初中三角函数知识点总结及典型习题

初中三角函数知识点总结及典型习题
初中三角函数知识点总结及典型习题

初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题

1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2

3

5、30°、45°、 6 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性:

当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,

1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。

依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例:

(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。

A 90

B 90∠-?=∠?

=∠+∠得由B A

对边

邻边

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示,即h i l

=。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h

i l

α=

=。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。

例1:已知在Rt ABC △中,3

90sin 5

C A ∠==°,,则tan B 的值为( )

A .43

B .45

C .54

D .

34

【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理,在RT ΔABC 中,∠C=90°,则sin a A c =

,tan b

B a

=和222a b c +=;由3s i n 5A =知,如果设3a x =,则5c x =,结合222a b c +=得4b x =;∴44

tan 33

b x B a x ===,

所以选A .

例2

:104cos30sin 60(2)2008)-??+--=______.

【解析】本题考查特殊角的三角函数值.零指数幂.负整数指数幂的有关运算,

104cos30sin 60(2)2008)-??+--

=134122

??--= ???,故填3

2.

1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( C )

A .8米 B

. C

D

:i h l =h

l

α

2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上,测得它与地面的夹角是40°,则梯子底端到墙的距离为( B )

A.5sin40°B.5cos40°C.

5

tan40°

D.

5

cos40°

3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平

线,∠ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( B )

A

m B.4 m

C

..8 m

4. 河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比是

面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是( A )

A

.米 B. 10米

C.15米 D

5.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,∠EDC∶∠EDA=1∶3,且AC=10,则DE的长度是( D )

A.3 B.5 C.2

5D.

22

5

6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m,则电梯楼的高BC为 82.0 米(精确到

0.1).

1.414

1.732)

7. 如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋大楼顶部B的俯

角为30°,看这栋大楼底部C的俯角为60°,热气球A的高度为240米,求这栋大楼的高度.

解:过点A作直线BC的垂线,垂足为点D.

则90

CDA

∠=°,60

CAD

∠=°,30

BAD

∠=°,CD=240米.

在Rt ACD

△中,tan

CD

CAD

AD

∠=,

D

B

tan60

CD

AD

∴===

°

在Rt ABD

△中,tan

BD

BAD

AD

∠=,

tan3080

BD AD

∴===

·°.

∴BC CD BD

=-=240-80=160.

答:这栋大楼的高为160米.

8. 如图所示,城关幼儿园为加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°,已知原滑滑板AB的长为4米,点D、B、C在同一水平面上.

(1)改善后滑滑板会加长多少米?

(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?请说明理由.

(参考数据:141

.1

2=,732

.1

3=,449

.2

6=,以上结果均保留到小数点后两位.)解:(1)在Rt△ABC中,∠ABC=45°

∴AC=BC=AB·sin45°=2

2

2

2

4=

?

在Rt△ADC中,∠ADC=30°

∴AD= 2

4

2

1

2

2

30

sin

=

÷

=

o

AC

∴AD-AB=66

.1

4

2

4≈

-

∴改善后滑滑板会加长约1.66米.

(2)这样改造能行,理由如下:

∵989

.4

6

2

3

3

2

2

30

tan

=

÷

=

=

o

AC

CD

∴07

.2

2

2

6

2≈

-

=

-

=BC

CD

BD

∴6-2.07≈3.93>3

∴这样改造能行.

9

.求值

1

1

2|20093tan30

3

-

??

+--+

?

??

° 1.解:原式

= 2133

-++6

=

10. 计算:

2009

1

2sin603tan30(1)

3

??

-++-

?

??

°°

2.原式

=2311

23

?-?+-=0.

