一次函数图象和性质

一次函数图象和性质

【知识梳理】

1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（k

b

-，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质

【思想方法】数形结合

【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.

例2. 已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限；

（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方.

例3. 如图，直线l 1 、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（－1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l 2表示的一次函数表达式；

（2）当x 为何值时，l 1 、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？

k 、b 的符号

k ＞0，b ＞0

k ＞0，b ＜0

k ＜0，b ＞0

k ＜0，b ＜0

图像的大致位置

经过象限 第 象限 第 象限

第 象限

第 象限 性质

y 随x 的增大 而

y 随x 的增大而而

y 随x 的增大 而

y 随x 的增大 而

x

y O

3

2y x a =+

1

y kx b =+

y

x

O B

A 例4.如图，反比例函数x

y 2

=

的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y 轴的交点为C. （1）求一次函数解析式； （2）求C 点的坐标； （3）求△AOC 的面积.

【当堂检测】

1.直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______；

2.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列 结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3.一次函数(1)5y m x =++，y 值随x 增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >-

B ． 1m <-

C ．1m =-

D ．1m <

4.一次函数23y x =-的图象不经过（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）

6.已知整数x 满足-5≤x≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是（ ） A.1 B.2 C.24 D.-9

7.如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（

22，2

2-） C.（－21，－2

1

） D.（－

22，－22）

第2

题图

第5题图 第7题图

一次函数的应用

【例题精讲】

例题1.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x （度）与相应电费y （元）之间的函数图像如图所示.

⑴月用电量为100度时，应交电费

元； ⑵ 当x≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； ⑶ 月用电量为260度时，应交电费多少元？

例题2. 在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系．

（1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙

地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式，并写出t 的取值范围．

例题3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

2·

4·

6· 8· S(km)

2 0 t(h) A B

1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．

15日：进油4万升，成本价4.5元/升．

31日：本月共销售10万升．

图（1） 2 O 5 x A B C P D 图（2）

第1题图

例题4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工1000只同一型号的奥运会吉祥物，每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间推迟两天开始加工．开始时，甲车间有10名工人，乙车间有12名工人，图中线段OB 和折线段ACB 分别表示两车间的加工情况．依据图中提供信息，完成下列各题：（1）图中线段OB 反映的是________车间加工情况；

（2）甲车间加工多少天后，两车间加工

的吉祥物数相同？ （3）根据折线段ACB 反映的加工情况， 请你提出一个问题，并给出解答．

【当堂检测】 1.如图(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，则△BCD 的面积是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 2.如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A ．乙比甲先到终点

B ．乙测试的速度随时间增加而增大

C ．比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇

D ．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快 3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟

C ．25分钟

D ．27分钟

4.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；

（2）求返程中y 与x 之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的

2 B

x （天） A

C

18 20 O 960 1000 y （只） 第2题图 第3题图 第4题图

距离．

反比例函数图象和性质

【知识梳理】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝

或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质

3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k

x

(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝

k

x

(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 . 【思想方法】 数形结合

【例题精讲】 例1 某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与它所受的牵

引力F （牛）之间的函数关系如右图所示：

（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；

（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？ （3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？

例2如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=

的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积；

k 的符号

k ＞0 k ＜0 图像的大致位置

经过象限 第 象限 第 象限 性质

在每一象限内,y 随x 的增大而

在每一象限内,y 随x 的增大而

o

y x

y x

o

O

y

x

B

A

（3）x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．

【当堂检测】

1. (2008年河南)已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为 ．

2.（2008年宜宾）若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y ＝x

1

的图像上，则点C 的坐标是 . 3．在反比例函数3

k y x

-=

图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）

A ．k ＞3

B ．k ＞0

C ．k ＜3

D ． k ＜0 4. (2008年广东)如图,反比例函数图象过点P,则它的解析式为( )

A.y ＝

1x (x>0) B.y ＝－1

x (x>0) C.y ＝1x (x<0) D.y ＝－1

x

(x<0)

5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A ．不小于54m 3

B ．小于5

4m 3

C ．不小于45m 3

D ．小于4

5

m 3

6．（2008巴中）如图，若点A 在反比例函数(0)

k

y k x

=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ． 7．对于反比例函数2

y x

=

，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它图象上B ．图象在第一、三象限

C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大

D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 8.（2008年乌鲁木齐）反比例函数6

y x

=-

的图象位于（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第二、三象限 D ．第一、二象限 9．某空调厂装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调.

（1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位：台／天）与生产的时间t

（单位:天）之间有怎样的函数关系？

（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每

天至少要组装多少空调？

第5题图

1

-1y

O

x

P

第4题图

第6题图

y x

O y

B

二次函数图象和性质

【知识梳理】

1. 二次函数2

()y a x h k =-+的图像和性质

a ＞0

a ＜0

图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标

最 值

当x ＝ 时，y 有最 值

当x ＝ 时，y 有最 值

增减

性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而

y 随x 的增大而

2. 二次函数c bx ax y ++=2

用配方法可化成()k h x a y +-=2

的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .

3. 二次函数2

()y a x h k =-+的图像和2

ax y =图像的关系. 4. 二次函数c bx ax y ++=2

中c b a ,,的符号的确定.

【思想方法】 数形结合

【例题精讲】 例1.已知二次函数24y x x =+，

(1) 用配方法把该函数化为2

()y a x h k =-+ (其中a 、h 、k 都是常数且a≠0)形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标.

(2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.

例2. （2008年大连）如图，直线m x y +=和抛物线

c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)．

⑴ 求m 的值和抛物线的解析式；

⑵ 求不等式m x c bx x +>++2

的解集．(直接写出答案)

【当堂检测】

1. 抛物线()2

2-=x y 的顶点坐标是 .

2．将抛物线2

3y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 3. 如图所示的抛物线是二次函数2

2

31y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．

4.二次函数2

(1)2y x =-+的最小值是（ ）

A.－2

B.2

C.－1

D.1

5. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .

6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，

则关于x 的一元二次方程2

20x x m -++=的解为 ．

7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）

A ．-1≤x≤3

B ．-3≤x≤1

C ．x≥-3

D ．x≤-1或x≥3 8. 二次函数c bx ax y ++=2

（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

第7题图 第8题图

9. 已知二次函数2

43y ax x =-+的图象经过点（－1，8）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；

x 0 1 2 3 4 y

（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x 的取值范围是什么？

第3题图

第6题图

二次函数应用

【知识梳理】

1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式：

2. 顶点式的几种特殊形式.

⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .

3．二次函数c bx ax y ++=2

通过配方可得2

24()24b ac b y a x a a

-=++

，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.

⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ．

【思想方法】 数形结合

【例题精讲】 例1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距

水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米. （1）求这条抛物线的解析式；

（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米， 才能使喷出的水流不至于落在池外？

例2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元） ⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式； ⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

（1） （2）

【当堂检测】

1. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中如图，则此抛物线的解析式为 ．

2. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ） A ．y ＝x 2＋a B ．y ＝ a （x －1）2 C ．y ＝a （1－x ）2 D ．y ＝a （l ＋x ）

2

3．如图，用长为18 m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.

⑴ 设矩形的一边为()m x 面积为y (m 2)，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

⑵ 当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

4．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线

3

5

321212++-

=x x y 的一部分，根据关系式回答：

⑴ 该同学的出手最大高度是多少？

⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ ⑶ 该同学的成绩是多少？

5.某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y (万元)与投资金额x (万元)之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元； 信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y (万元)与投资金额x (万元)之间存在二次函数关系：2

B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.

(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

(2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少

.

第1题图