin = ∠,那么=AB BC ______。 分析:由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ,可得∠ACD =∠B ,由sin ∠ACD = 2 3 ,那么sinB =23,设AC =2,AB =3,则BC =32522-=,则AB BC 可求。 解:∵∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D , ∴∠ACD =∠B 。 又sin ∠ACD =sinB = 23 , 可设AC =2,AB =3, ∴BC =32522-=。

中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及答案

中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及答案 一、锐角三角函数 1.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. (1)求之间的距离 (2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(2)3 5 . 【解析】 【分析】 (1)解直角三角形即可得到结论; (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==, '30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得DC= 3 3 3,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】 解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m , ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120(m ) (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°, ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答:从无人机'A 上看目标D 2 35

【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD. (1)求证:△MED∽△BCA; (2)求证:△AMD≌△CMD; (3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2 =17 5 S1时,求cos∠ABC的 值. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos∠ABC=5 7 . 【解析】 【分析】 (1)易证∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA;(2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明∠AMD=∠CMD,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD; (3)易证MD=2AB,由(1)可知:△MED∽△BCA,所以 2 1 1 4 ACB S MD S AB ?? == ? ?? V ,所以 S△MCB=1 2 S△ACB=2S1,从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1= 2 5 S1,由于1 EBD S ME S EB = V ,从而可 知 5 2 ME EB =,设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC= 7 2 ,最后根据锐角三角函数的 定义即可求出答案.【详解】 (1)∵MD∥BC,∴∠DME=∠CBA,

中考数学锐角三角函数真题汇编

中考数学真题汇编:锐角三角函数 (WORD版本真题试卷+名师解析答案,建议下载保存) 一、选择题 1.的值等于() A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图,过点,,,点是轴下方上的一点,连接,,则的度数是() A. B. C. D. 【答案】B 3.如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D

4.如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角,升旗台底部到教学楼底部的距离米,升旗台坡面CD的坡度,坡长米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离米,则旗杆AB的高度约为()(参考数据:,,) A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据:)() A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 6.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为() A. B. C. D. 【答案】B

7. 如图,已知在中,,,,则的值是() A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(A、D、B 在同一条直线上)() A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图.一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上,继续航行1.5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 ________小时即可到达(结果保留根号) 【答案】 10.如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=________。

初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 锐角三角函数知识点 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2 则∠A 3、任意锐角的正弦值等于它的余角 的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、特殊角的三角函数值 5、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:2 22c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。 2、应用举例: ①仰角:视线在水平线上方的角; ②俯角:视线在水平线下方的角。 ③坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示, 即 h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么 tan h i l α= =。 :i h l =h l α

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. ④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。 如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 ⑤指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。 如图4:OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向),南偏东45°(东南方向),南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向)。 锐角三角函数练习 一、选择题 1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( ). A .sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C .2sinA =sinA ′ D .不能确定 2、在Rt △ABC 中,∠C =90°,若AB =5,AC =4,则sinA 的值是( ) A . 35 B . 45 C . 34 D . 43 3、如图,△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则sin ∠BAC 等于( ) A . 2 3 B .55 C . 105 D .13 4、如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角,则COS α的 值是( ) A.12 B.22 C.1 D.2 5、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,若56AC =,65AB =,则tan ∠ACD 的值为( ) A.5 B.5 5 C.30 6 D.6 6、计算tan 602sin 452cos30+-的结果是( ) A .2 B .2 C .1 D . 23 13- . 7、如图,已知等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A=60°,AB=10,CD=3,则此梯形的周长为( ) A . 25 B . 26 C . 27 D . 28. 8、如图,小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度,已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ,眼高AB 为1.6m (即小明的眼睛距地面的距离),那么这栋楼的高是( ) A .(81035+ )m B .21.6m C . 103m D .103835?? + ? ?? ? m 9、如图,已知AB 是半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若∠DPB=α,那么CD AB 等于( ) A .sin α B .COS α C .tan α D .1 tan α 二、填空题 D C B A E C A α P D C

