《高等数学》下总复习

第七章微分方程

内容概要

名称主要内容

基本概念微分方程，方程的阶，方程的解；通解；特解，初始条件

常见微分方程及其解法一阶微分方程可分离变量型

齐次微分方程

可化为齐次的微分方程

一阶线性微分方程

贝努利方程

全微分方程

高阶微分方程可降阶的高阶方程

高阶线性

微分方程

方程解的结构理论

齐次线性微分方程解法

非齐次线性微分方程解法

欧拉方程

其他刘维尔公式，常数变异法，微分方程组求解，微

分方程的应用

§12.1微分方程的基本概念

内容概要

名称定义

微分方程表示未知函数，未知函数的导数或微分与自变量的关系的方程。

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多

元函数的微分方程称为偏微分方程。

微分方程的阶微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。n阶微分方程形如0

)

()(=

F ，其中)1

(

x 可以不出现，)(n y必须出现。

微分方程的解代入微分方程使微分方程成为恒等式的函数。确切的说，设函数)

=在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，

0))(,),(),(,()(≡'x x x x F n ??? ，则称

函数)(x y ?=是微分方程0),,,,()(='n y y y x F 的解。

通解 n 阶微分方程的含有n 个相互独立的任意常数的解。特解不含任意常数的方程的解为特解。初始条件确定微分方程通解中任意常数的条件。所有解通解以及不能包含在通解中的解。积分曲线

微分方程解的图形。

第八章空间解析几何与向量代数

内容概要

名称

主要内容（8-1，8-2，8-3）

向量及

线性运

算向量的加减法三角形法则平行四边形法则向量与数的乘法 a λ：当0>λ时，a λ表示和a 同向，a a λλ=的向量；

当0<λ，a λ表示和a 反向，a a λλ=的向量；

主要性质：（1）a 单位化向量为a

，（2）b a a//b λ=?

向量的坐标

),,(),,,(22221111z y x M z y x M 的距离：212212212)()()(z z y y x x -+-+- 向量的代数运算

k j i a z y x a a a ++=

k j i b z y x b b b ++= k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a ±+±+±=± k j i a z y x a a a λλλλ++=

向量

a 的模、方向余弦：

2z y x a a a ++=a ，

a a z x x a

b a ===

γβαcos ,cos ,cos 向量a 在μ轴上的投影：μ

a μa a a μ?=

=∧

),cos(Pr j 数量积向量积

混

数量积

定义及运算：z z y y x x b a b a b a ++==?∧),cos(b a b a b a

主要性质：（1）2

a a a =?；（2）0=??⊥

b a b a ，（3）

a b

a b a ?=∧),cos(

合积向量积定义运算

a?的模为

)

sin(

∧

，

方向为a指向b大拇指方向

性质：（1）b

a?表示以a、b为邻边的平行四边形面积；

（2）b

a⊥

⊥

混合积

定义及运算：

(

性质：（1）b

(

)

(

)

(

（2）c

,共面的充要条件：0

)

内容概要

主要内容（8-4，8-5，8-8）

曲面及其方程旋转曲面

xoy面上曲线0

)

f绕x轴旋转的旋转曲面方程：

±z

yoz面上曲线0

)

f绕z轴旋转的旋转曲面方程：

)

±z

xoz面上曲线0

)

f绕z轴旋转的旋转曲面方程：

)

±z

常见旋转曲

面

（1）圆锥面：)

=（yoz面上直线y

z=绕z轴旋转

而成）

（2）旋转单叶双曲面：1

（zox面上的曲线

绕z轴旋转而成）

柱面

)

f表示准线为：

)

(

母线平行于z轴的柱面

0),(=z y f 表示准线为：??

?==00

),(x z y f 母线平行于x 轴的柱面 0),(=z x f 表示准线为：??

