动物群落的稳定发展

A 题：动物群落的稳定发展

摘要：本文通过对某公园近两年内被运出的某种动物的年龄和性别的数据进行统计分析，并针对题目的四个问题分别建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中，应用C 语言进行编程调试，通过统计学软件SAS ，数学软件M ATLAB 等计算工具，编写相应的程序，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。 问题一：我们假设新生幼仔的数量为0x ，然后通过对各年龄阶段的存活率γ、被运走的动物数量j B 以及该动物的总体数量的分析来建立该群落的动态变化模

型()()6060()(),1,011k k k i i i i d t x x dt ==X =-∑∑，

利用该群落近两年内被运走的各年龄阶段的个体数量分布，用C 语言编程计算，推测出当前该动物的年龄结构（具体结果见 7 页表一）。并利用MATLAB 软件对得出的数据用图形表示，利用对比分析法，得到该动物群落的基本分布轨迹，最后用统计软件SAS 对模型进行相关性的分析检验，求得相关系数R 与P 的值，验正了模型的稳定性。

问题二：由于现在采用注射避孕药的方法来维持该种群的稳定，而且已经没有个体被运走或被偷猎的情况，为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数

110223[(1)]x c c εγγ=--+（该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数

量的差值）；另外从60

60

()

()

,1

,0

11k k i i i i x

x ε===-∑∑（即年头的数量与该年年底的数量的差值）当ε趋于0时，即认为该群落的个体数量是稳定的，从而把问题的稳定性问题转

化为求单目标的最优化问题建立模型；利用MATLAB 对模型进行求得，得出当不考虑不确定性因素影响时要注射药物的雌性动物数量为276头，而当考虑了双胞胎和被重复注射这两个不确定性因素影响后，得到要注射药物的雌性动物数量为352头，其中有110头是被重复注射的。

问题三：其大致模型与问题二相近，不同之处在于要考虑到被运走的动物的数量（b ），即目标函数ε应考虑上被运走的数量，即只是对问题二的模型进行扩充建立新的目标模型；110223[(1)]x c c εγγ=--+－b 和60

60

()

()

,1

,0

11k k i i i i x

x ε===-∑∑－b ；利用MATLAB 对不同b 值进行求解，从而得出相应的避孕措施。（具体结果见 19 页

表二）

问题四：我们引进了增量加速度的概念，利用c 语言进行编程求解，然后用MATLAB 软件对得到的数据进行线性回归分析，得到该群落在减少至M 时重新壮大该动物群落能力的模型：M ＝3.9010+0.0047D 。最后应用统计软件SAS 对模型进行稳定性分析。

关键字：存活率 年龄结构 新生幼仔数 稳定性 最优目标 增量加速度

一．问题重述与提出

位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头某种野生动物。管理员要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头该动物的稳定群落。过去的20年中，整个该动物群是通过一些偷猎枪杀以及转移到外地而稳定下来的。但是近年来，偷猎被禁止，而且每年要转移这些动物也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕。

要探讨这种避孕注射法的实用性，我们需要完成以下问题：

1．探讨该动物年龄在2岁到60岁之间的合理的存活率的模型，推测这个动物群落的当前的年龄结构。

2．估计每年在该群落中有多少雌性动物要注射避孕药，可以式群落固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响。3．假如每年转移50至300头此动物到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？

4．如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量该动物的死亡），那时重新壮大该动物群的能力如何？

二．基本假设与符号说明

（一）模型假设

1．该公园是非开放式的，它与外界不发生关系，从而构成独立的生物群落，该动物群落不存在与其它动物种群的竞争，或虽有竞争，但其影响只局

限于该动物群落的死亡率内。

2．种群是通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为主要研究对象。

3．为了讨论的必要，我们把新生的幼儿的存活率定为75％，而其后的存活率为95％，直到60岁为止。各年龄组的该动物经过一年后即进入高一级

的年龄组，而龄超过60即认为全部死亡，退出该系统。

4．由于该公园加强了对该动物群落的保护，我们认为该动物没有再被偷猎

射杀。而该动物群落个体数量的减少只是因为自然死亡以及被运走。 5．假设同一年龄组的动物个体之间是同质的，我们只考虑其平均水平，不

讨论个别差异。

6．题设该动物在10～12岁开始怀孕，我们这里设定为11岁开始，经过22

个月（约两年）的怀孕期后生幼仔，即可认为该雌性动物在13～60岁的时间内可以生幼仔。

7．该群落的自然死亡是在生完幼仔后才发生的，产幼仔只发生在每年的年

初时段，而被运走只发生在年底时段。

（二）符号说明

1γ：新生幼儿的存活率，其值为0.75；

2γ：1～60岁个体的存活率，其值为0.95； 3γ：双胞胎出生的几率，其值为0.0135；

()()k t X ：该动物第k 年时刻的数量；

()

