补充线性规划问题练习题解答要点

补充线性规划问题练习题解答要点
补充线性规划问题练习题解答要点

补充线性规划问题习题及解答

1.某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm ,现在要在宽度上进行切割以完成下列订货任务:24cm 宽的75卷,40cm 宽的50卷和32cm 宽的110卷,长度是一样的,试将这个要解决的切割方案问题列成线性规划模型,使切余的边料最少。 答:有下面八种切法

设x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ,x 7,x 8分别表示八种下料方案切割的铜卷数,求解x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8使满足条件:

??

????

?≥≥++++≥++≥++++取整数

0110235027522487543864276541

876541x ,x x x x ,x x x x x x x x x x x x x x x ,x 2,,,,x 3 并使余料总数:

Z= 4x 1+20x 2+4x 3+4x 4+12x 5+12x 6 +20x 7 +28x 8 取得最小值。 近似最优解x 1=25/4,x 3=20,x 4=50 其他为0,最优值z*=305。(不是整数解)

2.某养鸡场养鸡10000只,用大豆和谷物饲料混合喂养,每天每只平均吃混合饲料0.5kg ,其中应至少含有0.1kg 蛋白质和0.002kg 钙。已知大豆中含50%蛋白质和0.5%的钙,价格是1.00元/kg ,谷物中含有10%的蛋白质和0.4%的钙,价格是0.30元/kg ,粮食部门每周只保证供应谷物饲料25000kg ,大豆供应量不限,问应如何搭配两种饲料,才能使喂养成本最低,建立该问题的数学模型。

解:设每周用大豆x 1公斤,谷物x 2公斤,数学模型为

图解最优解x1=9333.33 , x2=23333.33,最小值z*=16333.33。 3.一家昼夜服务的饭店,24小时内需要服务员的人数如下

每个服务员每天连续工作8小时,且在表中时段开始上班,试求要求满足以上要求的最少上班人数,建立该问题的数学模型。

解:设在j 钟点上班的人数为xj(j=1,2,…,6),上班之后连续工作8小时,下班离开,每班中间不允许交接班离开。故有

50%x1 +10%x2≥0.1×7×10000=7000 蛋白质 0.5%x1+0.4%x2≥0.002×7×10000=140 钙 x1 +x2≤0.5×7×10000=35000 总量 x2≤25000 谷物限量 x1≥0,x2≥0 min z=x1+0.3x2

据题意有

2~6时x1 +x6 ≥4

6~10时x1+x2+ ≥8

10~14时x2+x3 ≥10

14~18时x3+x4 ≥7

18~22时x4+x5 ≥12

22~2时x5+x6 ≥4

min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6

最优解x1=4 , x2=10 , x4=8 , x5=4 , 其他xj=0, 最优值min z=26(人)4.设有四个投资机会:

甲:在三年内,投资人应在每年年初投资,每年每元可获利息0.2元,每年取息后可重新将本息投入生息。

乙:在三年内,投资人应在第一年年初投资,每两年每元可获得利息0.5元,两年后取息,可重新将本息投入生息。

丙:在三年内,投资人应在第二年年初投资,两年后每元可获得利息0.6元,这种投资最多不得超过15000元。

丁:投资人应在第三年年初投资,一年内每元投资可获利息0.4元,这种投资不得超过10000元。

假定在这三年为期的投资中,开始时有30000元可供投资,投资人应怎样决定投资,才能在第三年底获得最高的收益,试建立其数学模型。解:设xij为第i年初投放到j项目的资金数,其数学模型为:

最优解x11=12500, x12=17500, x23=15000, x31=16250, x34=10000,其他为0;最优值z*=57500

5.某一求目标函数最大值的线性规划问题,用单纯形法求解时得到的某一步的单纯形表如下:

问a1,a2,a3,c,d各为何值及变量x j属于那一类性质的变量时:(1)现有解为唯一最优解。

(2)现有解为最优,但最优解有无穷多个。

(3)存在可行解,但目标函数无界。

(4)此问题无可行解。

答:

1.c<0, d≥0, x

3, x

4

,x

5

都不是人工变量;

max z=1.2x31+1.6x23+1.4x34 x11+x12≤30000

x21+x23≤1.2x11

x31+x34≤1.2x21+1.5x12

x23≤15000

x34≤10000

xij≥

0 ,(i=1,2,3 ,j=1,2,3,4)

2.c=0, d ≥0 , a 1,a 2至少一个大于零,x 3,x 4,x 5都不是人工变量;

3.c >0 , d ≥0 , a 1≤0,a 2≤0,x 3,x 4,x 5都不是人工变量;

4.c ≤0 , d >0 且x 3,x 4,x 5 至少一个是人工变量。

6. 某线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表格如下:

求a ,b ,…,k ,l 各个值。

答:a =3, b =2, c =4, d =-2, e =2, f =3, g =1, h =0, i =5, j =5, k =-3/2, l =0

7. 写出下列线性规划问题的对偶问题:

(1)

??????

