2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期期末考试

数学（文）试题

一、选择题

1．若i 为虚数单位， ,a b R ∈，且2a i

b i i

+=+，则ab =（ ） A. 1- B. 1 C. 2- D. 2 【答案】C 【解析】由

2a i

b i i

+=+，得21a i bi +=-+，得12a b =-=， 2ab =-，故选C.

2．设0x >，由不等式12x x +

≥， 243x x +≥， 327

4x x

+≥，…，类比推广到1n a

x n x

+

≥+，则a =（ ） A. n n B. 2n C. 2n D. n

【答案】A

【解析】观察可得112x x +≥， 222423x x x x +=+≥， 3

332734x x x x +=+≥，

故1n

n n a n x x n x x

+=+≥+.

故选A.

3．设双曲线22

21(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】双曲线2221(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为33

y 2x x a =±=±,所以2a =，故选B.

4．用反证法证明“*

,a b N ∈，如果a 、b 能被2017整除，那么,a b 中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是（ ） A.

a 不能被2017整除 B.

b 不能被2017整除

C. ,a b 都不能被2017整除

D. ,a b 中至多有一个能被2017整除 【答案】C

【解析】命题的否定只否结论，即“,a b 中至少有一个能被2017整除”的否定为,a b 都不能被2017整除，故选C.

5．为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据

根据表中数据，通过计算统计量()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并参考以下临界

数据：

若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过（ ） A. 0.05 B. 0.025 C. 0.01 D. 0.005 【答案】A

22?

计算统计量()2

240212818 4.800 3.8410302020

K ?-?==>???，查表得概率为0.05，

故选A.

6．已知函数()ln 3f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 1 B. 12 C. 14 D. 18

【答案】C

【解析】对函数()ln 3f x x x =-求导得： ()1

3f x x

'=

-，有()12f '=-，又()13f =-.

所以切线方程为： ()321y x +=--,整理得21y x =--.

如图： ()1111

A ,0,0,1,12224

OAB B S ??--=

??= ???

，故选C. 7．若圆的方程为12{

32x cos y sin θθ=-+=+（θ为参数），直线的方程为21{61

x t y y =-=-（t 为参数），

则直线与圆的位置关系是（ ）

A. 相交过圆心

B. 相交而不过圆心

C. 相切

D. 相离 【答案】B

【解析】试题分析：把圆的参数方程化为普通方程得： ()()2

2

134x y ++-=，所以圆心坐标为()1,3-，半径2r =，把直线的参数方程化为普通方程得： ()131y x +=+，即320x y -+=，所以圆心到直线的距离

2d r =

=

<=，又圆心()1,3-不在直线320x y -+=上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心，故选B ． 【考点】直线与圆的位置关系；直线的参数方程；圆的参数方程．

【方法点晴】本题主要考查了参数方程与直角坐标系中普通方程的互化、直线与圆的位置关系，其中牢记直线与圆的位置关系的判定方法是解答此类问题的关键，属于中档试题，本题的解答中把圆的方程及直线的参数方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，得到d r <，且圆心不在已知直线上，即可得到结论．

8．下列命题中正确的是（ ）

A. 命题“0x R ?∈， 0sin 1x >”的否定是“x R ?∈， sin 1x >”

B. “若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题为“若0x ≠或0y ≠，则0xy ≠”

C. 在ABC 中， A B >是sin sin A B >的充分不必要条件

D. 若()p q ∧?为假， ()p q ∨?为真，则,p q 同真或同假 【答案】D

【解析】对于 A. 命题“0x R ?∈， 0sin 1x >”的否定是“x R ?∈， sin 1x ≤”,不正确；

对于B.“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题为“若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠”,不正确；

对于C. 在ABC 中， A B >是sin sin A B >的充分必要条件，不正确；

对于D. 若()p q ∧?为假， ()p q ∨?为真,则p 和q ?一真一假，即,p q 同真或同假. 故选D.

9．若0ab >且直线20ax by +-=过点()2,1P ，则12

a b

+的最小值为（ ） A.

92 B. 4 C. 7

2

D. 3 【答案】B

【解析】∵直线ax +by ?2=0过点P (2,1)，∴2a +b =2. 又ab >0，

∴

()121121412444222a b a b a b a b b a ?????+=++=++≥+= ? ? ???

??.

当且仅当b =1,a =

1

2

时取等号。 故选：B.

点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

10．已知抛物线2

y =的焦点为F ， A ， B 为抛物线上两点，若3AF FB =

，

O 为坐标原点，则AOB 的面积为（ ）

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】

如图所示，根据抛物线的定义， BC BF t == 则3,AD AF t == 可得

42AB t AE ==，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜

角为60

，直线 AB 的方程为y x = ，联立直线AB 与抛物线的方程可得

6,2A B y y ==- ，所以1211

822

AOB S OF y y ?=??-==，当直线AB

倾斜角为120 时，同理可求，故选B. 11

．

设

等差数列

{}

n a 满足

()

()5

100

8

1008

1201611

a a -+-=，

()()5

100910091201611a a -+-=-，数列{}n a 的前n 项和记为S ，则（ ）

A. 20162016S =， 10081009a a >

B. 20162016S =-， 10081009a a >

C. 20162016S =， 10081009a a <

D. 20162016S =-， 10081009a a < 【答案】C

【解析】构造函数()5

2016f x x x =+ ，则()f x 是奇函数，且在(),-∞+∞ 上递增，

()()()100810091009111f a f a f a -=--=-

，

100810091008100911,2

a a a a ∴-=-∴+=

，

所

以

12

1

6

1

00

2016201620162016

2

2

a a

a

a S ++=

?=

?= ，由

()()1008100911f a f a ->- ，得100810091009100811,a a a a ->-∴> ，故选C.

12．若函数()2

2f x x ax b =++在区间()0,1和()1,2内各有一个零点，则

3

1

a b a +--的

取值范围是（ ） A. 1,14??

??? B. 33,42??

??? C. 15,44??

??? D. 5,24?? ???

【答案】D

【解析】若函数f(x)=x2+ax+2b 在区间(0,1)、(1,2)内各有一个零点，

则()()()001020f f f ?>?

?

,即02102240

b a b a b >??++?, 作出不等式组对应的平面区域如图：

因为

32111a b b a a +--=+--

设z=21

b a --,则z 的几何意义为区域内点到点D(1,2)的斜率，

由图象可知AD 的斜率最小，CD 的斜率最大，

由2102240a b a b ++=??

++=?,解得3

1

a b =-??=?,即A(?3,1)，

此时AD 的斜率121k 314-=

=--,CD 的斜率02

k 111

-==--， 即14

1241

b a -<+

<-，故选D. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.

二、填空题

13．将点P 的极坐标34

π?

??

化成直角坐标为__________． 【答案】()1,1-

【解析】331,144

x y ππ=

=-==，所以直角坐标为()1,1-. 14．设,A B 分别是复数12,z z ，在复平面上对应的两点， O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB ∠的大小为__________． 【答案】

2

π

【解析】依据复数加法、减法的几何意义可知，

以向量,OA OB

为邻边的平行四边形是矩形，

所以2

AOB π

∠=

.

15．某企业想通过做广告来提高销售额，经预测可知本企业产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：

由表中的数据得线性回归方程为???y

bx a =+，其中? 6.5b =，由此预测当广告费为7百万元时，销售额为__________万元．

【答案】63 【解析】根据

已知数据可知：

245683040605070

5,5055

x y ++++++++=

===.

50 6.5517.5??a

y bx =-=-?=. 6.5175?.y

x =+.当7x =时， ?63y =.