,0

k i x ：该动物第k 年初i 龄动物的数量； ()

,1

k i x ：该动物第k 年初底i 龄动物的数量 j B ：第j 年被运走的动物的数量；

()()0k X ：表示该动物第k 年初时的总数量；

1λ:表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率，其值为

1

3.5

； 2λ：表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的几率，其

值为

1

5.5

； 3λ：表示被注射过避孕药但在两年内被重复注射的雌性动物生幼仔的几率，其值为

1

6.5

； 1c ：表示从13～60岁该动物的雌性个体的总数；

c：表示从1～59岁该动物的个数总和；

2

c：表示60岁该动物的个体总和；

3

y：表示13～60岁雌性动物没有被注射避孕药部分的数量；

1

y：表示13～60岁雌性动物被注射过避孕药但在两年内不再被注射部分的数2

量；

y：表示13～60岁雌性动物被注射过避孕药但在两年内被重复注射部分的数量；

3

ε：表示每年出生幼仔的数量与该年个体死亡的数量的差值；

1

ε：表示该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量与运走个体数量2

的和的差值；

ε：表示该动物群落在年底时的总数量与年初的数量加上被运走的个体数量b 3

的差值。

三．问题分析与模型建立

问题一：

1．我们要研究该动物群落的稳定性问题，首先要根据存活率确定其当前的年龄结构。该动物的新生幼仔存活率较低，题设是70％到80％之间，为了讨论的需要，我们这里设定为75％。在1岁后的存活率比较高，在这里设为95％，直到60岁，而超过60岁则认为退出该系统。因此，我们先建立出该动物群落中年龄在2岁到60岁之间的合理的存活率的模型。

模型一：

()()()6060()()

,1,01160()

()

,0

1()(1)(),0

,1(),1

(1)(0)(2)(3)

......(0,1,..59)(4)

0............(60k k k i i i i k k i i k j k k i i k i d t x x dt x d t B dt x x i x i ===+X =-------------=X ------------------X =------------------==-----------==∑∑∑()(),1

1,0

()(),12,060()

,0()

13

0,01)(5)......(0)(6)......(1,2,...,59)(7)(8)2

k k i i k k i i k i k i x x i x x i x x γγλ=??

?

??????

???--------------??==--------------??==----------???=-----------------??∑

式（1）表示该动物第k 年增长的数量；

式（2）表示该动物第k 年初时的总数量，可由已有的数据计算出()(0)k X 来； 式（3）表示该动物被运走的数量；

式（4）和（5）表示该动物第i 龄到了年底全部转化为（i ＋1）龄； 式（6）和（7）表示该动物各年龄段的变化； 式（8）表示该动物新生的幼仔数量。

2．通过对该公园近两年内从这个地区运出的该动物的年龄和性别的数据进行统计分析，并利用编程工具Turbo C 2.0对该模型进行编程计算（源程序及计算过程见附录1），可得到当前该动物群落的年龄结构，如下表所示：

表一该动物的年龄结构统计表

2417613163 1782176 165177 2516730137 1693166 156168 2615814144 1604156 148159 2715012138 1514147 140151 281420142 1433140 132143 2913420114 1352133 125135 301276121 1283125 118128 311203117 12113108 112121 321135108 1141698 106114 33107899 1081395 100108 341011289 1021092 94102 35951085 961086 8996 3690387 911279 8491 3785778 861670 7986 38801466 811269 7581 39751065 761066 7176 40711655 721260 6772 41672146 681949 6368 42631350 641351 5964 43591049 602436 5660 44561244 561739 5356 4553647 531637 5053 4650347 502525 4750 4747641 471235 4447 4844935 4445-1 4144 49411328 412318 3841 50381028 3834 4 3638 5136333 361323 3436

52 34 6 28 34 16 18 32 34 53 32 21 11 32 10 22 30 32 54 30 15 15 30 17 13 28 30 55 28 4 24 28 13 15 26 28 56 26 13 13 26 13 13 24 26 57 24 10 14 24 12 12 22 24 58 22 32 -10 22 3 19 20 22 59 20 14 6 20 22 -2 18 20 60 18