?≤≥=----≥++≤++-+-+=0

x x ,x ,0x 2x 4x 7x 3x 25x 4x 3x 3

x 3x 3x 2x .

t .s x 4x 3x 2x 3Z min

4321432143243214321无约束, 答:

?????

??

??≥≤≥-+-=-+=-+-≤++

+-=无约束

3213

2132132131321,0,04

443373323232253max y y y y y y y y y y y y y y y y y w

(2)

()()

()???

?

?

????==≥=====∑∑∑∑====n ,,2,1j ;m ,,2,1i 0x n ,,2,1j b x m ,,2,1i a x .

t .s x c Z min

ij m 1i j ij i n

1j ij m 1i n

1j ij

ij 答: 8.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题:

(1)

???

??≥≥+≥++=0x ,x 7x 7x 4

x x 2.

t .s x x Z min

2

1212121 解:化成标准形式,列对偶单纯形表

采用对偶单纯形迭代规则得最优表: 最优解X=(21/13,10/13,0,0) ,最优值minZ= 31/13(maxZ’=-31/13) 。

(2)

???

??≥≥+≥+++=0x ,x ,x 5x 2x 23x 3x .

t .s x 18x 12x 4Z min

3

213231321解: 化成标准形式,列对偶单纯形表

?????==≤++=∑∑==)

...21...21(,max 1

1n j m i v u c v u v b u a w j i ij j i j

n

j j i m i i ,,,;,,,不限制

最优解X=(0,3/2,1,0,0) ,

最优值minZ=36(maxZ’=0-(3/2)×12-1×18=-36) 。 9.设

(1)写出其对偶问题。 (2)求解对偶问题。

(3)从对偶解中求出原问题的解。 答:(1)对偶模型

???

??≥≥-++--≤++++-+-+=0,,,,326

3.

.4253min 5

4321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x t s x

x x x x Z

-5

(2)求解对偶问题,图解法。得Y =(-3,1) ,w *

=-15 。

(3)利用互补松弛性求原问题解,由y 1,y 2异于0,知原约束均为等式;又由对偶约束1,2,4式为严格不等式,故可得x 1,x 2,x 4等于0。代入原约束方程组,解得x 3=3,x 5=3, 即X *

=(0,0,3,0,3)T

,最优值z *

=-1×3-4×3=-15=w *

10.从下面最优单纯形表中(最大化问题,约束条件均为“≤”连接)

(1)写出原问题与对偶问题的最优解。 (2)求

1

b Z ??,

6

x Z ??,并解释这两个数值的含义。

(3)如果以代价2

5增添第一种资源一个单位,是否值得? (4)若有人原向你购买第三种资源,应要价多少才合算?

(5)是否有其它最优解,如果没有,说明为什么?如果有,则求出另

?

?????

??

?≥≤-≤-≤+-≤+≤-≤-+=0

,04

2

31

25

3..36max 2121212121212

1y y y y y y y y y y y y t s y y w

一个最优解。

解:(1)原问题最优解X *=(2,0,3/2,0,1,0)T ,对偶问题最优解Y*=(4,0,9,0,0,0)。

(2)在最优表上可以得到最优基的逆B -1

,

根据最优表上P j ’=B -1

P j ,可解得P j =BP j ’,从而得A ,

对偶解---单纯形因子

再由检验数 ,可得

解得C =(1,1,2,0,0,0) ,最优值z*=1×2+0+2×(3/2)=5。

在最优方案时,有411

==??y b Z

,因为b 1影子价格大于0,是稀缺资源,故

在一定范围内每增加一个单位该种资源就会增加4个单位总收入(影子价格或边际收入为4)。

??

??

? ??=-6114011021

B ???

?

?

??=-----1000100017

2

71

7

17

117

127

271

74

7

4A ????

? ??=????? ???????

??='=----7114111413237

2

7

17

117

271

7

412100b B b 01

≤-=λ-j B j j P B C c j B j j P B C c 1-+λ=)

9,0,4(1==-Y B C B

对66

c x Z

=?? ,x 6表示第三种资源剩余数量,该偏导数值表示资源剩余量对总收入的影响率。在初始方案时其值为0,在最佳方案时其值为-9,从另外角度说明引入该资源有利于减少短缺造成的损失或增加收入(影子价格为9)。 (3)

如果以代价2

5

增添第一种资源一个单位,

会增加4个单位总收入,

值得。

(4) 若有人愿向你购买第三种资源,要价不低于其影子价格9才合算。 (5) 在最优表上,非基变量x 2的检验数为0,故最优解不唯一。令x 2进基,x 1出基,换基迭代得新最优解X *=(0,2,3/2,0,5)T ,最优值z *=0+1×2+2(3/2)=5 。

11.设

()()

???