?==0

),(y z x f 母线平行于y 轴的柱面柱面方程特点：缺少某个变量

常见柱面

（1）抛物柱面：b ax y +=2表示母线平行于z 轴的抛物柱面

（2）椭圆柱面：122

22=+b z a x 表示母线平行于y 轴的椭圆柱面

（3）双曲柱面：122

22=-b

z a y 表示母线平行于x 轴的双曲柱面

二次曲面椭球面、抛物面、双曲面

空

间曲线及其方程

L 的一般方程

L 的参数方程

?==0),,(0

),,(z y x G z y x F )( , )( , )(t z t y t x ωψ?===

L 在坐标面上的投影消去L 方程中的变量z 得到的0),(=y x H 即为L 在xoy 面上的

投影柱面，

?==0

),(z y x H 就是L 在xoy 面上的投影曲线（以此类推）内容概要

主要内容（8-6，8-7）空间平面及其方程

平面的点法式方程

过),,(0000z y x M ，法矢为},,{C B A =n 的平面方程：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

平面的一般方

程

0=+++D Cz By Ax

平面的截距式方程 1=++c z

b y a x

点),,(0000z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：2

000C

B A D

Cz By Ax d +++++=

两平面的夹角θ：21

12121cos C

B A

C C B B A A ++++=

（1∏：01111=+++D z C y B x A ，2∏：02222=+++D z C y B x A ）

空

间直线及其方程

对称式方程

过),,(0000z y x M ，方向矢为},,{p n m =s 的直线

方程： p z z n y y m x x 0

00-=

-=- 对称式方程和一般

方程的关系： 222111C B A C B A k j i s =

一般方程 ??

?=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A 参数方程

000 , , z pt z y nt y x mt x +=+=+=

两直线的夹角θ： 22

222221

212121cos p

n m p

n m p p n n m m ++++++=

121s s s s θ

（1L 的方向矢},,{111p n m =1s ，2L 的方向矢},,{222p n m =2s ）

直线和平面的夹角θ：2

222

sin C

B A p

n m pC nB mA ++++++=

n s n θ

（直线L ：

z z n y y m x x 0

00-=-=-，L 的方向矢为},,{p n m =s ；平面∏：0=+++D Cz By Ax ），∏的法矢为},,{C B A =n

平面束方程（L 为一般方程式）：0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ

第9章多元函数微分学

§9.1 多元函数的基本概念

内容概要

区域定义

邻

域

n R 空间中点0P 的δ邻域为 00(){|||}U P P P P δ=< 平

面

上

点

000(,)

P x y 的δ邻域为

22000(){(,)|()()}U P x y x x y y δ=-+-<

点集开集所有点都是内点的点集闭集

开集连同边界构成的点集

连通

集

任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集区域连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域

多元函数定

义

D为平面上非空点集，如果对D中任一点(,)

x y，按某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为D上的二元函数，记(,)

z f x y

=，(,)

x y D

∈，D为定义域。

几何意义：(,)

z f x y

=为空间曲面，D为曲面在xoy面上投影。

可定义三元及以上函数。

二

重

极

限

0,0,

εδ

?>?>当22

()()

x x y yδ

-+-<时，恒有|(,)|

f x y Aε

-<，则称

lim(,)

x x

y y

f x y A

→

=。

注：其中

(,)(,)

x y x y

→为任意方式。从而若(,)

x y以不同方式趋于00

(,)

x y时，(,)

f x y无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。

多

元

函

数

连

续

若

lim(,)(,)

x x

y y

f x y f x y

→

=，则函数(,)

z f x y

=在

(,)

x y连续。

初等函数在其定义区域内连续。

闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。

§9.2 偏导数

内容概要

偏导数偏

导

数

定义性质

0000

(,)(,)

lim

x x

y y

f x x y f x y

x x

?→

+?-

也记为

000000

(,)

(,),(,),,(,)

x x x

f x y

z x y f x y f x y

同理可定义

0000

(,)(,)

lim

x x

y y

f x y y f x y

y y

?→

+?-

000000

(,)