三角函数知识点及题型归纳

三角函数高考题型分类总结 一.求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->,则cos θ= . 2.α是第三象限角,2 1)sin(= -πα,则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -,,则αcos = tan 2α= 4.下列各式中,值为 2 3 的是 ( ) (A )2sin15cos15?? (B )?-?15sin 15cos 22(C )115sin 22-?(D )?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ,则α的取值范围是: ( ) (A),32ππ?? ??? (B),3ππ?? ??? (C)4,33ππ?? ??? (D)3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+,02 x π ≤< ,则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-,则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ,,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 . 6.将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位,所得图像关于y 轴对称,则n 的最小正值是 A . 6π7 B .3π C .6π D .2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( ) A .1 B .2 C .3 D .2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( ).

上海高一反三角函数典型例题

反三角函数典型例题 例1:在下列四个式子中,有意义的为__________: 解:(4)有意义。 (1)(2)arcsin 4 π ;(3)sin(arcsin 2);(4)arcsin(sin 2)。 点评:arcsin x ——x [1,1]∈-。 例2:求下列反正弦函数值 (1)= 解:3 π (2)arcsin 0= 解:0 (3)1arcsin()2-= 解:6π- (4)arcsin1= 解:2 π 点评:熟练记忆:0,1 2 ±、,,1±的反正弦值。 思考:1sin(arcsin )24 π +该如何求? 例3:用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x (1)sin x = ,x [,]22ππ ∈- 解:x = 变式:x [,]2 π ∈π? 解:x [,]2π ∈π时,π-x [0,]2 π∈,sin(π-x)=sinx ∴π-x =,则x =π- 变式:x [0,]∈π? 解:x =x =π-(2)1sin x 4=-,x [,]22ππ∈- 解:1 x arcsin 4 =- 变式:1 sin x 4=-,3x [,2]2π∈π 解:3x [,2]2π∈π时,2π-x [0,]2 π∈,sin(2π-x)=-sinx =1 4 ∴2π-x =arcsin 14,则x =2π-arcsin 1 4 点评:当x [,]22ππ ∈-时,x arcsin a =;而当x [,]22ππ?-,可以将角转化到区间[,]22 ππ-上,

再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。 练习: (1)sin x = ,x [,]22ππ ∈- 解:x 3π= (2)sin x =,x [0,]∈π 解:x arcsin =x =π-(3)3sin x 5=-,3x [,]22ππ∈ 解:3 x arcsin 5 =π+ 例4:求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。 解:由152x 1-≤-≤,则x [2,3]∈,arcsin(52x)[,]22ππ-∈-,则y [,]∈-ππ。 变式:y sin x arcsin x =+ 解:x [1,1]∈-,y [sin1,sin1]22 ππ ∈--+ 思考:当3x [,]44 ππ ∈-时,求函数y arcsin(cos x)=的值域。 解:当3x [, ]44ππ∈-时t cos x [=∈,而y arcsin t =为增函数,则y [,]42 ππ∈-。 例5:求下列函数的反函数 (1) y sin x =,x [,]2 π∈π 解:y [0,1]∈,x [,0]2 π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-,则x arcsin(y)-π=-, 则x arcsin y =π-,则反函数是1f (x)arcsin x -=π-,x [0,1]∈。 (2) y arcsin x =,x [0,1]∈ 解:y [0,]2π∈,x sin y =,则反函数是1f (x)sin x -=,x [0,]2 π∈。

高中三角函数典型例题(教用)

【典型例题】: 1、已知2tan =x ,求x x cos ,sin 的值. 解:因为2cos sin tan == x x x ,又1cos sin 22=+a a , 联立得???=+=,1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=???????==x x x x 2、求) 330cos()150sin()690tan() 480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值。 解:原式) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o ο οοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3、若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ,求x x cos sin 的值. 解:法一:因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=- 得到x x cos 3sin -=,又1cos sin 22=+a a ,联立方程组,解得 ,,??? ??? ?=-=???????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =10 3 cos sin x x 法二:因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-, 所以2 2)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-,所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-,

高一三角函数题型总结

1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法:①画直角三角形 ②利用勾股定理先算大小后看正负 例题:1.已知α∠为第二象限角,13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角,3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2. 2. 3. 4.利用“加减πk 2”大角化小角,负角化正角,求三角函数值 例题:求值:sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133 π= ;

1.已知sin α=4 5 ,且α为第二象限角,那么tan α的值等于 ( ) (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ,则cos α-sin α的值为 ( ) 33 (D)± 3 3.) 4. ) 5.) * 6.)