??≥≤++≤++-++-=0,,29010412120

3.

.1355max

3

21321321321x x x x x x x x x t s x x x Z 先用单纯形法求出最优解,再分析在下列各条件单独变化的情况下最优解的变化。

(1)约束条件(2)右端常数由90变为70。 (2)目标函数中x 3的系数由13变为8。 (3)增加一个约束条件:50x 5x 3x 2321≤++ 解: 先用单纯形法求出最优解

MAX:-5X1 +5X2 +13X3 ST:

1] -1X1 +1X2 +3X3 +1X4 = 20 2] 12X1 +4X2 +10X3 +1X5 = 90 得到了第一个可行基 用最大检验数法

----------------------------------------------------------

I BA C -5 5 13 0 0

b X1 X2 X3 X4 X5

----------------------------------------------------------

1 X

2 5 20 -1 1

3 1 0

2 X5 0 10 16 0 -2 -4 1

----------------------------------------------------------

Cj-Zj -100 0 0 -2 -5 0

迭代次数= 2

最优解

MAX Z= 100

变量名取值检验数

X1 0 0.000000

X2 20

X3 0 -2.000000

X4 0 -5.000000

X5 10

约束标号对偶价格

( 1) 5.000000

( 2) 0.000000

在最优基不变的条件下, 变量在目标函数中的系数的取值区间

变量名现系数系数取值区间

X1 -5.0000 ( - ? , -5.0000 )

X2 5.0000 ( 4.3333 , 5.0000 )

X3 13.0000 ( - ? , 15.0000 )

X4 0.0000 ( - ? , 5.0000 )

X5 0.0000 ( 0.0000 , 1.0000 )

在最优基不变的条件下, 右端常数项的取值区间

约束序号现常数常数取值区间

( 1) 20.0000 ( 0.0000 , 22.5000 )

( 2) 90.0000 ( 80.0000 , ? )

-------------------------------------------------------

(1)约束条件(2)右端常数由90变为70,不影响最优基,只须验证可行

性。由最优表找到最优基的逆???? ??-=-14011

B ,???

?

??-=???? ?????? ??-=-1020702014011b B , x 5

不可行,采用对偶单纯形迭代,x5出基,x3进基,

-------------------------------------------------------- I BA C -5 5 13 0 0 b X1 X2 X3 X4 X5 ------------------------------------------------------- 1 X3 13 5 -8 0 1 2 -1/2 2 X2 5 5 23 1 0 -5 3/2 ------------------------------------------------------- Cj-Zj -90 -16 0 0 -1 -1 -------------------------------------------------------- 最优解

变量名 取值 检验数 X1 0 -16.000000 X2 5 X3 5

X4 0 -1.000000 X5 0 -1.000000 MAX Z= 90

(2) 目标函数中非基变量x 3的系数c 3由13变为8。

检查检验数λ3=c 3-C B B -1

P 3=8-(5,0)(3,10)T

=8-15=-7<0,最优解,最优值不变。

(3) 增加一个约束条件:50x 5x 3x 2321≤++,引进松弛变量x 6作为一个基变量,在最优表添加一行,迭代出单位矩阵和检验数形式,判断是否最优解。

-------------------------------------------------------------- I BA C -5 5 13 0 0 0 b X1 X2 X3 X4 X5 X6 -------------------------------------------------------------- 1 X2 5 20 -1 1 3 1 0 0 2 X5 0 10 16 0 -2 -4 1 0 3 X6 0 50 2 3 5 0 0 1 -------------------------------------------------------------- Cj-Zj -100 0 0 -2 -5 0 0

--------------------------------------------------------------

I BA C -5 5 13 0 0 0

b X1 X2 X3 X4 X5 X6

--------------------------------------------------------------

1 X

2 5 20 -1 1

3 1 0 0

2 X5 0 10 16 0 -2 -4 1 0

3 X6 0 -10 5 0 (-4) -3 0 1

--------------------------------------------------------------

Cj-Zj -100 0 0 -2 -5 0 0

采用对偶单纯形迭代,x6出基,x3进基,

--------------------------------------------------------------

I BA C -5 5 13 0 0 0

b X1 X2 X3 X4 X5 X6

--------------------------------------------------------------

1 X

2 5 25/2 11/4 1 0 -5/4 0 3/4

2 X5 0 15 27/2 0 0 -5/2 1 -1/2

3 X3 13 5/2 -5/

4 0 1 3/4 0 -1/4

--------------------------------------------------------------

Cj-Zj -95 -5/2 0 0 -7/2 0 -1/2

最优解

MAX Z= 95

变量名取值检验数

X1 0 -2.500000

X2 25/2

X3 5/2

X4 0 -3.500000

X5 15

X6 0 -0.500000

约束标号对偶价格

( 1) 3.500000

( 2) 0.000000

( 3) 0.500000

在最优基不变的条件下, 变量在目标函数中的系数的取值区间变量名现系数系数取值区间

X1 -5.0000 ( - ? , -2.5000 )

