专题5.2 平面向量的数量积及其应(解析版)

第五章 平面向量

专题2 平面向量的数量积及其应用

【三年高考】

1. 【2017高考江苏】已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b

（1）若a ∥b ，求x 的值；

（2）记()f x =?a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．

【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，错误！未找到引用源。取得最大值3；5π6

x =时，错误！未找到引用源。取得最小值23-．

【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3cos 3sin x x -=，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π23cos((6

))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．

试题解析：（1）因为

co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，所以3cos 3sin x x -=． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠． 于是3tan 3

x =-．又错误！未找到引用源。，所以5π6x =． （2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6

f x x x x x x =?=?-=-=+a b ． 因为错误！未找到引用源。，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62

x -≤+≤． 于是，当ππ66

x +

=，即0x =时，错误！未找到引用源。取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，错误！未找到引用源。取到最小值23-． 【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值

【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ?=∥a b ，,,λλ≠??∈=0R ∥a b b a b ，

BA AC OA λ=?= 111OB OC λλλ

+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥??=?+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=?=?<>a a a b a b a b ．

2. 【2016高考江苏13】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ?= ，

1BF CF ?=- ，则BE CE ? 的值是 .

【答案】78

【考点】向量数量积

【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．

3．【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+= ，则110k =∑(a k a k+1)的值

为 【答案】93

【解析】 a k a k+1(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666

k k k k k k ππππππ+++=+?+ (1)(1)(1)cos cos (sin cos )(sin cos )666666

k k k k k k ππππππ+++=++?+(1)(1)(1)(1)(1)(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )cos cos 6666666666

k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=++++22(1)3231cos

sin cos cos sin cos cos sin 66662626266k k k k k k k ππππππππππ+++=++=++- 3231sin (1cos )sin 264343k k k ππππ+=+++-3321(21)sin cos 4626

k k πππ++=++ 因为21(21)sin

cos 626k k πππ++，的周期皆为6，一个周期的和皆为零， 因此110k =∑(a k a k+1)3312934

=?=. 【考点定位】向量数量积，三角函数性质

4．【2014江苏，理12】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =?= ，则

AB AD ? 的值是 .