三角函数诱导公式 诱导公式可概括为把 απ ±?k 2 的三角函数值转化成角α的三角函数值。(k 指奇数或者偶数, α相当锐角) 口诀“奇变偶不变,符号看象限。”其中奇偶是指2 π 的奇数倍还是偶数倍,变与不变指函数名称的变化。 公式一:=+)2sin(απk =+)2c o s (απk =+)2t a n (απk

三角函数诱导公式练习题 1.若(),2,5 3 cos παππα<≤= +则()πα2sin --的值是 ( ) A . 53 B . 53- C . 54 D . 5 4 - 2.sin (-6 π 19)的值是( ) A 3 6 )= . 10.α是第四象限角,,则αsin 等于________. 13 12 cos =α

三角函数知识点及典型例题

三角函数知识点及典型例题 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合:{} |360,S k k Z ββα==+?∈ . §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l =α. 3、弧长公式: R 4、扇形面积公式: S=21 lr=2 1αr 2. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么: x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点,那么:(设2020y x r +=) _______ sin r y =α,________cos r x =α,_____tan x y =α. 3、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余 和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一: ()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k (Z k ∈) 5、 特殊角0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系:2 2 sin cos 1αα+=.2、 商数关系:sin tan cos α αα =. §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二:()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 2、诱导公式三:()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四: ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五:._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=?? ? ??-=??? ??-

反三角函数典型例题

精品文档 5 5 (1) sin x 解: (2) sin x [0,] 解: (3) sin x 处] 解: 3 ?胚或 arcs in 或 x 3 .3 arcsin .3 arcsin - 3 反三角函数典型例题 例2:求下列反正弦函数值 1 sin( arcs in )该如何求? 2 4 用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 变式:x [一,]? 2 解: x [2,] 时,n —x 【°,2], sin( n — x) =sinx = £ ? n — x = arcsin —3 ,贝U x = n — arcsin — 3 5 5 解: x = arcsin — 3 或 x = n — arcsin —3 5 例1:在下列四个式子中,有意义的为 解:(4)有意 义。 (1) arcs in . 2 ; (2) arcsin _ ; (3) 点评:arcsinx 4 1,1]。 sin( arcs in 2) ; ( 4) arcsin(sin2)。 (1) arcsin - 2 (2) arcsin0 解:0 (3) arcsin(-) 2 点评: 1 熟练记忆:0,- 2 解:- 6 2, (4) arcs ini 1的反正弦值。 思考: (1)sinx £,x [ -,^] 解: .43 x = arcs in 5 变式:x [0, ]? ⑵ sin x - 4 变式:si nx 2 2 x [—,2 ] 2 解: .1 arcs in 4 3 解:x [ ,2 2 ]时,2 - x [0,2], 1 sin( 2 n — x) = — sinx =— 4 2 n — x = 1 山 arcs in ,贝U x = 2 n — arcs in — 点评:当 x [ 2, 2 ] 时, x arcsina ;而当 处理对应角之三角比值即可。 [舊],可以将角转化到区间[ 形]上,再用诱导公式 练习:

高中数学基础知识典型例题4——三角函数

高中数学基础知识典型例题4——三角函数

数学基础知识与典型例题 第四章三角函数 三 角 函 数 相 关 知 识 关 系 表 角的概念1.①与α(0°≤α<360°)终边相 同的角的集合 (角α与角β的终边重 合):{}Z k k∈ + ? =, 360 |α β β ; ②终边在x轴上的角的集 合:{}Z k k∈ ? =, 180 | β β; ③终边在y轴上的角的集合: {}Z k k∈ + ? =, 90 180 | β β; ④终边在坐标轴上的角的集 合:{}Z k k∈ ? =, 90 | β β. 2. 角度与弧度的互换关系: 360°=2π180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数, 例1.已知2弧度的圆心 角所对的弦长为2,那么 这个圆心角所对的弧长 为( ) ()2 A ()sin2 B 2 () sin1 C ()2sin1 D 例 2. 已知α为第三象 限角,则 2 α 所在的象限 是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 负角的弧度数为负数,零角的 弧度数为零,熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下,扇形弧长公式 1 2 r α =,扇形面积公 式2 11 || 22 S R Rα ==,其中α为弧所对圆心角的弧 度数。 三 角 函 数 的 定 义 1.三角函数定义:利用直角坐标系,可以把直角三角 形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边 上任取一点(,) P x y(与原点不重合),记 22 || r OP x y ==+, 则sin y r α=,cos x r α=,tan y x α=,cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关,由 角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式:即 2 kπ αα ±→或 90 2 k αα ±→ 之间函数值关系() k Z ∈,其规律是“奇变偶不变, 符号看象限”;如sin(270) α -=cosα - ②同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商 数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各 种三角函数值的一种图示方法.如单位圆 例 3.已知角α的终边经 过P(4,-3),求 2sinα+cosα的值. 例 4.若α是第三象限 角,且cos cos 22 θθ =-, 则 2 θ 是( ) ()A第一象限角 ()B第二象限角 () C第三象限角 () D第四象限角 例5. 若cos0, θ>sin20, θ< 且

三角函数题型学霸总结(含答案)-

三角函数题型学霸总结(含答案) 阳光老师:祝你学业有成 一、选择题(本大题共30小题,共150.0分) 1.点在函数的图象上,则m等于 A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦函数的性质,属于基础题由题意知,求得m 的值. 【解答】解:由题意知, 所以, 所以. 2.用五点法画,的图象时,下列哪个点不是关键点 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角函数图象的作法,属于基础题. 熟练掌握五点法作图即可. 【解答】 解:用“五点法”画,的简图时, 横坐标分别为, 纵坐标分别为0,1,0,,0, 故选A. 3.函数y x,x的大致图象是

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数的图像,属于基础题利用“五点法”画出函数图像即可得出答案. 【解答】 解:“五点法”作图: x0 0100 10121 故选B. 4.用“五点法”作出函数的图象,下列点中不属于五点作图中的五个关 键点的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角函数图象的画法以及余弦函数的性质,属于基础题. 分别令,,,,得,3,4,3,2,即可得到五点,再对照选项,即可得到答案. 【解答】 解:,分别令,,,,得,3,4,3,2,

所以五个关键点为,,,,, 可知A不属于. 故选A. 5.已知函数的图象与直线 恰有四个公共点,,,,其中,则 A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了三角函数图象的作法及利用导数求函数图象的切线方程,属于较难题. 由三角函数图象及利用导数求函数图象的切线方程可得:切点坐标为,切线方程为:,又切线过点,则,即,得解. 【解答】 解:由 得 其图象如图所示,