18 18

20

-2 17

18

生幼仔的雌性数量 784

792

734 789

13—60岁雌性数量 2735 232

2503 2772 302

2470 2569 总数量

11714

622

11092

11876

876

11000

11006

11808

注1：0岁表示新生幼仔。

注2：由于每个年龄段的数据均为推测值，而实际上运走的各年龄段的数量不一定全部与预测值相符，故表中“剩下数量”两组数据中出现负数可认为是独异点，不影响模型整体的准确性。

每年新生幼仔的数量（0x ）减去生幼仔的雌性的数量（

60

13

/2

3.5

i x ∑，由于雄性

与雌性的数量比接近1：1，我们可近似地认为13——60岁个体的雌雄数量相等），其差值即为双胞胎的数量，这个差值与生幼仔的雌性数量之比即为双胞胎的几率（3γ）1.35％。由表中数据可得，

7927840.0102784-≈，806792

0.0177792

-≈，7467340.0163735-≈，800789

0.0139789

-≈，这些比例都基本上接近题设的双胞胎的几率0.0135，说明以上推测得出的数据是准确的。

利用Matlab软件对以上四组数据用图形表示，并进行比较，得到该动物群落的基本分布情况图（源程序见附录2），如下图所示

图1

分析该图，可以看出，这四组曲线的轨迹、分布情况基本相同。由于“预测当前的年龄结构情况（无运走）”一组数据没有减去被运走的个体数量，故其每个年龄层的数量都略多于前三组的数量，因此其曲线比前三组的曲线略高一点，利用SAS软件对模型进行相关性的分析检验（源程序见附录3），得到如下结果：

图2

程序的分析及统计结论：

程序中的x1是前一年的该动物群落的年龄结构，x2是前两年该动物群落的年龄结构，x3是该动物群落没有被运出是的年龄结构，x4是预测的当前的该动物群落的年龄结构。过程中的PROC CORR是分析变量中两两变量之间的PEAROS 简单相关的。

输出结果中的结果1是一些基本的描述统计量，结果2是两两变量之间的相关矩阵，其中包括相关系数和显著性检验的概率。由结果可知前一年的该动物群落的年龄结构（x1）与前两年的该动物群落的年龄结构（x2）的相关系数R=0.99744,P=0.0001<0.01，所以前一年的该动物群落的年龄结构（x1）与前两年的该动物群落的年龄结构（x2）之间存在着极显著的正相关；前一年的该动物群落的年龄结构（x1）与没有运走是的该动物群落的年龄结构（x3）的相关系数R=0.99896,P=0.0001<0.01，所以前一年的该动物群落的年龄结构（x1）与没有运走时的该动物群落的年龄结构（x3）之间存在着极显著的正相关；同理可知x1与x4的相关系数R=0.99896,P=0.0001<0.01;x2与x3的相关系数R=0.99846,P=0.0001<0.01；x2与x4的相关系数R=0.99854,P=0.0001<0.01；x3

与x4的相关系数R=0.99999,P=0.0001<0.01 。

由以上的分析可知，x1,x2,x3,x4之间的相关系数接近1，可见模型一的稳定行很强，而且由公式推出的前一两年的数据与该公园已有的数据基本相符合，可见模型是很优的。

问题二：

由于目前该动物已经很少被移出或移入，而且偷猎枪杀的情况微乎其微，所以暂时不列入考虑范围内。因此对该动物群落若不采用人工手段控制，则其在一定时间范围内会大幅度增加，从而破坏该种群的动态平衡。为了保持该种群的平衡，而又不必每年运走一定数量动物，现在使用一种避孕注射法，可使该动物群落的数量固定在一定范围内，用这种方法注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕，但不会引起其它附加的反应。我们所要做的就是估计出每年在该群落中要注射避孕药的雌性动物的数量，并且要考虑到各种不确定性因素的影响。

为了分析的方便，我们先建立初步模型，该模型暂时不考虑注射避孕药所产生的不确定性因素的影响，即不考虑两年内被重复注射的雌性数量及双胞胎的几率。在这里我们只认为新生幼仔的数量由两部分组成，一部分为没注射过避孕药的雌性个体所生，另一部分为被注射过避孕药的雌性个体所生。另外，由于已经没有个体被运走或被偷猎的情况，为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数ε（该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量的差值）

，当ε趋于0时，即认为该群落的个体数量是稳定的，从而把问题的稳定性问题转化为求单目标的最优化问题。从而建立模型如下:

模型二：

11220121

10223min y +y =0[(1)]

z x y y c x c c ε

λλεγγ=-??+=??=--+?

