2016江西青年职业学院数学单招测试题(附答案解析)

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式

如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或

P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长

如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式

P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

第I 卷(共40分)

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合要求的．

１．如果复数的实部与虚部互为相反数，则的值等于

Ａ．

Ｂ． Ｃ．

Ｄ．cl S 2

1=

锥侧33

4R V π=

球k n k

k n n P P C k P --=)1()()()2(R a i ai ∈+a 1-122

-

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２．已知全集集合则

Ａ． Ｂ．C ．

３．已知中，

，那么角等于 Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

４．设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．

的是Ａ．≤

Ｃ．≥ Ｄ．≥５．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．６．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第

一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有Ａ．24种Ｂ．48种

Ｃ．96种

Ｄ．144种

７．若双曲线的右支上存在一点，使点到左准线的距离与它到右焦点

的距离相等，那么该双曲线的离心率的取值范围是

,U R ={}{}2,1,A x x B x x =>=≤()()U U A C B B C A = ?{}12x x x <≥或{12x x ≤

,,a b c b a -c b c a -+-2

21a

a +

a

a 1+

22b a +ab

2b a ,βα,b a ⊥βαβα//,,⊥?b a βαβα//,,⊥⊥b a βαβα⊥⊥,//,b a β

αβα⊥?,//,b a 122

22=-b

y a x P P

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Ａ．

Ｃ． Ｄ．８．给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作= m ． 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①函数y=的定义域为R ，值域为；

②函数y=的图像关于直线（）对称；③函数y=是周期函数，最小正周期为1；

④函数y=在上是增函数．其中正确的命题个数为

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４

第II 卷

二．填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14题第一空２分，第二空3分，第

15题第一空3分，第二空2分），共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．

９．的展开式中10．已知，，且，则向量与向量

]13,1(+)13,1(+)

12,1(+2

1

21+≤<-

m x m {}x {}x x x f -=)()(x f ??

????2

1,0)(x f 2

k

x =

Z k ∈)(x f )(x f ???

??

?-

21,219

1x x ?

?+ ??

?3x ||1a = ||b = ()a a b ⊥- a b

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11．设，要使函数在内连续，则

12．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量

与当天气温，并制作了对照表：

气温(0C) 18 13 10 -1 用电量(度)

24

34

38

64

由表中数据得线性回归方程中．现预测当气温为时，用电量的度数约为13．底面边长为，侧棱长为2

的正三棱锥ABCD 内接于球O ，则球O 的表面积为

14．已知数列：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，

，……．

（i ）

ii ）前200915．已知，满足，且目标函数的最大值为7，最小值为

4，

则（i ）ii ）()()()200x f x a x ?????x <=??+?

≥()f x (),-∞+∞a y x C y bx a =+2b =-4C - 3{}n a 11,...,1,n n -个

n x y ??

?

??≤++≤+≥041c by ax y x x y x z +=2++a c b a 22x y xy

+

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三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）

已知sin(π4＋3α) sin(π

4－3α)＝14，α∈(0， π4)，求（１）求角；（２）求

(1－cos2α

sin2α

－3)sin4α的值．解：（１），即，又6α∈(0，3π2)，∴，即．…………………………6分

（２）（1－cos2α

sin2α

－3）

sin4α

．………………………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

已知斜三棱柱，，

，在底面上的射

影恰

αsin(

3)sin(3)sin(3)cos(3)4444

π

πππ

αααα+-=++111

sin(6)cos 62224

παα=+==1cos 62α=

63πα=18

π

α=sin 4sin 40o α=2(sin 60cos10cos60sin10)2sin 50sin 40sin 40cos10cos10

o o o o o o

o

o o

---=?=?sin 801cos10

o

o

-==-111ABC A B C -90BCA ∠= 2AC BC ==1A ABC

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为的中点，又知．（１）求证：平面；

（２）求二面角的大小．

解：（１）取的中点，则，因为，

所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，，

，，，由，知，又，从而平面． …………………………………………6分

（２）由，得

的法向量为，

，，所以，设，则．

再设平面的法向量为，，，所以

，设，则．AC D 11BA AC ⊥1AC ⊥1A BC 1A A B

C --AB E //DE BC BC AC ⊥DE AC ⊥1A

D ⊥ABC 1,,D

E DC DA ,,x y z ()0,1,0A -()0,1

,0C ()

2,1,0B ()10,0,A t ()10,2,C t ()10,3,AC t = ()1

2,1,BA t =-- ()2,0,0CB =

10AC CB ?=

1

AC CB ⊥11BA AC ⊥1AC ⊥1A BC 1AC ? 2130BA t =-+= t =

1A AB (),,n x y z =

(1AA = ()2,2,0AB = 10220

n AA y n AB x y ??=+=???=+=??

1z =)

n =

1A BC (),,m x y z = (10,CA

=- ()2,0,0CB =

10

20

m CA y m CB x ??=-+=???==??

1z =()

m =

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根据法向量的方向，可知二面角的大小为． (12)

分

几何法（略）

18．（本小题满分12分）

在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．假设：答对题（），就得到奖金元，且答对题的概率为（），并且两次作答不会相互影响．

（１）当元，，元，时，某人选择先回答题1，设获得奖金为，求的分布列和．

（２）若，，若答题人无论先回答哪个问题，答题人可能得到的奖金一样多，求此时

的值．解：（１）分布列：

0 2000 3000

0.4

0.12

0.48

． ………………………………6分

（２）设选择先回答题1，得到的奖金为；选择先回答题2，得到的奖金为，

则有，．根据题意可知：

1

A A

B

C -

-i 2,1=i i a i i p 2,1=i 20001=a 6.01=p 10002=a 8.02=p ξξξE 212a a =121=+p p 1

2

p p ξ

P 168048.0300012.020004.00=?+?+?=ξE 1ξ2ξ11121212(1)()E a p p a a p p ξ=-++22211212(1)()E a p p a a p p ξ=-++