初三数学锐角三角函数含答案

锐角三角函数 中考要求 重难点 1.掌握锐角三角函数的概念,会熟练运用特殊三角函数值; 2.知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律; 3.同角三角函数、互余角三角函数之间的关系; 4.将实际问题转化为数学问题,建立数学模型. 课前预习 “正弦”的由来 公元五世纪到十二世纪,印度数学家对三角学作出了较大的贡献.尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具,是一个附属品,但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了.三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的,他们还造出了比托勒密更精确的正弦表. 托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表,它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的.印度数学家不同,他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应,即将AC与∠AOC对应,这样,他们造出的就不再是“全弦表”,而是“正弦表”了.印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”,是弓弦的意思;称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”.后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”,阿拉伯语是“dschaib”.十二世纪,阿拉伯文被转译成拉丁文,这个字被意译成了“sinus”.三角学输入我国,开始于明崇祯4年(1631年),这一年,邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》,作为历书的一部份呈献给朝廷,这是我国第一部编译的三角学.在《大测》中,首先将sinus译为“正半弦”,简称“正弦”,这就成了正弦一词的由来.

例题精讲 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示,在Rt ABC △中,a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边. (1)正弦:Rt ABC ?中,锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦,记作sin A ,即sin a A c =. (2)余弦:Rt ABC ?中,锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦,记作cos A ,即cos b A c =. (3)正切:Rt ABC ?中,锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切,记作tan A ,即tan a A b =. 注意: ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的,要避免应用时对任意三角形随便套用定义. ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号,是一个整体,不能理解为sin 与A 、 cos 与A 、tan 与A 的乘积. ③ 在直角三角形中,正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值,当这个锐角确定后,这些比值都是固定值. 二、特殊角三角函数 这些特殊角的三角函 数值一定要牢牢记住! 三、锐角三角函数的取值范围 在Rt ABC ?中,90C ∠=?,000a b c a c b c >>><<,,,,,又sin a A c =,cos b A c =,tan a A b =,所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>,,. 四、三角函数关系 a A

数学九年级下锐角三角函数练习题

数学九年级下锐角三角函数练习题 一、选择题(共4小题;共20分) 1. 在中,,,,则 A. B. C. D. 2. 如图,在矩形中,点在边上,沿折叠矩形,使点落在边上 的点处,若,,则的值为 3. B. D. 4. 在中,若,则的度数是 A. B. C. D. 二、填空题(共3小题;共15分) 5. 若锐角满足,则的度数为. 6. 如图,中,,,,现将折叠,使点与点 重合,折痕为,则. 7. 如图,角的顶点为,它的一边在轴的正半轴上,另一边上有一点,则 .

三、解答题(共3小题;共39分) 8. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点,与轴、轴分别交于点,,过点作轴,垂足为.若,. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)点是反比例函数图象在第三象限部分上的一点,且到轴的距离是,连接,,求的面积. 9. 在中,,,垂足为,点是延长线上一点,连接 . (1)如图,若,,求的长; (2)如图,点是线段上一点,,点是外一点,,连接并延长交于点,且点是线段的中点,求证:.

10. 在平面直角坐标系中,抛物线经过点,且与轴 正半轴交于点,与轴交于点,点是顶点. (1)填空:;顶点的坐标为;直线的函数表达式为:.(2)直线与轴相交于一点. ①当时得到直线(如图),点是直线上方抛物线上的一点.若 ,求出此时点的坐标. ②当时(如图),直线与抛物线,及轴分别相交于点,, ,,试证明线段,,总能组成等腰三角形;如果此等腰三角形底角的余弦值为,求此时的值.

答案 第一部分 1. C 2. C 3. B 4. C 【解析】由题意,得,, ,, . 第二部分 5. 6. 7. 第三部分 8. (1)由题,, , , ,, . 反比例函数的解析式为. 将,代入得: 解得 一次函数的解析式为. (2)由题设代入, . , . 9. (1)因为,,