(,),(,),,(,)

y y y

f x y

z x y f x y f x y

几何意义：(,)

z f x y

=的偏导

数

(,)

f x y表示空间曲线

(,)

z f x y

y y

在点

000

(,,)

x y z

处的切线

T关于x轴的斜率

偏导函数的求法：（1）多元

函数对某自变量求偏导时，

只需将其余自变量看为常

数，按一元函数求导法则计

算导数。

（2）多元分段函数在分段点

处偏导数要用偏导数定义来求。

高阶偏导数若函数(,)

z f x y

=的偏导数

(,),

f x y(,)

f x y

在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶

偏导数。二

阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。

如果(,)

z f x y

=的二阶混合

偏导数

z z

x y y x

????

在区域D内连续，

则在D内这两个偏导数相等。

§9.3 全微分及其应用

内容概要

全微分及其应用定

义

如果函数(,)

z f x y

=在点(,)

x y的全增量(,)(,)

z f x x y y f x y

?=+?+?-可表示为()

z A x B y oρ

?=?+?+，其中,A B 与,x y

??无关，22

()()

x y

ρ=?+?，则称函数在点(,)

x y可微，全微分dz A x B y

=?+?。

性

质

（1）若函数(,)

z f x y

=在(,)

x y可微，则(,)

z f x y

=在(,)

x y连续（2）若函数(,)

z f x y

=在(,)

x y可微，则

lim0

z dz

ρρ

→

=；从而若0

lim0

z dz

ρρ

→

≠，则函数(,)

z f x y

=在(,)

x y不可微。

（3）若函数(,)

z f x y

=在(,)

x y可微，则(,)

z f x y

=在(,)

x y偏导数存在，且

z z

dz dx dy

x y

（4）若函数(,)

z f x y

=在(,)

x y的某邻域存在偏导数且

，

在(,)

x y连续，则函数在(,)

x y可微，且

z z

dz dx dy

x y

全微分应用若函数(,)

z f x y

=在(,)

x y的某邻域内偏导数

f，

f在(,)

x y连续，且||,||

x y

??都比较小时，有全增量近似公式

(,)(,)

x y

z dz f x y x f x y y

?≈=?+?

函数值近似公式(,)(,)(,)(,)

x y

f x x y y f x y f x y x f x y y

+?+?≈+?+?

§9.4 复合函数微分法

内容概要

复合函数微分法

类

型

求导法则

复合函

数的中

间变量

均为一

元函数

的情形

如果函数()

u u t

=及()

v v t

=在点t处可导，函数(,)

z f u v

=在对应点(,)

u v出具有连续偏导数，则复合函数((),())

z f u t v t

=在对应点t处可导，且

dz z du z dv

dt u dt v dt

复合函

数中间

变量为

多元函

数情形

如果函数(,)

u u x y

=及(,)

v v x y

=在点(,)

x y处可导，函数(,)

z f u v

=在对应点(,)

u v出具有连续偏导数，则复合函数[(,),(,)]

z f u x y v x y

=在对应点(,)

x y处可导，且

z z u z v

x u x v x

?????

，z z u z v

y u y v y

?????

复合函

数中间

变量既

有一元

函数又

有多元

函数的

情形

如果函数(,)

u u x y

=及在点(,)

x y处可导函数()

v v y

=在y点可导，函数(,)

z f u v

=在对应点(,)

u v出具有连续偏导数，则复合函数

[(,),()]

z f u x y v y

=在对应点(,)

x y处可导，

且

z z u

x u x

???

，

z z u z dv

y u y v dy

????

注：若(,,)

z f x y u

=，(,)

u u x y

=，则(,,(,))

z f x y u x y

z f f u

x x u x

????

；

z f f u

y y u y

????