X2 5.0000 ( 4.3333 , 7.8000 )

X3 13.0000 ( 8.3333 , 15.0000 )

X4 0.0000 ( - ? , 3.5000 )

X5 0.0000 ( -0.1852 , 1.0000 )

X6 0.0000 ( - ? , 0.5000 )

在最优基不变的条件下, 右端常数项的取值区间

约束序号 现常数 常数取值区间

( 1) 20.0000 ( 16.6667 , 26.0000 ) ( 2) 90.0000 ( 75.0000 , ? ) ( 3) 50.0000 ( 33.3333 , 60.0000 )

12.设

(1)求在不影响最优基的条件下各个c j 的允许变化的范围。 (2)求在不影响最优基的条件下各个b i 的允许变化的范围。 解:列单纯形表求解得最优表,利用最优基不变时求解各系数区间

MAX: 2X1 +5X2 +8X3 ST:

1] 3X1 +2X2 -1X3 +1X4 =610 2] -1X1 +6X2 +3X3 +1X5 =125 3] -1X1 +1X2+1/2X3 +1X6 =420 MAX: 2X1 +5X2 +8X3 ST:

1] 3X1 +2X2 -1X3 +1X4 =610 2] -1X1 +6X2 +3X3 +1X5 =125 3] -1X1 +1X2+1/2X3 +1X6 =420 得到了第一个可行基 用最大检验数法

--------------------------------------------------------- I BA C 2 5 8 0 0 0

b X1 X2 X3 X4 X5 X6 -----------------------------------------------------------

1 X4 0 610 3

2 -1 1 0 0 2 X5 0 125 -1 6

3 0 1 0 125/3 3 X6 0 420 -1 1 1/2 0 0 1 840 -----------------------------------------------------------

Cj-Zj 0 2 5 8 0 0 0 ----------------------------------------------------------- 旋转元是 A[2][3] 用最大检验数法

?????????≥≤++-≤++-≤-+++=0

,,42021

125

36610

23.

.852max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x Z

------------------------------------------------------------------- I BA C 2 5 8 0 0 0

b X1 X2 X3 X4 X5 X6 -------------------------------------------------------------------

1 X4 0 1955/3 8/3 4 0 1 1/3 0 1955/8

2 X

3 8 125/3 -1/3 2 1 0 1/3 0 3 X6 0 2395/6 -5/6 0 0 0 -1/6 1 --------------------------------------------------------------------

Cj-Zj -1000/3 14/3 -11 0 0 -8/3 0 -------------------------------------------------------------------- 旋转元是 A[1][1] 用最大检验数法

------------------------------------------------------------------- I BA C 2 5 8 0 0 0 b X1 X2 X3 X4 X5 X6 ------------------------------------------------------------------- 1 X1 2 1955/8 1 3/2 0 3/8 1/8 0 2 X3 8 985/8 0 5/2 1 1/8 3/8 0 3 X6 0 9645/16 0 5/4 0 5/16 -1/16 1 -------------------------------------------------------------------- Cj-Zj -5895/4 0 -18 0 -7/4 -13/4 0 -------------------------------------------------------------------- 迭代次数 = 2 最优解

MAX Z= 5895/4 = 1473 3/4 = 1473.750000

变量名 取值 检验数 X1 1955/8 = 244 3/8 = 244.375000

X2 0 -18.000000 X3 985/8 = 123 1/8 = 123.125000

X4 0 -1.750000 X5 0 -3.250000 X6 9645/16 = 602 13/16 = 602.812500

约束标号 对偶价格 ( 1) 1.750000 ( 2) 3.250000 ( 3) 0.000000

(1) 在不影响最优基的条件下各个c j 的允许变化的范围 在最优基不变的条件下, 变量在目标函数中的系数的取值区间 变量名 现系数 系数取值区间

X1 2.0000 ( -2.6667 , ? ) X2 5.0000 ( - ? , 23.0000 ) X3 8.0000 ( 0.8000 , ? )

01≤-=λ-j B j j P B C c

X4 0.0000 ( - ? , 1.7500 )

X5 0.0000 ( - ? , 3.2500 )

X6 0.0000 ( -5.6000 , 52.0000 )

(2)在不影响最优基的条件下各个b i的允许变化的范围B-1b’≥0在最优基不变的条件下, 右端常数项的取值区间

约束序号现常数常数取值区间

( 1) 610.0000 ( -41.6667 , ? )

( 2) 125.0000 ( -203.3333 , 9770.0000 )

( 3) 420.0000 ( -182.8125 , ? )

