人教A版高一数学上册第一章集合与函数概念测试题及答案解析

第一章 集合与函数概念

一、选择题

1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ?B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1}

B ．{a |a ≤1}

C ．{a |a ≥2}

D ．{a |a ＞2}

3．A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A B A =，

则m 的取值集合是( )． A ．??????21－ ，3

1

B ．??????21－ ，31－ ，0

C ．???

???21－ ，3

1 ，0 D ．??????21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P )

B ．M ∩(P ∩I N )

C ．P ∩(I N ∩I M )

D ．(M ∩N )∪(M ∩P )

5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝?

??

?

?

?1＝2

－3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )．

A ．?

B ．{(2，3)}

C ．(2，3)

D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}

6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0

B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x

x 2

－1

C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4

D ．f (x )＝x 3，g (x )＝39

x

7．函数f (x )＝x 1

－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称

B ．直线y ＝－x 对称

C ．坐标原点对称

D ．直线y ＝x 对称

8．函数f (x )＝1

1＋x 2

(x ∈R )的值域是( )．

A ．(0，1)

B ．(0，1]

C ．[0，1)

D ．[0，1]

9．已知f (x )在R 上是奇函数，f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝

(第4题)

( )．

A ．－2

B ．2

C ．－98

D ．98

10．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图象与f (x )的图象重合．设a ＞b ＞0，给出下列不等式：

①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ). 其中成立的是( )．

A ．①与④

B ．②与③

C ．①与③

D ．②与④

二、填空题

11．函数x x y +-=1的定义域是 ．

12．若f (x )＝ax ＋b (a ＞0)，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (3)＝ ．

13．已知函数f (x )＝ax ＋2a －1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a 的取值范围是 ．

14．已知I ＝{不大于15的正奇数}，集合M ∩N ＝{5，15}，(I M )∩(I N )＝{3，13}，M ∩(I N )＝{1，7}，则M ＝ ，N ＝ ．

15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}且B ≠?，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是_________．

16．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝ ．

三、解答题

17．已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{ x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，且?(A ∩B )，A ∩C ＝?，求a 的值．

18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则

a

－11

∈A ，a ≠1且1

A ． (1)若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素．

∈

(2)A 能否为单元素集合？请说明理由． (3)若a ∈A ，证明：1－a

1

∈A ．

19．求函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上的最小值．

20．已知定义域为R 的函数f (x )＝a

b

－x x ＋2＋21＋是奇函数．

(1)求a ，b 的值；

(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．A

解析：条件U A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有?，{0}，{1}，故正确选项为A．

2．D

∈解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2 B，故不

满足条件A?B，所以，正确选项为D．

3．C

解析：据条件A∪B＝A，得B?A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合?，{－3}，

{2}，所以，m的取值集合是C．

4．B

解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正

确选项为B．

5．B

解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是

坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，

3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故

正确选项为B．

6．D

解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两

函数的定义域不同，正确选项为D．

7．C

解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选

项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象

上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．

8．B

解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取

值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．

9．A

解析：利用条件f (x ＋4)＝f (x )可得，f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，再根据f (x )在R 上是奇函数得，f (7)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A ．

10．C

解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x )，g (x )在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．

二、填空题

11．参考答案：{x | x ≥1}．

解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：

3

19． 解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0)，解得

a ＝2，

b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31

，于是f (3)＝3

19．

13．参考答案：??

?

?? 21，．

解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0． (1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0． 综上得实数a 的取值范围是??

?

?? 21，． 14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．

解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N )＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．

15．参考答案：(2，4]．

解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组??

?

??7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥

1＋m m m m ，解得m 的取

值范围是(2，4]．

16．参考答案：x (1－x 3)．

＋∞ ＋∞

解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)， ∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，

即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3)． 三、解答题

17．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}， ∴由A ∩C ＝?知，－4 ，2 A ； 由?(A ∩B )知，3∈A ．

∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．

当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝?矛盾． 当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1)∵ 2∈A ，

∴a －11＝2－11

＝－1∈A ； ∴a －11＝1＋11＝21∈A ； ∴

a －11＝2

1

－11＝2∈A ． 因此，A 中至少还有两个元素：－1和2

1． (2)如果A 为单元素集合，则a ＝a

－11

，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集．

(3)证明： a ∈A ?

a －11∈A ? a

1－1－

11∈A ?1＋－1－1a a ∈A ，即1－a 1

∈A ．

19．参考答案： f (x )＝22

2??? ?

?

a x －＋3－22a ．

(1)当

2

a

＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ； (2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为??

?

??2a f ＝3－22a ；

∈A ∈

(3)当

2

a

＞1，即a ＞2时，f (x )的最小值为f (1)＝5－2a ． 综上可知，f (x )的最小值为???

?

?????．＞ ，－，

≤≤ ，－，＜－ ，

＋22522232252

a a a a a a － 20．参考答案：(1)∵函数f (x )为R 上的奇函数， ∴ f (0)＝0，即

a

b

2＋－1＋＝0，解得b ＝1，a ≠－2， 从而有f (x )＝

a

x x ＋2

1＋2－＋1

．

又由f (1)＝－f (－1)知a

4＋＋1

2－＝－a 1＋＋1

21－，解得a ＝2．

(2)先讨论函数f (x )＝

2

＋21＋2－＋1x x ＝－

21

＋1

＋21x 的增减性．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝

1

＋212

x －

1

＋211

x ＝

)

)((1＋21＋22－21

2

2

1x x x x ，

∵指数函数2x 为增函数，∴212－2x x ＜0，∴ f (x 2)＜f (x 1)， ∴函数f (x )＝

2

＋21＋2－＋1x x 是定义域R 上的减函数．

由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0得f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )， ∴ f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )，∴ t 2－2t ＞－2t 2＋k (*)． 由(*)式得k ＜3t 2－2t ．

又3t 2－2t ＝3(t －31)2－31≥－31，∴只需k ＜－31，即得k 的取值范围是??

? ??

31－ －∞，．