其中

为f对中间变量x的偏导数，此时应将(,,)

z f x y u

=中变量

,y u 看做常数；而

??为(,,(,))z f x y u x y =对自变量x 的偏导数，此时将自变量y 看为常数。

f y ??与z

??区别同上。

§9.5 隐函数微分法

内容概要

隐函

数微分

分类法则

一个方程情形若二元方程(,)0F x y =确定一元隐函数()

y f x =，则x y F dy

dx F =- 若三元方程(,,)0F x y z =确定二元隐函数(,)z f x y =，则

,y x z

F F z

x F y F ??=-=-?? 方程组

情形若方程组(,,,)0

(,,,)0

F x y u v

G x y u v =??

=?确定二元函数(,),(,)u u x y v v x y == 则

,x v

u x

x v u x u v u v u v u v

F F F F

G G G G u

v F F F F x

x G G G G ??=-=-??，

,y v u y

y v u y u v u v u v u v F F F F G G G G u v F F F F y y G G G G ??=-=-??

§9.6 微分法在几何上的应用

内容概要

微分法在几何上的应用

空间曲线的切线与法平面

（1）曲线的参数方程为(),(),()x x t y y t z z t ===，三个函数均可导，导数不全为零。则曲线在某点0t 处的切向量为

000{(),(),()}T x t y t z t '''=

记

000000

(),(),()x t x y t y z t z ===，则切线方程

000

000()()()

x x y y z z x t y t z t ---=='''

法平面方程为 000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=

（2）曲线的方程为()

()

y y x z z x =??=?，(),()y y x z z x ==在0x 可导，则曲线

在某点000(,,)x y z 处的切向量为00{1,(),()}T y x z x ''=

，

则切线方程

000

001()()

x x y y z z y x z x ---==

'' 法平面方程为 000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=

（3）曲线方程为(,,)0

(,,)0

F x y z

G x y z =??=?，,F G 具连续偏导数，则曲线在点

0000(,,)M x y z 处切向量为0

{

}y z

x y z x y z z

M M M F F F F F F T G G G G G G = ，

则切线方程为

000y z z x x y z

M M M x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---=

法平面方程为

000()()()0y z x y z x y

M M M F F F F F F x x y y z z G G G G G G -+

空间曲面的切平面与法线

（1）曲面方程为(,,)0F x y z =，则曲面在点0000(,,)M x y z 处法向量为

000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z n F x y z F x y z F x y z =

，则切平面方程为

000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=

法线方程为

000

000000000(,,)(,,)(,,)

x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==

（2）曲面方程为(,)z f x y =则曲面在点000(,)P x y 处的法向量为

0000{(,),(,),1}x y n f x y f x y =--

切平面方程为 0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=或

0000000(,)()(,)()x y f x y x x f x y y y z z -+-=-

（上式表明函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的全微分，在几何上表示曲面(,)z f x y =在点00(,)x y 处的切平面上点的竖坐标的增量。）法线方程为

000

0000(,)(,)1

x y x x y y z z f x y f x y ---==-

§9.8多元函数的极值

内容概要多元函数极值

多元函数极值

定义

性质

函数(,)z f x y =在点00(,)x y 某领域内有定义，对领域内任一异于00(,)x y 的点

(,)

x y ，如

果00(,)(,)f x y f x y <，00((,)(,))

f x y f x y >则称函数在点

00(,)x y 取得极大

（小）值，00(,)x y 为极值点。

（必要条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有连续偏导数，且在点00(,)x y 有极值，则必有

0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==。

（可推广至多元函数）

2.（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有

二阶连续偏导数，且

0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==，

令00(,),xx f x y A =00(,),xy f x y B =00(,)yy f x y C =，则（1）当20AC B ->时，函数在00(,)x y 处有极值，且0A >时有极小值，0A <时有极大值。（2）当20AC B -<时，函数在00(,)x y 处没有极（3）当20AC B -=时，不确定。

条

件极

值

求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ?=下的极值的方法：方法一：化为无条件极值。即在方程(,,)0x y z ?=下解出(,)z z x y =，代入目标函数，按无条件极值计算。

方法二：拉格朗日乘子法。即作辅助函数

(,,,)(,,)(,,)L x y z f x y z x y z λλ?=+

由(,,)(,,)0(,,)(,,)0(,,)(,,)0(,,)0x x x y y y z z z L f x y z x y z L f x y z x y z L f x y z x y z x y z λ?λ?λ??=+=??=+=??=+=??=?