三角函数知识点总结及练习题

高中数学必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制: (1)在直角坐标系内讨论角: 注意:若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。 (2)①与α角终边相同的角的集合:},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合: ; 与α角终边关于x 轴对称的角的集合: ; 与α角终边关于y 轴对称的角的集合: ; 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合: (3)区间角的表示: ①象限角:第一象限角: ; 第四象限角: ; 第一、三象限角: ; ②写出图中所表示的区间角: (4)由α的终边所在的象限, 来判断2α所在的象限,来判断3 α所在的象限 (5)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零; 任一角α的弧度数的绝对值r l =||α,其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。 (6)弧长公式: ;半径公式: ;扇形面积公式: ; 练习:已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。(22cm ) 二、任意角的三角函数: (1)任意角的三角函数定义: 以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系 I )在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则=αsin ;=αcos ;=αtan (注意r>0) 练习:已知角α的终边经过点P(5,-12),则ααcos sin +的值为__。 角α的终边上一点)3,(a a -,则=+ααsin 2cos 。 II )作单位元交角α的终边上点),(y x P ,则=αsin ;=αcos ;=αtan (2)在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切 线; 练习: (1)若α为锐角,则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ (sin tan ααα<<) (2)函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33x k x k k Z ππππ??∣- <≤+∈???? (3)特殊角的三角函数值: 三、同角三角函数的关系与诱导公式: (1)同角三角函数的关系

(完整word版)反三角函数典型例题.docx

反三角函数典型例题 例 1:在下列四个式子中,有意义的为 __________: 解:( 4)有意义。 ( 1) arcsin 2 ;( 2) arcsin ;( 3) sin(arcsin 2) ;( 4) arcsin(sin 2) 。 4 点评: arcsin x —— x [ 1,1]。 例 2:求下列反正弦函数值 ( 1) arcsin 3 解: ( 2) arcsin0 解: 0 2 3 ( 3) arcsin( 1) 解: (4) arcsin1 解: 2 6 2 点评:熟练记忆: 0, 1 2 3 、 , , 的反正弦值。 2 2 2 1 思考: sin(arcsin 1 4) 该如何求? 2 例 3:用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 x (1) sin x 3 , x [ , ] 3 5 解: x = arcsin 2 2 5 变式: x [ , ] ? 2 解: x [ , ] 时, π- x [0, 3 ] , sin(π- x)= sinx = 2 2 5 ∴ π- x = arcsin 3 ,则 x =π- arcsin 3 5 5 变式: x [0, ] ? 解: x =arcsin 3 或 x = π-arcsin 3 5 5 (2) sin x 1 , x [ , ] 解: x arcsin 1 4 2 2 4 变式: sin x 1 , x [ 3 ,2 ] 4 2 解: x [ 3 ] 时, 2π- x [0, ] , sin(2π- x)=- sinx = 1 ,2 4 2 2 ∴ 2π- x = arcsin 1 ,则 x =2π- arcsin 1 4 4 点评: 当 x [ , ] 时, x arcsina ;而当 x [ , ] ,可以将角转化到区间 [ , ] 上,再用诱导公式 2 2 2 2 2 2 处理对应角之三角比值即可。 练习: (1) sin x 3 [ , ] 解: x , x 3 2 2 2 (2) sin x 3 [0, ] 解: x arcsin 3 3 , x 或 x arcsin 3 3 3 (3) sin x 3 , x [ , 3 ] 解: x arcsin 3

三角函数典型例题剖析与规律总结00

学科: 数学任课教师:黄老师授课时间:2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00 姓名年级:教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结 阶段 基础(√)提高()强化()课时计划共次课第次课 课前 检查作业完成情况:__________________ 建议_________________________________________________________ 教学过程一:函数的定义域问题 1.求函数1 sin 2+ =x y的定义域。 分析:要求1 sin 2+ = y的定义域,只需求满足0 1 sin 2≥ + x的x集合,即只需求出满足 2 1 sin- ≥ x的x 值集合,由于正弦函数具有周期性,只需先根据问题要求,求出在一个周期上的适合条件的区间,然后两边加上πk2()Z k∈即可。 解:由题意知需0 1 sin 2≥ + x,也即需 2 1 sin- ≥ x①在一周期? ? ? ?? ? - 2 3 , 2 π π 上符合①的角为? ? ? ?? ? - 6 7 , 6 π π ,由此 可得到函数的定义域为? ? ? ?? ? + - 6 7 2, 6 2 π π π πk k()Z k∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据:(1)正、余弦函数、正切函数的定义域。(2)若函数是分式函数,则分母不能为零。(3)若函数是偶函数,则被开方式不能为负。(4)若函数是形如()()1 ,0 log≠ > =a a x f y a 的函数,则其定义域由()x f确定。(5)当函数是有实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二.函数值域及最大值,最小值 (1)求函数的值域 例。求下列函数的值域 (1)x y2 sin 2 3- =(2)2 sin 2 cos2- + =x y x 分析:利用1 cos≤ x与1 sin≤ x进行求解。 解:(1) 1 2 sin 1≤ ≤ -x∴[]5,1 5 1∈ ∴ ≤ ≤y y (2) ()[].0,4 ,1 sin 1 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 22 2 2 cos- ∈ ∴ ≤ ≤ - - - = - + - = - + =y x x x x x x y 评注:一般函数的值域求法有:观察法,配方法判别式法,反比例函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质罢了。