其中：1λ＝

1

3.5，表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率。 215.5

λ=，表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔

的几率；

这里设1c ＝2596，表示从13～60岁该动物的雌性个体的总数为2596； 设2c ＝10243，表示从1～59岁该动物的个数总和为10243； 设3c ＝17，表示60岁该动物的个体总和为17；

ε：表示该种群每年的新生幼仔的数量与该年死亡个体的数量总和的差

值。

把已知的数据代入上述模型，从而得到以下模型：

120120min 0.2857y +0.1818y =025690.75529z x y y x ε

ε=-??

+=?

?=+?

利用Matlab 软件进行编程（源程序见附录4），求得

161202293,276,705, 2.028610y y x ε-====?.

其中

16

2.0286100ε-=?≈，说明该模型是稳定的，即该动物群落的数量被控制在一定的范围内。由2276y =可知，每年大约有276头雌性动物要注射避孕药，才能使该群落的数量保持在11000头左右。

模型三（模型二的改进）：

由于每年被注射的雌性动物数量一定，所以被注射过后两年有可能又被注射，则将其归入到“被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物”内。因此，注射避孕药所产生的不确定性因素之一即为“被注射过避孕药但在两年避孕期内被重复注射的雌性动物”。另外不确定因素之二即双胞胎的几率问题，所以这里我们加入一个参数3γ。

当第一年采用注射避孕药的方法时，是不会发生有雌性个体被重复注射的情

况的，故有以下模型：

1122312012110223min y +y +(y +y )x =0[(1)]

z y y c x c c ε

λλγεγγ=-??

+=?

?=--+?

其中：

1λ＝

1

3.5，表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率； 215.5

λ=，表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的

几率；

31

6.5

λ=，表示被注射过避孕药但在两年内被重复注射的雌性动物生幼仔的几率；

10.75γ=，表示新生幼仔的存活率； 2γ＝0.95, 表示1～60岁动物的存活率；

30.0135γ=, 表示新出生的幼仔中双胞胎的概率。

12120120min 0.2857y +0.1818y +0.0135(0.2857y +0.1818y )x =025690.75[(10.95)1024317]z y y x ε

ε=-??

+=?

?=--+?

利用Matlab 软件求解（源程序见附录5），求得

161202202,367,705, 2.479110y y x ε-====?

其中

16

2.4791100ε-=?≈，说明该模型是稳定的，即该动物群落的数量被控制在一定的范围内。由2

367y =可知，每年大约有367头雌性动物要注射避孕

药，才能使该群落的数量保持在11000头左右。由于考虑双胞胎的机率，故必须增加注射的数量。

当注射避孕药一年后再次注射时，就会有某些数量的雌性个体被重复注射的情况出现，但这部分一定比前一年注射的雌性个体的数量少，故建立以下模型

模型四：

112233311223303123110223min y +y +y +(y +y +y )x =0y [(1)]z y y y c x c c ε

λλλγλλλωεγγ=-??≤??++=??=--+?

代入已知数据，得到以下目标函数模型：

123031230min 0.2896y +0.1843y +0.1698y x =0y 25690.75529z y y y x ε

ωε=-??≤??++=?

?=-?

其中ω是前一年被注射避孕药的雌性个体的数量。利用Matlab 软件编写程序求解，通过对ω的不同取值进行调试，（源程序见附录6）求得当ω＝242时，模型稳定，此时

12

12302217,242,110,705, 1.640910y y y x ε-=====?

其中0

705x =与模型三的解相同，说明新生幼仔的数量比较稳定，而每年注

射避孕药的雌性动物则减少到352头，其中有110头是在注射后一年又被重复注射的数量，而12

1.640910

0ε-=?≈则说明了该动物群落的个体数量是稳

定的，被控制在一定范围内。由此可知当每年注射352头时，就能把该动物群落的数量控制在11000头范围内。

问题三:

假如每年转移50至300头此动物到别处，其大致模型与问题二相近，不同之处在于要考虑到被运走的动物的数量（b ），即ε应表示该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量与运走个体数量的和的差值。相应的避孕措施将改变如下： 模型五：

112233311223303123110223min y +y +y +(y +y +y )x =0y [(1)]z y y y c x c c b ε

λλλγλλλωεγγ=-??≤??++=?

?=--++?

