2017届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期末考试数学(理)试题

大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试

高三数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.集合(){}

{}

lg 11,11M x x N x x =-<=-≤≤，则=?N M ( ) A ．()19，-

B ．(]19，-

C ．[]11，-

D ．[)11，-

2．复数z 满足(1)1z i i -=--，则=+2z ( ) A ．3 B ．1 C ．

D ．5

3．等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数2(x)43f x x =-+的两个零点，则{}n a 的前9项和等于( ) A ．﹣18 B ．9 C ．18 D ．36

4．圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线210ax by -+=()00a b >>，对称，则b

a 4

1+的最小值为( ) A ．3+2

B ．9

C ．16

D ．18

5．己知6

0π

-=x 是函数()sin(2)f x x ?=+的一个极小值点，则()f x 的一个单调递减区间是( )

A ．???

??653ππ， B ．??? ??326ππ， C ．??? ??ππ，2 D ．??

? ??ππ，32 6．下列说法中正确的个数是( )

（1）从一批产品取出三件产品，设事件A =“三件产品全是次品”，事件B =“三件产品全是正品”，事件

C =“三件产品不全是次品”，,,A B C 中任何两个均互斥；

（2）已知a ，b 都是实数，那么“b a >”是“b a ln ln >”的充要条件； （3）若命题p ：)2,

0(π

∈?x ，0sin <-x x ，则p ?：)2

,0(π

∈?x ，0sin ≥-x x ；

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7.将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有 ( ) A ．24 B ．28 C ．32 D ．36

8. 设n 为正整数，n

x x x ???? ?

?-1展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )

A ．8

B ．6

C ．5

D ．2

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是( ) A ．

B ．

C ．

D ．

10. 已知实数x ，y 满足约束条件+104312020x y x y y -≥??

+-≤??-≥?

，则

12

3++-=

x y x z 的最大值为( )

A ．59

B ．23

C ．1625

D ．4

9

11. 过双曲线()0,0122

22>>=-b a b y a x 的右焦点F 做圆222a y x =+的切线，切点为M ,切线交y 轴于

点P ,且2=，则双曲线的离心率为( )

A ．2

B ．3

C ．2

D ．5

12.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有)(2)(2

x f x x f --=，当(),0x ∈-∞时，

x x f 21)(<+'.若44)()2(++-≤+m m f m f ，则实数m 的取值范围是( )

A ．1,2??-

+∞???? B ．3,2??

-+∞????

C ．[)1,-+∞

D ．[)2,-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分)

13. 在ABC ?中，

90=∠A ，42==AC AB ，，F E ,分别为BC AB ,的中点，则=? ．

14. 已知θ是第四象限角，且3

sin()=45

π

θ+

，则=θcos ． 15. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若=,12=?，则抛物线的方程为 ．

16. 已知函数???<-≥=0

,0,)(x xe x x x f x

，方程)(01)()(2

R t x tf x f ∈=++有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围为 ．

三. 解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，21=a ，

n n a a 121-=+，数列{}n b 中，1

1-=n n a b ，其中*

N n ∈

；

（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）若n S 是数列{}n b 的前n 项和，求n

S S S 1

1121+

++ 的值．

18. （本小题满分12

分）已知函数2

1

()cos cos 2

f x x x x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；

（2）将函数()f x 的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移

3

π

个单位，得函数g()x 的图象．若c b a ,,分别是ABC ?三个内角C B A ,,的对边，6c =+a ，且g()0B =，求b 的取值范围．

19.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是

45，生产乙产品为正品的概率是3

4

；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响。 生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：

（Ⅰ）记X 为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．

20.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为边长为2的正方形，四边形11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=?，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ， 点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点. （1）求证： EF ∥平面ABC ； （2）求二面角1B AC C --的余弦值.

21.（本小题满分12分）已知椭圆:C ()0122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21F F ，，抛物线

x y 42=与椭圆C 有相同的焦点，且椭圆C 过点??

?

??23,1．

（I ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若椭圆C 的右顶点为A ，直线l 交椭圆C 于E 、F 两点

（E 、F 与A 点不重合），且满足AF AE ⊥，若点P 为EF 中点，求直线AP 斜率的最大值．

1

1

22.（本小题满分12分）已知函数1ln )(++=x

b

x a x f ，曲线()y f x =在点)2,1(处切线平行于x 轴. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）当1x >时，不等式x k x x f x ln )()()1(->-恒成立，求实数k 的取值范围.