解出可能极值点000(,,)x y z ，而后判断是否为所求。

注：若约束条件不止一个，可增加拉格朗日乘子。

如：函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ?=，(,,)0x y z φ=下的极值，则作辅助函数(,,,,)(,,)(,,)(,,)L x y z f x y z x y z x y z λμλ?μφ=++

第六章定积分的应用

内容概要

名称主要内容

定积分的元素法定积分的元素法是一种简单记忆定积分（?=b

a dx x f A )(）三步骤的方法：

1、将i i i x f A ?≈?)(ξ记为dx x f dA )(=

2、将∑=→n

i 10

lim λ写为?

平面图形的面积

直角坐标系 X-型

Y-型

???

<<<<)()(:21

x f y x f b x a D A ?-=b a

dx x f x f A ))()((12 ???<<<<)()(:21

y g x y g d y c D A

?-=d c

dy y g y g A ))()((12

极坐标系

??<<<<)(0:θβθαr r D A

?=β

αθθd r A )(22

体积

旋转体体积已知平行截面面积的立体体积

???<<<<)(0:x f y b

x a D A 绕x 轴旋转：

dx x f V b a ?=)(2

已知垂直于x 轴的平面截立体所得截面面积为)(x A ,立体又被夹于a x =和b x =两平面间，则： ?

dx x A V )(

已知垂直于y 轴的平面截立体所得截面面积为)(y A ,立体又被夹于c y =和d y =两平面间，则：

?=d

dy y A V )(

绕y 轴旋转：

dx x xf V b

?=)(2π

???<<<<)(0:y g x d

y c D A 绕y 轴旋转：

dy y g V d c

?=)(2

平面曲线的弧长

直角坐

标

参数方程极坐标

L：)

y=，]

x∈

ds2

=；

?'+

L：)

(

)(

≤

ds)(

)(2

2ψ

s?'

=β

?)(

)(2

L：)

(θ

r=，β

α≤

≤；

θd

ds)

(

)

=；

s?'+

(

)

物理应用：1、变力沿直线作功2、水压力3、引力

第十章重积分

内容概要

名

称

主要内容

二重积分定

义

fσ

)

(∑

→

)

(

limσ

性

质

①

kfσ

)

(??

kσ

)

(

②[]

fσ

)

(

)

(??

??±

fσ

σ)

(

)

(

③

fσ

)

(

fσ??

)

(

fσ2

D+

④

σ=

⑤?

≤)

(

)

f??

??≤

fσ

σ)

(

)

(

⑥

??≤

fσ

σ)

(

)

(

⑦

σM

≤

≤??),(

⑧

σ)

(

)

??D

∈

)

(η

计

算

法

利用直角

坐标计算

把D写成X型区

域

??=)()(2

)

(

)

把D写成Y型区

域

??=)()(2

)

(

)

fψ

利用极坐

标计算

??=)()(2

)

sin

cos

(

)

(θ

σr

rdr

三重积分利用直

角坐标

计算

投影法(针刺法、先一

后二法)

????

=),(

)

(

)

(

)

(y x

fσ

截面法(切片法、先二

后一法)

?????

fσ

)

(

)

(

利用柱

面坐标

计算

???

=dz

rdrd

fθ

θ)

sin

cos

(

)

(

利用球

面坐标

计算

???

=θ

drd

f sin

)

cos

sin

cos

sin

(

)

应求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等

用

第十二章无穷级数

§12.1 常数项级数的概念和性质

内容概要

名称主要内容

常数项级

数∑∞

u（

u为常数）

常数项级数的收敛

性若,s

s n

?→

?∞→则∑∞

u收敛，（

s:前n项部分和）常数项级数常用的性质

1. ∑∞

u，∑∞

v收敛?)

