历年高考数学真题-2005年高考文科数学(湖北卷)试题及答案

2005湖北卷试题及答案

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分 考试时间120分钟

第I 部分（选择题 共60分）

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.

3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若

}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ） A ．9 B ．8

C ．7

D ．6

2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：

①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是（ ） A ．[－4，6] B ．[－6，4] C ．[－6，2] D ．[－2，6] 4．函数|1||

|ln --=x e

y x 的图象大致是

（ ）

A B C D

5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）

A ．60倍

B ．6030倍

C ．120倍

D ．12030倍

6．双曲线)0(12

2≠=-mn n

y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）

A ．

16

3 B ．

8

3 C ．

3

16 D ．

3

8

7．在x y x y x y y x 2co s

,,lo g ,22

2====这四个函数中，当1021<<

)

()()2(

2121x f x f x x f +>

+恒成立的函数的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：

①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ?；

④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；

⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.

其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

9．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1

张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 10．若∈<<=+απ

αααα则),2

0(tan cos sin （ ）

A ．)6

,

0(π

B ．)4

,6(

ππ C ．)3,4(

ππ D ．)2,3(π

π 11．在函数x x y 83

-=的图象上，其切线的倾斜角小于4

π的点中，坐标为整数的点的个数

是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

12．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方

法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上

13．函数x x x x f ---=

4lg 3

2

)(的定义域是 14．8

4

3)1()2(x

x x x +

+-的展开式中整理后的常数项等于 15．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35

千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知向量b a x f t x b x x a ?=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围

18．（本小题满分12分）

在△ABC 中，已知63,3

1

cos ,3tan ===

AC C B ，求△ABC 的面积

19．（本小题满分12分）

设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n

n

n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n

20．（本小题满分12分）

如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中

AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1 （Ⅰ）求BF 的长；

（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离

1

21．（本小题满分12分） 某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换 （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字） 22．（本小题满分14分）

设A 、B 是椭圆λ=+2

23y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的

垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由

2005湖北卷试题及答案

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分

1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分

13．)4,3()3,2[? 14．38 15．2

1

2-

π 16．500 三、解答题

17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基

本函数的性质分析和解决问题的能力.

解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=

.23)(2t x x x f ++-='则

.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若

,

23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥?≥'∴考虑函数上恒成立在区间,3

1

)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间

（－1，1）上恒成立?.5),1(≥-≥t g t 即

.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t

≥t t 的取值范围是故

解法2：依定义,)1()1()(2

32t tx x x x t x x x f +++-=++-=

.

0)()1,1(,)1,1()(.

23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若

)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，

时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f

.

5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在

18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力

解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，

.2

1cos ,23sin ,60,3tan ==

∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=

-=C C 82

3

2263sin sin =?==B C b c . .3

263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=

+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 2

1

+==

?A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得

222221

2cos ,546428,8100.2

b a

c ac B a a a a =+-=+-??∴-+=即

124460,090,30120.

a a B C A ===<<∴<< 所得

1

,sin sin 303,sin sin sin sin 2

a b b b a A A B B B ==?>?==> 由

得

243,,4a a ==而舍去故

故所求面积.3826sin 2

1

+==

?B ac S ABC 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.

解：（1）：当;2,1

11===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当

故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4

1,4,,11=

∴==q d b qd b q 则 故.4

2}{,4

121

1

1

1---=?

-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即

（II ）,4)12(422411

---=-==n n n

n n n n b a c ]

4)12(4

)32(454341[4],4)12(45431[1

3

2

12121n

n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--

两式相减得

].

54)56[(9

1

]

54)56[(31

4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T

20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理

运算能力 解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.

∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2.

.6222=+=∴DF BD BF

（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG. 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，

由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且 AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离

.11

33

417

12317

123,17

121743cos 3cos 3,.

17,1,2

2

1

1

221=+

?

=

?=

∴=?

===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CG

BG

CC EB 知由从而可得由

解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，

.

62,62||).

2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,

11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴

（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，

1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然?

??=+?+?-=+?+??????=?=?02020140,0,011y x y x n n 得由

1

??

???-==∴???=+-=+.

41,

1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则 .33

33

4116

1

133cos 1111=++

?=

?=

n CC α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11

33

4333343cos ||1=?

==αCC d 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题

能力

解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2. 所以寿命为1～2年的概率应为p 1-p 2. 其分布列为：

寿命 0～1 1～2 2～ p 1-P 1 P 1-p 2 P 2

（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,5

1p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213

125p p C -

（II ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个

独立事件的和事件：

①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；

②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1-p 2。 故所求的概率为23112(1)();p p p p =-+-

（III ）由（II ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率23112(1)()p p p p =-+-＝0.54.

在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况: ①换5只的概率为p 35＝0.545=0.046；

②换4只的概率为1

453C p （1-p 3）＝5×0.544(1-0.54)=0.196，

故至少换4只灯泡的概率为: p 4=0.046+0.196=0.242. 即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.242. 注：本题的（II ）、（III ）答案与提供的高考标准答案不一致，共大家参考讨论。 22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.

（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=2

2

3,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(2

2

2

=--+--+λk x k k x k ①

设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，

0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ②

)3,1(.3

)

3(22

21N k k k x x 由且+-=

+是线段AB 的中点，得 .3)3(,12

22

1+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A

.0))(())((33,

3212121212

2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ

λ 依题意，.)

(3,2

12121y y x x k x x AB ++-

=∴≠

.

04),1(3).

,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ

（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分

代入椭圆方程，整理得.04442

=-++λx x ③

是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，

34034001131,(),2,222x x x x x y x ∴+=-=

+=-=+=且13(,).22

M -即 于是由弦长公式可得 ).3(2||)1

(1||432

-=-?-+=λx x k

CD ④

将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x

.016842=-+-λx x ⑤

同理可得 .)12(2||1||212

-=

-?+=λx x k AB ⑥

.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当

假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为

.2232

|

42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

.|2

|2321229|2|

||||2

2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2|

|CD 为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A 、

B 、

C 、

D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ?=?

).2

|

|)(2||()2||(

2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212

-λ 由④和⑦知，⑧式右边=)2

2

32)3(2)(2232)3(2(--+-λλ

,2

12

292

3

-=-

-=

λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆 解法2：由（II ）解法1及12>λ.

,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得

.04442=-++λx x ③

将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得

.016842=-+-λx x ⑤

解③和⑤式可得 .2

3

1,2122,4,321-±-=-±-

λλx x

不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A

∴)2

12

33,23123(

---+-+-+=λλλλCA

)2

12

33,23123(

-------+=λλλλ

计算可得0=?DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上

又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆 （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）