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高三数学（理）试题参考答案

1-12 DDCDA BBCDA BC

13. -7 ； 15.

22y x

= 16. 1(,)e e

-∞--

17．解：（1）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2﹣

，数列{b n }中，b n =

，其中n ∈N *

．

∴b 1=1，∵b n+1===，b n+1﹣b n ═﹣=1=常数，

∴数列{b n }是等差数列，首项为1，等差为1， （2）b n =1+n ﹣1=n ，

S n =（1+2+3+4+…n）=

(1)

2

n n +，∴=

2

(1)

n n +=2（

），

即++…+=2（1）=2（1﹣）=

21

n

n +， 18．解：（Ⅰ）函数f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2

x ﹣=

sin2x ﹣（1+cos2x ）﹣=sin （2x ﹣

）﹣1，

则对称轴为23

k x ππ

=

+ k ∈Z ，周期为π

所以函数f （x ）的对称轴为23

k x ππ

=

+，k ∈Z ；周期为π

（Ⅱ）函数f （x ）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin （x ﹣）﹣1的图

象， 再向左平移

个单位，得函数y=sin （x+

﹣

）﹣1的图象，

所以函数F （x ）=sin （x+）﹣1；又△ABC 中，a+c=6，

()0

g B =所以

，

所以

；由余弦定理可知，

b 2

=a 2

+c 2

﹣2ac?cos =a 2

+c 2

﹣ac=（a+c ）2

﹣3ac ≥36﹣3?

=9，

当且仅当a=c=3时取“=”，所以b ≥3；又b ＜a+c=6，所以b 的取值范围是[3，6）． 19.（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90，45，30，﹣15.

； ；

；

．

所以，随机变量X 的分布列为：

．

（ⅱ）设“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”为事件A ， 则43

34441512

()()()

5

55625

P A C =+=…（12分） 20.( Ⅱ)以B 为坐标原点，1

,BA BB

分别为x 轴，y 轴正方向

两个平面的法向量分别为

(0,和

21. （Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b==，

则椭圆的标准方程为+=1；

（Ⅱ）设直线AE 的方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k 2

）x 2

﹣16k 2

x+16k 2

﹣12=0， 由2+x E =

，可得x E =

，y E =k （x E ﹣2）=

，

由于AE ⊥AF ，只要将上式的k 换为﹣，可得x F =，y F =，

由2=+，可得P 为EF 的中点，

即有P （

，

），

则直线AP 的斜率为t==，

当k=0时，t=0；当k ≠0时，t=，

再令s=﹣k ，可得t=，当s=0时，t=0；当s ＞0时，t=≤=，

当且仅当4s=时，取得最大值；

综上可得直线AP 的斜率的最大值为

．

22. （Ⅰ）()2

a b

f x x x =

- ′，且直线2y =的斜率为0，又过点()1,2， ∴()()12

1

12

f f ?=?

?=??′ 即1,0,b a b =??-=?解得1,1a b ==. （Ⅱ）当1x >时，不等式

()

()()()()22ln 11

1ln ln 1ln 01

x k x x x f x x x x k x k x x x x

--->

?-+>-?-+>-. 令()()()()2

22

11

1111ln ,12x k x x k g x k x g x x x x x +-+--=-+=

++=′， 令()()2

11m x x k x =+-+，

①当

112

k

-≤，即1k ≥-时，()m x 在()1,+∞单调递增且()10m ≥，所以当1x >时()0g x >′，()g x 在()1,+∞单调递增，∴()()10g x g >=.即()

()ln 1

x k x f x x ->

-恒成立.

②当

112k ->，即1k <-时，()m x 在11,2k -?? ???上单调递减，且()10m <，故当11,2k x -??

∈ ???

时，()0m x <即()0g x <′， 所以函数()g x 在11,

2k -??

???

单调递减， 当11,

2k x -??

∈ ???

时，()0g x <，与题设矛盾，

综上可得k 的取值范围为[)1,-+∞.