线性规划经典例题及详细解析

一、 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值就是 。 3. 已知变量x,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ,则 y x 的取值范围就是( )、 A 、 [95,6] B 、(-∞,95 ]∪[6,+∞) C 、(-∞,3]∪[6,+∞) D 、 [3,6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 与y 须满足约束条件?? ???≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值 就是 。 四、 已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( ) A. -3 B 、 3 C 、 -1 D 、 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A. 4 B 、 1 C 、 5 D 、 无穷大

线性规划题及答案

线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 2x -y _2 例1、设变量x、y满足约束条件x 一y _ _1,则z =2x ? 3y的最大值为__________ 。 x y _1 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 \ >1, 例2、已知」x-y+1兰0,则x2+y2的最小值是_」“(x-1)2+(y+2『”值域? 2x - y - 2 <0 三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 Zf x _0 例3、在约束条件y_0 下,当3乞s乞5时,目标函数Z=3x?2y的最大值的变化范围是() |y x _s y 2x^4 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域,逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线x2-y2 =4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是() fx-yZ0 「x-yX0 『x-y^0 "x-y 兰0 (A) x y _ 0 (B) x y 乞0 (C) x y 乞0 (D) x y _ 0 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。 (1 ::: x :「v ‘::4 例5已知变量x,y满足约束条件若目标函数ax y (其中a 0)仅在 [―2 兰x—y 兰2 点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为 __________ 。 六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 丄x y _ 2 _ 0 _ 例6在平面直角坐标系中,不等式组x_y,2_0表示的平面区域的面积是()(A)4、、2 (B)4 [八0 (C) 2.2 (D)2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 ”5x-11y —22, 例7、某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件<2x+3yX9, 则 、2x 兰11. z =10x 10y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z =-—a时,可把z看作是动点P x, y与定点Q b, a连线的斜率,这样目 x —b 标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 x—y+ 2W 0,V

线性规划典型例题

例1:生产计划问题 某工厂明年根据合同,每个季度末向销售公司提供产品,有关信息如下表。若当季生产的产品过多,季末有积余,则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案,使该厂在完成合同的情况下,全年的生产费用最低。试建立模型。 解: 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为:此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)

工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数;minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t.x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2:设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有: xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有: xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i),于是,有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s.t. xll=20, x12+x22=20, x13+x23+x13=30, x14+x24+x34+x44=10, x1l+x12+x13+x14≤30, x22+x23+x24≤40, x33+x34≤20,

六种经典线性规划例题

线性规划常见题型及解法 求线性目标函数的取值范围 2 2 2 x y A D y 2 O x x=2 求可行域的面积 y y M 5 2 x y 2 y x y 2 x y 2 x y x (3,5] y =2 ( 13 例1 x+2y 时 6 的点 C 、 x , 个 y 6 y 3 2 x + y —3 = 0 C 、 5 A 、 4 B 、 1 D 、无穷大 () 0,将 有 最小值 故选A .B A --- 作出可行域如右图 点个数为13个,选D x + y =2 则z=x+2y 的取值范围是 () 旦y =2 0 0表示的平面区域的面积为 三、求可行域中整点个数 解:|x| + |y| <2等价于 解:如图,作出可行域,作直线I : I 向右上方平移,过点A ( 2,0 ) 2,过点B ( 2,2 )时,有最大值 [2,6] B 、[2 ,5] C 、[3,6] 解:如图,作出可行域,△ ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的 面积即可,选B 例 3、满足 |x| + |y| <2 A 、9 个 B 、10 个 由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性 目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。 (x 0,y 0) (x 0,y p 0) (xp 0,y 0) (xp 0,y p 0) 是正方形内部(包括边界),容易得到整 y)中整点(横纵坐标都是整数)有() D 、 14 个 2x 例2、不等式组x x 若x 、y 满足约束条件 y O C V —? x 2x + y —6= 0

线性规划习题附答案模板

习题 2-1 判断下列说法是否正确: (1)任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题; (2)对偶问题的对偶问题一定是原问题; (3)根据对偶问题的性质, 当原问题为无界解时, 其对偶问题无可行解, 反之, 当对偶问题无可行解时, 其原问题具有无界解; (4)若线性规划的原问题有无穷多最优解, 则其对偶问题也一定具有无穷多最优解; (5)若线性规划问题中的b i, c j值同时发生变化, 反映到最终单纯形表中, 不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况; (6)应用对偶单纯形法计算时, 若单纯形表中某一基变量x i<0, 又x i所在行的元素全部大于或等于零, 则能够判断其对偶问题具有无界解。 (7)若某种资源的影子价格等于k, 在其它条件不变的情况下, 当该种资源增加5个单位时, 相应的目标函数值将增大5k;