(

∑∞

u收敛,且∑

∑

∑∞

∞

)

(

2.0

≠

k则∑∞

ku与∑∞

u同收同发

3. ∑∞

u加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.

4．∑∞

u收敛?0

lim=

∞

→

u(收敛的必要条件)

常用的结论

∑∞

ar当1

r时收敛其和为

，当1

≥

r时发散.

§12.2 正项级数判别法

内容概要

名称主要内容

正项级数∑∞

u（

u为常数，0

≥

u）

正项级数敛散性判别法1.

比

较判别一般形式

若当C

(

0≤

≤为大于的常数)，则

1) ∑∞

v收敛?∑∞

u收敛. 2) ∑∞

u发散?∑∞

v发散

法

极限形式

若l v u n

n =∞→lim

，则 1) +∞<

2) 0=l ,∑∞

n n v 收敛?∑∞

n n u 收敛.

3) +∞=l ,∑∞=0

n n v 发散?∑∞

n n u 发散.

2．比值判别

法 ρ=+∞→n

n n u u 1

lim

,则

1) 1<ρ,级数收敛；2) 1>ρ,级数发散;3) 1=ρ,本法失效.

3.根值判别法

ρ=∞

→n n n u lim ,则

1) 1<ρ,级数收敛；2) 1>ρ,级数发散;3) 1=ρ,本法失效.

4. 积分判别

法

若存在],1[ ∞上单调减少的连续函数)(x f ，使得)(n f u n =，

则

1） ∑∞

=0n n u 收敛?

+∞

)(dx x f 收敛.2) ∑∞

n n u 发散?

+∞

)(dx x f 发

散.

常用的结论

∑∞

n n

当1

-1，当1 ≥r 时发散. p 级数1,1

1>∑

∞

=p n

n p

时收敛，1≤p 时发散 §12.3 一般常数项级数

内容概要

名称主要内容

绝对收敛

∑∞

n n

条件收敛

∑∞

n n

发散, ∑∞

n n u 收敛.

莱布尼兹判别法:交错级数∑∞

=-1

)1(n n n u 满足下面两条件:

1) 2,1,1=≤+n u u n n , 2) 0lim =∞

→n n u ,

则级数∑∞

=-1

)1(n n n u 收敛，且其和的绝对值小于首项1u .

§12.4 幂级数

内容概要

名称主要内容

幂级数

∑∞

n n n

x a

收

敛半

径若n

n n a a 1lim

+∞

→=ρ或n n n a ∞

→=lim ρ

则收敛半径 lim 当 0, 0当 ,0

当 ,1

+∞→=???

????∞==∞+≠=n n n a a R ρρρρ

注意：利用此公式时要求x 的幂级数不能有间隔.

幂级数常用的性质 1．幂级数∑∞

=0n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛域I 上连续.

2．幂级数∑∞=0

n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛域I 上可积，并在I 上有逐项积分公式

∑?∑?∑?

∞=+∞=∞=+==??

? ??=01000

1)(n n n x

n x n

n n n n x

x n a dx x a dx x a dx x s

且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

3．幂级数∑∞

n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛区间),(11R R -内可导，并在),(11R R -内

有逐项求导公式

∑∑∑∞

=-∞=∞=='='??