初中三角函数知识点题型总结+课后练习

锐角三角函数知识点 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4 5、0 锐角三角函数题型训练 类型一:直角三角形求值 1.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90== ?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?= ∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 3.已知:⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB =16cm ,?=∠5 3sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ; (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC . 4.已知A ∠是锐角,17 8 sin = A ,求A cos ,A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值:

1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点. DE ∶AE =1∶2. 求:sin B 、cos B 、tan B . 2. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,则 tan EFC ∠的值为 ( ) A.34 B.43 C.35 D. 4 5 3. 如图6,在等腰直角三角形ABC ?中,90C ∠=?,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5 DBA ∠= ,则AD 的长为( )A .2 C .1 D .4. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A 的平分线AD = 3 16求∠ B 的度数及边B C 、AB 的长. 例2.已知:如图,△ABC 中,AC =12cm ,AB =16cm ,?=3 sin A (1)求AB 边上的高CD ; (2)求△ABC 的面积S ; (3)求tan B . 例3.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =10,AC =5. 求:sin ∠ABC 的值. 对应训练 1.(2012?重庆)如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号) 2.已知:如图,△ABC 中,AB =9,BC =6,△ABC 的面积等于9,求sin B . 类型四:利用网格构造直角三角形 对应练习: 1.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______. 特殊角的三角函数值 例1.求下列各式的值 ?-?+?30cos 245sin 60tan 2=. 计算:3-1+(2π-1)0- 3 3 tan30°-tan45°= 0 30tan 2345sin 60cos 221 ??? ? ???-?+?+= ?-?+?60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60?+? -? = B

三角函数知识点及例题讲解

三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值: (1)平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= (2)倒数关系:sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, (3)商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 = = αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-, 2()()αβαβα=+--,22 αβαβ++=?,()( ) 222αββ ααβ+=---等), (2)三角函数次数的降升(降幂公式:21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式:21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=)。如

(; (3)常值变换主要指“1”的变换(221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等),. 。 (4)周期性:①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π;②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 (5)单调性:()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增,在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减;cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒,别忘了k Z ∈! (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数: 1几个物理量:A ―振幅;1 f T =―频率(周期的倒数); x ω?+― 相位;?―初相; 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定:A 由周 期确定;?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>,||)2 π?<()f x =_____(答:15()2sin()23 f x x π =+); 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法:①“五点法”――设X x ω?=+,令X =0,3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系:①函数sin y x =的图象纵坐标不变,横坐标向左(?>0)或向右(?<0)平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象;②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的 1 ω ,得到函数 ()sin y x ω?=+的图象;③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ω?=+的图象;④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变,纵坐标向上(0k >)或向下(0k <),得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意,若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象,则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位,如 (1)函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象?