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，

当时，（负号舍去）．当时，

，，先答题1或题2可能得到的奖金一样多．………………………………12分

19．（本小题满分13分）

已知函数．（１）求的单调区间；（２）若不等式

恒成立，求实数的取值组成的集合．

解：（１）由已知得．因为，所以当．

故区间为的单调递减区间，区间

为的单调递增区间．……5分

（２）①当

时，

．令，则．由（１）知当时，有，所以，

即得在上为增函数，所以，

22212112221211211(1)(1)[2(1)](21)

E E a p p a p p a p p a p p ξξ-=

---=--

=+-211210p p -+=

11p =-±11p =

21

22212=

--=p p 12

E E ξξ=()ln 2f x x =-()f x ln x m

x

->m 0x

>/11

()f x x x

=

-=//(0,1)()0,(1,),()0x f x x f x ∈?<∈+∞?>(0,1)()f x (1,)+∞()f x (0,1)x ∈ln x m

m x x x

->?>-()g x x x =/()1g x ===

(0,1)x ∈()(1)0f x f >=/()0g x >()g x x x =(0,1)()(1)1g x g <=

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所以． ………………………………………………………………………………9分

②当时，

．由①可知，当时，为增函数，所以，所以．

综合以上得．故实数的取值组成的集合为． …………………………13分

20．（本小题满分13分）

已知是椭圆的顶点（如图）,直线与椭圆交于异于

顶点的两点,且

且 （１）求此椭圆的方程；

（２）设直线和直线的倾斜角分别

为．试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

1m ≥(1,)x ∈+∞ln x m

m x x x

->?<-(1,)x ∈+∞()g x x x =()(1)1g x g >=1m ≤1m =m {1}12,,A A B 22

221(0)x y a b a b

+=>>l ,P Q 2//l A B 2||A B =1A P BQ αβ,αβ+

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解：（１）由已知可得，所以椭圆方程为． ……4分

（２）是定值．理由如下：

由（１），A 2（2，0），B （0，1），且//A 2B ，所以直线的斜率

．…6分

设直线的方程为,，

即，且． ………………………9分

． …………………………………………10分

又因为，

225

c a a b ?=

???+=?

.1,2==b a 2214x y +=αβ+πl l 21

2

A B k k ==-l 11221,(,),(,)2y x m P x y Q x y =-+2

21412x y y x m

?+=??

??=-+??联立222220x mx m -+-=.048)22(44222≥-=--=?∴m m m 22≤≤-m ???-==+2

222

2121m x x m

x x ,,2

2

P Q π

π

αβ∴≠

≠

两点不是椭圆的顶点12

12

11

tan ,tan 2A P BQ y y k k x x αβ-∴==

==+m x y m x y +-=+-

=22112

1

,212

21112tan tan x y x y -++=

+βα211212(2)(1)

(2)x y x y x x ++-=+

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＝

．

又是定值． (13)

分

21．（本小题满分13分）

定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．已知无穷等比数列的首项和公比均为

． （１）试求无穷等比子数列（）各项的和； （２）已知数列的一个无穷等比子数列各项的和为

，求这个子数列的通项公式；

（３）证明：在数列的所有子数列中，不存在两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等．

解：（１）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为：

21122112

111

()()2()2

222(2)x x m x x m x m x x x -++-++-+--=

+212121212

(1)()22(1)2(22)220(2)(2)m x x x x m m m m m x x x x -+-+----+-==++tan tan tan()01tan tan αβ

αβαβ

++=

=-),0(,πβα∈)2,0(πβα∈+∴πβα=+∴{}n a 12

{}31k a -*N k ∈{}n a 1

7

{}n a *3131

1(N )2k k a k --=

∈31{}k a -

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． ……………………………………………………………………3分 （２）解法一：设子数列的首项为，公比为，由条件得：， 则

，即 ，． 而 ，则 ． 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项．公比均为

， 其通项公式为，． ………………………………………………7分

解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为． 由………… ① 又若，则对每一，都有…………

②

从①、②得

；则； 223

122177128

a ==-1

b q 1

02

q <≤

1112q ≤-<1121q

<≤-1111

(1)[,)7147b q ∴=-∈*

11(N )2m b m =

∈111,88

b q ==1

8

18n

n b ??

= ???

*N n ∈1b 1

2

m q =

*(N )m ∈*N m ∈?1

0112m

<-

17

12m

b b <=

-1116

b ≤*N m ∈11m b 1

11

1116161187111222

m m a ≤≤=<---11111

1678

b b <

m b -1

1

18

1171122m m a ==--?1711288m q ==-=

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因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项．公比均为

无穷等比子数列，通项公式为，． (7)

分

（３）假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等．设这两个

子数列的首项与公比分别为

和，其中且或，则………… ① 若且，则①，矛盾；若且，则①

，矛盾；故必有且，不妨设，则 ． ①………… ②

② 或

，两个等式的左,右端的奇偶性均矛盾．

1

8

18n

n a ??

= ???

*N n ∈1122a m 、1122

b n 、*a b m n N ∈、、、a b ≠m n ≠11

22111122

a b m n

=--?1111(1)(1)2222a n b m -=-a b =m n ≠?

11

22

m n =?m n =a b ≠m n =?11

22a b =?a b =a b ≠m n ≠a b >1111

11222222

n m a b n m n m -?>?>?1112(1)22a b

n m --=-?121222

a b a b n m ---=-?22

22m m n

a b m a b --+--=-?()()2221n a b m n a b n ----++-=()m n a b -<-()()()2221m m n a b m a b -----+-=()m n a b ->-

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故不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等．………13分