? ??='1100)()(n n n n n

n n n n x na x a x a x s

且逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

高等数学试题

高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______ 总分题号选择题填空题计算题证明题其它题型题分20 20 20 20 20 核分人得分复查人一、选择题（共 20 小题，20 分） 1、设 Ω是由z≥及x2+y2+z2≤1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是A. I1>I2>I3; B. I1>I3>I2; C. I2>I1>I3; D. I3>I2>I1. 答 ( ) 2、设f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为答 ( ) 3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于 (A) (B) (C) (D) 答 ( ) 4、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1. I=a,b,c为常数，则 (A) I>0 (B) I<0 (C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定

答 ( ) 5、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)为Ω上有界函数。若，则 (A) f(x,y,z)在Ω上可积 (B) f(x,y,z)在Ω上不一定可积 (C) 因为f有界，所以I=0 (D) f(x,y,z)在Ω上必不可积答 ( ) 6、由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是 (A) (B) (C) (D) 答 ( ) 7、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=x2yzf(x,y2,z3),则I= (A) 4x2yzf(x,y2z3)d v (B) 4x2yzf(x,y2,z3)d v (C) 2x2yzf(x,y2,z3)d v (D) 0 答 ( ) 8、函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的 (A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件； (C)必要条件，但非充分条件； (D)既非分条件，也非必要条件。答 ( ) 9、设Ω是由3x2+y2=z,z=1－x2所围的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于 (A) (B)

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用

高等数学（通用复习）师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意第一章函数与极限函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

(完整word版)大一高数练习题

1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是同阶无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .

9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;

高等数学期末复习要点

高等数学期末考试复习要点定积分部分知识点及典型例题 1.若函数()y f x =在闭区间[,]a b 连续，则在()y f x =在闭区间[,]a b 上可积。典型例题：下列函数中，在区间[2,2]-可积的函数是：。 22111,,ln(1),,sin 11 y y x y x y y y x x x ===+===+-。 2.变上限定积分求导数：()()x a d f t dt f x dx =?。典型例题：（1 ） 0sin x d dx =? ；（2 ）1sin x d dx =? ；（3）2 1 cos 2 lim t x x e dt x -→=? 。 3.定积分的计算牛顿—莱布尼兹公式()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-?，其中主要用到不定积分主要公式? dt t α、 ?dt t 1、?dt e t 、?tdt sin 、?tdt cos ，凑微分法等。典型例题：计算下列定积分（1 ）8 ? ，（2 ）0 ?，（3 ）2 1 e ?，（4 ）1 ? 。 4.对称区间奇偶函数的定积分的性质：若()f x 是奇函数，则 ()0a a f x dx -=? ；若()f x 是偶函数，则 ()2()a a a f x dx f x dx -=? ?；。典型例题：（1）1 21sin 1-=+?x dx x ；（2）cos ||-=?x dx ππ ；（3 ） 3 23 (sin x x --=? ；（4 ）1 31 (4--=?x ； 5.定积分的几何意义。典型例题：利用几何意义直接求下列积分（1 ）3 -? ；（2 ）0 ? 。 6.0>a ，广义积分dx x a ? +∞ α1 收敛、发散的充要条件。典型例题：（1）指出反常积分 11 +∞ ?p dx x 何时收敛，何时发散? （2 ）判断下列积分的敛散性：1+∞?，311dx x +∞?，611 dx x +∞?。 7.定积分应用： 1）求平面曲线所围成图形的面积：由曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,x a x b ==以及x 轴围成的曲边梯形的面积为()b a f x dx ?； 2）旋转几何体的体积：由曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,x a x b ==以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周形成的旋转几何体的体积为2[()]b a f x dx π?。 3）已知边际函数()f x '，则0 ()(0)()x f x f f t dt '=+?。典型例题：（1）计算由曲线x y =、1=xy 及2=x 围成的平面图形的面积。

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

高等数学练习题(附答案)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界. （）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则

高等数学考试知识点

《高等数学》考试知识点一、函数、极限、连续考试内容： 1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立； 2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限； 3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较； 4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限，； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法； 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单应用问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 7．掌握极限的性质及四则运算法则； 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法； 9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；

10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；二、一元函数微分学考试内容： 1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数； 2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法； 3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数； 4．一阶微分形式的不变性； 5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理； 6．洛必达（L’Hospital）法则； 7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用； 8．弧微分、曲率的概念；曲率半径；考试要求： 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分； 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 4．会求分段函数的一阶、二阶导数；

高等数学复习资料大全

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2 ( lim +>-求解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高等数学(专科)复习题及答案

高等数学期末试卷一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

高等数学上册复习要点及解题技巧

高等数学上册复习要点及解题技巧第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。即令

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高等数学(本科少学时类型) 第一章函数与极限第一节函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言１．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★）函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ）１.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；）２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????）第五节极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →--

(完整)高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界. （）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .

5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

高等数学A2复习要点

高等数学A2 第7章向量代数与空间解析几何 1. 求向量的模。（课本9页，例7-7） 2. 求向量的单位向量。（课本9页，例7-7） 3. 求向量的方向角，方向余弦。（课本10页，例7-8） 4. 求向量a →在b → 方向上的投影。（课本17页，习题3） 5. 求向量的点积a b →→?，叉积a b →→?。（课本15页，例7-13） 6. 求空间平面的方程（点法式方程，一般式方程，截距式方程）。（寻找法向量）（课本29页，例7-24，7-25） 7. 求空间直线的方程（点向式方程，参数式方程，一般式方程）。（寻找方向向量）（课本35页，例7-29、7-30）第8章多元函数微分学 1. 求多元函数的定义域。（课本44页，例8-3） 2. 求多元函数的极限。（课本46页，例8-6） 3. 求多元函数的偏导数。（课本51页，例8-11） 4. 求多元函数的全微分。（课本56页，例8-16） 5. 求多元复合函数的导数。（课本60页，公式8-13，例8-22） 6. 求多元隐函数的导数。（课本65页，公式8-23，例8-26） 7. 多元函数偏导数在几何上的应用。（课本67页，例8-27；8-28） 8. 求多元函数的极值。（课本71页，例8-30，课本74页，拉格朗日乘子法）

第9章多元函数积分学 1. 二重积分的性质4. （课本79页，性质4） 2. 直角坐标系下二重积分的计算。（课本86页，例9-5） 3. 直角坐标系下二重积分交换积分次序。（课本87页，例9-6） 4. 极标系下二重积分的计算。（极标系下二重积分计算的转换公式，课本88页，公式9-5，例9-8）第10章无穷级数 1. 常用级数等比级数（课本125页，例10-2），P级数（课本131页，例10-6）的收敛性。 2. 利用定义法（课本125页，例10-1）；逆否命题法（课本128页，例10-4），比较判别法（课本133页，例10-7），比值判别法（课本135页，例10-8）等判断级数的收敛性。 3.判断常数项级数收敛还是发散，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。（利用正项级数，交错级数判别法）（课本138页，例10-10） 4.求幂级数的收敛半径，收敛域。（课本143页，例10-11）第11章微分方程 1. 理解微分方程、解、通解、特解的概念。（课本159页） 2. 会判断微分方程的阶。（课本160页，课后习题1） 3. 求解可分离变量的微分方程。（一阶）（课本161页，例11-4）

关于高等数学B上复习资料归纳

华南理工大学网络教育学院《高等数学（上）》辅导一、求函数值例题： 1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ．解：() 2 2(())()x x x f x f e e e ?=== 2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ．解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+ 即 ()23f x x =+ 二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题： 1、320sin 3lim x x x →=？解：当0sin3~3x x x →，，原式=3 200(3)lim lim270x x x x x →→== 2、0sin3lim x x x →=？解：原式=03lim 3x x x →=

3、201-cos lim x x x →=？解：当2 10cos ~2x x x →，1- 原式=220112lim 2 x x x →= 4、0ln(13) lim x x x →+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+ 原式=.03lim 3x x x →=. 5、201 lim x x e x →-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x x x →=. 三、多项式之比的极限 2lim 03x x x x →∞=+，22 11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x →∞+=∞ 四、导数的几何意义（填空题） 0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为：曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：例题： 1、曲线44x y x += -在点(2,3)M 的切线的斜率．

高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交（2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值得分阅卷人