(8) 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解, 若y i >0, 说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽; 若y i =0, 说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解: (1)令'''444x x x =-, 增加松弛变量5x , 剩余变量6x , 则该问题的标准形式如下所示: ''' 12344''' 12344''' 123445''' 123446'''1234456max 342554222214..232 ,,,,,,0 z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-?-+-+-=?+-+-+=??-++-+-=??≥? (2)令'z z =-, '11x x =-, '''333x x x =-, 增加松弛变量4x , 则该问题的标准形式如下所示: ''''' 1233'''' 1233'''' 12334''''12334 max 22334 ..26,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+-+?++-=?+-++=??≥? 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题, 并对照

128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题

11(2),12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确: (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题; T (2) 对偶问题的对偶问题一定是原问题;T (3) 根据对偶问题的性质,当原问题为无界解时,其对偶问题无可行解,反之, 当对偶问题无可行解时,其原问题具有无界解;F (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解,则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解; (5) 若线性规划问题中的b i ,c j 值同时发生变化,反映到最终单纯形表中,不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况; (6) 应用对偶单纯形法计算时,若单纯形表中某一基变量x i <0,又x i 所在行的元素全 部大于或等于零,则可以判断其对偶问题具有无界解。 (7) 若某种资源的影子价格等于k ,在其他条件不变的情况下,当该种资源增加 5个单位时,相应的目标函数值将增大5k ; (8) 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解,若y i >0,说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽;若y i =0,说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题,并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题,写出其对偶问题: 5 43212520202410max x x x x x z ++++=

八种 经典线性规划例题(超实用)

线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ,则z=x+2y的取值范围是() A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为() A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解:如图,作出可行域,△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可,选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有() A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解:|x|+|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选 D

四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ,使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个,则a的值为() A、-3 B、3 C、-1 D、1 解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选 D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ? ? -+≥ ? ?--≤ ? ,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是() A、13,1 B、13,2 C、13,4 5 D 、 解:如图,作出可行域,x2+y2是点(x,y)到原点的距离的平方,故最大值为点A(2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的平方, 即为4 5 ,选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m的取值范围是() A、(-3,6) B、(0,6) C、(0,3) D、(-3,3) 解:|2x-y+m|<3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- ? ? -< ? ,故0<m<3,选 C

高考全国卷及各省数学线性规划真题附答案.docx

2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理(附答案解析) x 3y 3, 1. ( 17 全国卷 I ,文数 )设 x ,y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为( ) 7 y 0, A . 0 B . 1 C .2 D .3 答案: D 解析:如图,由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 (即 x 轴)的交点 A(3,0) 时, z 能取到最大值,把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ,故选 D. x 2 y 1 2.(17 全国卷 I, 理数 14 题)设 x ,y 满足约束条件 2x y 1,则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案: 5 x 2 y 1 解析:不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值, 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图,易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时,纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ,此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ,解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5.

2x+3y 30 3. (17 全国卷Ⅱ,文数 7、理数 5)设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是() A.-15 C.1D9 答案: A 2x+3y 30 解析:不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示, y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ,3 时,目标函数 z2x y 取到最小值,此时有 z min 26315 ,故所求z 最小值为15. )设,满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. (17 全国卷Ⅲ,文数 5 x0,则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案: B 解析:绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 (即x 轴)的交点A0,3处取得最小值, 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值,此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.(17 全国卷Ⅲ,理数13)若 x,y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________.

(完整版)简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题. 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1.目标函数的最值 线性目标函数 z=ax+by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y=-a x+z,在 y 轴上的 截距是z, b b b 当 z 变化时,方程表示一组互相平行的直线. 当 b>0,截距最大时, z 取得最大值,截距最小时, z 取得最小值; 当 b<0,截距最大时, z 取得最小值,截距最小时, z 取得最大值. 2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步,即, (1)画:根据线性约束条件,在平面直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解. (3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答:写出答案.

知识点三简单线性规划问题的实际应用 1.线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收到的效益最大; (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.常见问题有: ①物资调动问题例如,已知两煤矿每年的产量,煤需经两个车站运往外地,两个车站的运输能力是有限的,且已知两煤矿运往两个车站的运输价格,煤矿应怎样编制调动方案,才能使总运费最小? ②产品安排问题例如,某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的,这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产,才能使每月获得的总利润最大? ③下料问题例如,要把一批长钢管截成两种规格的钢管,应怎样下料能使损耗最小?2.解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言,进而建立数学模型,这需要在学习有关例题解答时,仔细体会范例给出的模型建立方法. (2)模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特殊点作为最优解. (3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中,设计出最佳的方案. 题型一求线性目标函数的最值 y≤2, 例 1 已知变量 x,y 满足约束条件 x+y≥1,则 z=3x+y 的最大值为 ( ) x-y≤1, A . 12 B .11 C .3 D .- 1 答案 B 解析首先画出可行域,建立在可行域的基础上,分析最值点,然后通过解方程组得最值点 的坐标,代入即可.如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域,当直线y=-3x+z 经 y=2,x= 3,