反三角函数及最简三角方程.docx

标准实用 反三角函数及最简三角方程 一、知识回顾: 1、反三角函数: 概念:把正弦函数y sin x , x,时的反函数,成为反正弦函数,记作 22 y arcsin x . y sin x( x R) ,不存在反函数. 含义: arcsin x 表示一个角;角,;sin x . 22 反余弦、反正切函数同理,性质如下表. 名称函数式定义域值域奇偶性单调性 反正弦函数y arcsin x1,1 增, 2奇函数增函数 2 y arccosx arccos( x)arccosx 反余弦函数1,1 减0,减函数 非奇非偶 反正切函数y arctanx R增, 2奇函数增函数 2 y arc cot x arc cot( x)arc cot x 反余切函数R减0,减函数 非奇非偶 其中: ().符号 arcsin x 可以理解为-, ] 上的一个角弧度,也可以理解为 1[ 2 () 2 区间[- , ] 上的一个实数;同样符号 arccos x 可以理解为 [0 ,π 上的一个角2 ] 2

(弧度 ),也可以理解为区间 [0 ,π]上的一个实数; (2). y =arcsin x 等价于 sin y=x, y∈ [-,], y= arccos x 等价于 cos y 22 =x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据; (3).恒等式 sin(arcsin x)=x, x∈ [- 1, 1] , cos(arccos x)=x, x∈ [-1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ R arcsin(sin x) = x, x ∈ [ -,], arccos(cos x) = x, x ∈ [0, 22 π],arctan(tanx)=x, x∈(-,)的运用的条件; 22 (4).恒等式 arcsin x+arccos x=, arctan x+arccot x=的应用。 22 2、最简单的三角方程 方程方程的解集 a1x | x2k arcsin a, k Z sin x a a1x | x k 1 k arcsin a, k Z a1x | x2k arccos a, k Z cos x a a1x | x2k arccos a, k Z tan x a x | x k arctana, k Z cot x a x | x k arc cot a, k Z 其中: (1 ).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三 角方程是否有解,如果有解,求出三角方程的解集; (2).解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础,要在理解三角方程的

【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】 三角函数的诱导公式 【知识点1诱导公式】 【知识点2诱导公式的记忆】 诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a , cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a, cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z 诱导公式四: cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^?-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z 诱导公式六: Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿

记忆11诀“奇变偶不变,符号看象限”,意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值:当k 为奇数 时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k 为偶数时,函数名不变,然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角 时原函数值的符号. 【考点1利用诱导公式求值】 【方法点拨】对任意角求三角函数值,一般遵循“化负为正,化大为小”的化归方向,但是在具体的转化 过程中如何选用诱导公式,方法并不唯一,这就需要同学们去认真体会,适当选择,找出最好的途径,完 成求值. 【例1】(2018秋?道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上,求下列各式的值. T 、 COS (Λ^ + α)sin(^? - a) (I )------------------------------------- ; tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a) sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召—— cos^ a - sm^ a + tan(;T - a) 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值,再利用诱导公式即可求得要 求式子的值. 【答案】解:?.?角α终边上有一点P(l,l), .x = l , y = l , r =|OP I= √7, Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X ([) cos(∕r + α)sin(%-α) 、 -、,兀 、 tan(^? + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π ([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r - a) cos 2a - sin 2a 一 tan a 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思 想,属于基础题. 【变式1-1】 (2019春?龙潭区校级月考)己知tan(^+ ?) = -!,求下列各式的值: -COSa ?smα ton a + cos 2(x

三角函数题型分类总结

专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误!未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七.识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个,求另外两个 方法:根据三角函数的定义,注意角所在的范围(象限),确定符号; 例 4 s i n 5 θ=,θ是第二象限角,求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ,求(1) θ θθθsin cos sin cos -+;(2)θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、(1)α是第四象限角,12 cos 13 α=,则sin α= (2)若4 sin ,tan 05 θθ=- >,则cos θ= . (3)已知△ABC 中,12 cot 5 A =-,则cos A = . (4) α是第三象限角,2 1)sin(=-πα,则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= .

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