(完整版)新人教版九年级下数学锐角三角函数测试题

人教版九年级数学下册《锐角三角函数》测试题 (满分120分,时间120分钟) 一、选择题:(每小题3分,共30分) 1、等腰三角形底边长为10cm ,周长为36cm ,则底角的正弦值为( )。 A 、 185 B 、165 C 、1513 D 、13 12 2、在直角三角形中,各边的长度都扩大3倍,则锐角A 的三角函数值( ) A 也扩大3倍 B 缩小为原来的 3 1 C 都不变 D 有的扩大,有的缩小 3、以直角坐标系的原点O 为圆心,以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点,且OP 与x 轴正方向组成的角为α,则点P 的坐标为 ( ) A (cosα,1) B (1,sinα) C (sinα,cosα) D (cosα,sinα) 4、如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm ,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ,连结BD ,若cos ∠BDC=5 3,则BC 的长是 ( ) A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 5、已知a 为锐角,sina=cos500则a 等于( ) A 20° B 30° C 40° D 50° 6、若tan(a+10°)=3,则锐角a 的度数是( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 7、在△ABC 中,∠C=90°,则下列关系成立的是( ) A. AC=ABsinA B. BC=ACsinB C. AC=ABsinB D. AC=BCtanA 8、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上,量得CD=8米,BC=20米,CD 与地面成30o角,且此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为( ) A .9米 B .28米 C .()37+米 D.() 3214+米 9、已知sin α= 2 3,且α为锐角,则α=( )。 A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10、如果∠A 是等边三角形的一个内角,那么cosA 的值等于( )。 A 、2 1 B 、 2 2 C 、 2 3 D 、1 二、填空题:(30分) 11、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =2,b =3,则cosA = .,sinB = ,tanB = . 12、直角三角形ABC 的面积为24cm 2,直角边AB 为6cm ,∠A 是锐角,则sinA = . 13、已知tan α= 12 5,α是锐角,则sin α= . 14、cos 2(50°+α)+cos 2(40°-α)-tan(30°-α)tan(60°+α)= . 15、如图,机器人从A 点,沿着西南方向,行了个42单位,到达B 点后观察 到原点O 在它的南偏东60°的方向上,则原来A 的坐标为 .(结果保留根号). 16、等腰三角形底边长10cm ,周长为36cm ,则一底角的正切值为 . 17、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米,则他离地面 米高。 18、如图,在坡度为1:2 的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 19、在△ABC 中,∠ACB =90°,cosA= 3 ,AB =8cm ,则△ABC 的面积为 . x O A y B

广州市初中数学锐角三角函数的解析

广州市初中数学锐角三角函数的解析 一、选择题 1.将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放,A 为60°角与直尺的交点,B 为光盘与直尺的交点,AB =4,则光盘表示的圆的直径是( ) A .4 B .83 C .6 D .43 【答案】B 【解析】 【分析】 设三角板与圆的切点为C ,连接OA 、OB ,根据切线长定理可得AB=AC=3,∠OAB=60°,然后根据三角函数,即可得出答案. 【详解】 设三角板与圆的切点为C ,连接OA 、OB , 由切线长定理知,AB =AC =3,AO 平分∠BAC , ∴∠OAB =60°, 在Rt △ABO 中,OB =AB tan ∠OAB =43, ∴光盘的直径为83. 故选:B . 【点睛】 本题主要考查了切线的性质,解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数. 2.如图,AB 是O e 的弦,直径CD 交AB 于点E ,若3AE EB ==,15C ∠=o ,则OE 的长为( ) A 3 B .4 C .6 D .33

【答案】D 【解析】 【分析】 连接OA .证明OAB ?是等边三角形即可解决问题. 【详解】 如图,连接OA . ∵AE EB =, ∴CD AB ⊥, ∴??AD BD =, ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o , ∴60AOB ∠=o , ∵OA OB =, ∴AOB ?是等边三角形, ∵3AE =, ∴tan 6033OE AE =?=o , 故选D . 【点睛】 本题考查圆周角定理,勾股定理,垂径定理,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 3.如图,在等腰直角△ABC 中,∠C =90°,D 为BC 的中点,将△ABC 折叠,使点A 与点D 重合,EF 为折痕,则sin ∠BED 的值是( ) A 5 B .35 C 2 D .23 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???,再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性

中考数学锐角三角函数综合经典题含答案

中考数学锐角三角函数综合经典题含答案 一、锐角三角函数 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°

在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案. 试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°, ∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,

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