高中数学线性规划经典题型

高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是() (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析:双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围 成一个三角形区域(如图4所示)时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2:在平面直角坐标系中,不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是() (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为: 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选B。 点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件,探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式,斜率——商的形式)目标关系最值问题(重点) 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则 ①y x 32+的最大值为 。(截距) 解析:如图1,画出可行域,得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处,目标函数z 最大值为18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1

简单的线性规划 习题含答案

线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ,则z=x+2y的取值范围是() A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 () A、4 B、1 C、5 D、无穷大解:如图,作出可行域,△ABC的面 积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选 B 3.满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有() A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解:|x|+|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ,使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值 为() A、-3 B、3 C、-1 D、1 解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将 l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产

线性规划经典例题及详细解析

1 / 6 一、 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤?? ≥??+≤? ,则 错误! 的取值范围是( )。 A 。 [错误!,6] B.(-∞,错误!]∪[6,+∞) C.(-∞,3]∪[6,+∞) D 。 [3,6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件?? ? ??≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、 已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ,y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤?? -≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处 取得最大值,则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的 值为( ) A. -3 B. 3 C 。 -1 D. 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A. 4 B. 1 C. 5 D 。 无穷大

线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ,则z=x+2y 的取值范围是 ( ) A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l :x+2y =0,将 l 向右上方平移,过点A (2,0)时,有最小值 2,过点B (2,2)时,有最大值6,故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解:如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|+|y|≤2的点(x ,y )中整点(横纵坐标都是整数)有( ) A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x +y – 3 = 0 O y x A B C M y =2

解:|x|+|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整 点个数为13个,选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ,使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为 ( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1 解:如图,作出可行域,作直线l :x+ay =0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个,则将l 向右上方平移后与直线x+y =5重合,故a=1,选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ,则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是( ) A 、13,1 B 、13,2 C 、13,4 5 D 、 5 解:如图,作出可行域,x 2+y 2是点(x ,y )到原点的距离的平方,故最大值为点A (2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x +y -2=0的距离的平方,即为 4 5 ,选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x -y +m|<3表示的平面区域包含点 (0,0)和(- 1,1),则m 的取值范围是 ( ) A 、(-3,6) B 、(0,6) C 、(0,3) D 、(-3,3)

《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案

《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1.什么是线性规划模型,在模型中各系数的经济意义是什么? 2.线性规划问题的一般形式有何特征? 3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步? 4.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么? 5.求解线性规划问题时可能出现几种结果,那种结果反映建模时有错误? 6.什么是线性规划的标准型,如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7.试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8.试述单纯形法的计算步骤,如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9.在什么样的情况下采用人工变量法,人工变量法包括哪两种解法? 10.大M 法中,M 的作用是什么?对最小化问题,在目标函数中人工变量的系数取什么?最大化问题呢? 11.什么是单纯形法的两阶段法?两阶段法的第一段是为了解决什么问题?在怎样的情况下,继续第二阶段? 二、判断下列说法是否正确。 1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2.线性规划的可行解集是凸集。 3.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解,则它有无穷多个最优解。 4.线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大。 5.线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6.如果一个线性规划问题有可行解,那么它必有最优解。 7.用单纯形法求解标准形式(求最小值)的线性规划问题时,与 > j σ 对应的变量都 可以被选作换入变量。 8.单纯形法计算中,如不按最小非负比值原则选出换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9.单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量,可使目标函数值得到最快的减少。 10.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1.某公司计划在三年的计划期内,有四个建设项目可以投资:项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资,年末可收回本利120% ,每年又可以重新将所获本利纳入投资计划;项目Ⅱ需要在第一年初投资,经过两年可收回本利150% ,又可以重新将所获本利纳入投资计划,但用于该项目的最大投资额不得超过20万元;项目Ⅲ需要在第二年年初投资,经过两年可收回本利160% ,但用于该项目的最大投资额不得超过15万元;项目Ⅳ需要在第三年年初投资,年末可收回本利140% ,但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内,该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案,才能使该公司在这个计划期获得最大利润? 2.某饲养场饲养动物,设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。现有五种饲料可供选用,各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示:

线性规划练习题含答案

线性规划练习题含答案 一、选择题 A .4 5 - B .1 C . 2 D .无法确定【答案】B 【解析】解:如图所示 要是目标函数取得最小值的最优解有无穷多个,则令ax+y=0,并平移过点C 24 (,)33 ,(可行域最 左侧的点)的边界重合即可。注意到a>0,只能与AC 重合,所以a=18.已知点集{}2 2 (,)48160A x y x y x y =+--+≤, {} (,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+,点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N . 若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内(不在边界上),则△DMN 的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C. 22 D. 4【答案】B 【解析】解:因为点集A 表示的为圆心为(2,4),半径为2的圆,而点集B 表示为绝对值函数表示的区域则利用数形结合思想,我们可以求解得到。【题型】选择题 9.在平面直角坐标系中,若不等式组101010x y x ax y +-≥??-≤??-+≥? (α为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a 的值为( )A . -5 B .1 C . 2 D . 3 【答案】D 【解析】解:当a<0时,不等式表示的平满区域如图中的M ,一个无限的角形区域,面积不可能为2,故只能a 0≥,此时不等式表示的区域为如图中的N ,区域为三 角形区域,若这个三角形的面积为2,则AB=4,即点B (1,4),代入y=ax+1,得a=310.已知方程:2 20x ax b ++= (,)a R b R ∈∈,其一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,则22 (3)z a b =++的取值范围为 A. B. 1(,4)2 C. (1,2) D. (1,4)【答案】B 【解析】解: 2( ,2)2222f (x)x ax 2b,f (0)0 f (1)0,f (3)0b 0,a 2b 10,2a 2b 40a b z (a 3)b -1z 2解:设由图像可知,三者同时成立,求解得到由线性规划知识画出可行域,以为横轴,为纵轴,再以为目标,几何意义为区域内的点到(3,0)的距离的平方,当a=-1,b=0时,z 最大为4,当点到直线 a+2b+1=02的距离为,最小为,由题目,不能去边界2=++><>>++<++>=++11.的取值范围是则满足约束条件变量122,012430 ,++=≤-+≥≥?????x y s y x x y x y x ( )A .[1,4] B .[2,8] C .[2,10] D .[3,9]【答案】B 【解析】约束条件034120x y x x y ≥≥+-≤?????表示的区域如图,221112y y s x x ++=++=?,11y x ++表示点(x ,y )与点(-1,-1)的斜率,PB 的斜率为最小值,PA 的斜率为最大值,斜率的取值范围是[1,4],112y x ++?的取值范围是[2,8]。 12.若变量x,y 满足约束条件1 325x y x x y ≥-?? ≥??+≤? 则z=2x+y 的最大值为 (A )1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C 【解析】:∵ 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与 y x = 与325x y +=的交点为最优解点,∴即为(1,1),当1,1x y ==时max 3z =13.在集合 }4,1,1|),{(≤+≥≥=y x y x y x A 中,y x 2+的最大值是

高考全国卷线性规划真题含答案完整版

高考全国卷线性规划真 题含答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1,文7】设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤?? -≥??≥? 则z =x +y 的最大值为 A .0 B .1 C .2 D .3 2.【2017全国2,文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤?? -+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值 是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3,文5】设x ,y 满足约束条件32600 0x y x y +-≤?? ≥??≥? ,则z x y =-的取值范围是 A .[–3,0] B .[–3,2] C .[0,2] D .[0,3] 4.(2016全国1,文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料 kg ,乙材料 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元. 5.(2016全国2,文14)若x ,y 满足约束条件???? ?x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z = x -2y 的最小值为________.

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《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1. 什么是线性规划模型,在模型中各系数的经济意义是什么? 2. 线性规划问题的一般形式有何特征? 3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步? 4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么? 5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果,那种结果反映建模时有错误? 6. 什么是线性规划的标准型,如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7. 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8. 试述单纯形法的计算步骤,如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9. 在什么样的情况下采用人工变量法,人工变量法包括哪两种解法? 10.大M 法中,M 的作用是什么?对最小化问题,在目标函数中人工变量的系数取什么?最大化问题呢? 11.什么是单纯形法的两阶段法?两阶段法的第一段是为了解决什么问题?在怎样的情况下,继续第二阶段? 二、判断下列说法是否正确。 1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2. 线性规划的可行解集是凸集。 3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解,则它有无穷多个最优解。 4. 线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大。 5. 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6. 如果一个线性规划问题有可行解,那么它必有最优解。 7. 用单纯形法求解标准形式(求最小值)的线性规划问题时,与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8. 单纯形法计算中,如不按最小非负比值原则选出换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9. 单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量,可使目 标函数值得到最快的减少。 10. 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1. 某公司计划在三年的计划期内,有四个建设项目可以投资:项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资,年末可收回本利120% ,每年又可以重新将所获本利纳入投资计划;项目Ⅱ需要在第一年初投资,经过两年可收回本利150% ,又可以重新将所获本利纳入投资计划,但用于该项目的最大投资额不得超过20万元;项目Ⅲ需要在第二年年初投资,经过两年可收回本利160% ,但用于该项目的最大投资额不得超过15万元;项目Ⅳ需要在第三年年初投资,年末可收回本利140% ,但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内,该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案,才能使该公司在这个计划期获得最大利润? 2.某饲养场饲养动物,设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用,各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示:

线性规划题及答案完整版

线性规划题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域? 三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥??≥??+≤??+≤?下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范 围是() A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域,逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是() (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。 六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 例6在平面直角坐标系中,不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是() (A) 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件 ?? ???≤≥+-≥-.112, 932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如b x a y z --= 时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

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