其中b 表示该年被运走的动物的数量（50～300）； 代入已有数据，并把方程标准化，得到以下模型：

123031231023min 0.2896y +0.1843y +0.1698y x =0y 0.75(0.05)z y y y c x c c b ε

ωε=-??≤??

++=??=-+-?

其中b 的值在50～300之间变化，我们以50头为间距（即b 的值分为50，100，150，200，250，300六种情况），利用软件MATLAB6.0计算得到每年转移从50至300头到别处时所应采取的避孕措施（源程序见附录7），当取b ＝50时，得到以下输出结果： ：

由输出结果的提示可知，在100000次迭代后仍然无法找到最优值；由exitflag=-1可知，以上模型得到的数据是发散的，从而说明上述模型本身并不存在问题，只是计算机无法在有限的迭代次数内找到最优值。为此解决该问题，我们对以上模型进行修改，把目标函数3ε定义为该动物群落在年底时的总数量与年初的数量加上被运走的数量b 的差值，从而得到以下模型： 模型六：

3

6060()()

3,1,011

60()

,01

(1)(),0,1(),1()()

,11,0min 11000......(0,1,..59)0............(60)......(0)k k i i i i k i i k k i i k i k k i i z x x b x x x i x i x x i εεγ===+==--=======∑∑∑－－－－－－－－（1）

－－－－－－－－－－－（2）－－－－－－（3）－－－－－－－－（4）－－－－－－－()()

,12,0()()()0,0

1122

60()

,0()()1312......(1,2,...,59)2

k k i i k k k k i k k i x x i x y y x y y γλλ=???

??????????==??=+????+=??∑－（5）－－－－－（6）－－－－－－－－－（7）

－－－－－－－－－（8）

其中

式（1）表示目标函数，其值趋于0；

式（2）表示该动物在第k年初的数量，其值取11000；

式（3）和（4）表示该动物第i龄到了年底全部转化为（i＋1）龄；

式（5）和（6）表示该动物各年龄段的变化；

式（7）表示该动物新生的幼仔数量；

式（8）表示该动物在13～60岁的雌性个体数量之和；

对b以10为间距，分别从50取到300头，利用MATLAB软件进行求解（源程序见附录8），得到以下表二：

问题四：

用人工手段可以使得该动物群落的数量减少，使其数量控制在一定范围内，但是，我们并不知道用了这种人工手段后，对于一次突发事件后要增加其数量时，该种群的复壮能力如何。因此，我们建立数学模型，分析研究其复壮能力。我们

假设由于某种原因（例如由于一场大灾难导致该动物的死亡），使得该动物减少至M 头，此时不得不停止注射避孕的方法。在初步模型中，我们先假设灾难发生后该种群虽然数量减少，但其年龄结构没有改变。建立该动物群落重新壮大的能力的模型如下： 模型七：

()()6060()()

,1,01160(1)

,01

(1)(),0,1(),1()

()

,11,0(1)M .....(0,1,..59)(3)0...........(60)(4)......(0)(5)k k k i i i i i i k k i i k i k k i i d t x x dt

x x x i x i x x i x γ===+X =-=======∑∑∑－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2)－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－()(),1

2,0.....(1,2,...,59)(6)k k i i x i γ??

???????????==??－－－－－－ 对M 取不同的值，利用c 语言进行编程求解，（源程序见附录9）可以得到以下表：

该表对M进行不同的取值，分别表示某一年（t＝0）灾难发生后该动物群落剩下的数量。我们用第一题的C程序即可算出该群落在下一年（t＝1）的增量，把这个增量加上上一年群落的总数即为第一年（t＝1）群落的总数M1,接着我们又用程序算出这一年的增量，加上M1即为第二年（t＝2）的个体总数M2。以这样的算法推算下去，一直到群落数量恢复到11000左右或者前十年（t＝10）为止。

将计算出来的各年增量按时间t（1，2……10）列在座标上，用MATLAB进行曲线拟合（具体程序见附录10），得到的图形如下所示：

从图中可以看出，每年的增量都是遵从一定的线性关系的，也就是说，该群

落的增长加速度

()

2

2

d t

dt

X

是一定的，通过MATLAB的曲线拟合可以求出不同M

值所对应的增长加速度(程序见附录)，数据如下：

通过这些数据，我们可以知道，在灾难后群落数量减少至M时的重新壮大能力。

再用MATLAB求出M与D的关系，进行曲线拟合求出斜率k后画出图形（程序见附录11），如下所示