动点的运动路径长

动点的运动路径

1．如图，点P 是□ABCD 边上一动点，沿A →D →C →B 的路径移动，设P 点经过的路径长为x ，△BAP 的面积是y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（）

A ．

B ．

C ．

D .

2.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =4，点E 是AB 边上的动

点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为F ，当点E 从点A 运动到点B

时，点F 的运动路径长为（）

A . 3

B .2 3

C .23π

D . 43

3．如图，△AOB 中，∠AOB =90°，OB =2OA ，点A 在反比例函数y =1x

的图象上．若点B 在反比例函数y =k x

的图象上，则k 的值为（） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．2

4.如图，线段AB =8，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方

形ABCD 的边上运动，且PQ =8．若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D

的线路，向点D 运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所

经过的路径的长是．

5.如图，在Rt △ABC 中，BC =2，∠BAC =30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：

①若C 、O 两点关于AB 对称，则OA =23；

②C 、O 两点距离的最大值为4；

③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；

④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2

；其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．

6.如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于．

7．如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正半轴作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B 的对应点的坐标

是，AB 中点M 经过的路径长为．

8.如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段

OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按

逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0），设点M 转

过的路程为m （0＜m ＜1）．

（1）当m =14

时，n = ；（2）随着点M 的转动，当m 从13变化到23

时，点N 相应移动的路径长为．

9.如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．

（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；

（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，直接写出线段PQ 的中点M 所经过的路径长为．

图1 图2

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.

（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析）三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（）

动点路径长训练

2017春初三数学（路径）给力训练 1.等边三角形ABC ?，点(3,0)B -,点(3,0)C ,点 A 在y 轴的正半轴上，点P 从点 B 出发，沿B C 向点C 运动，AP 绕点A 逆时针旋转60o 得到AQ ,点P 从点B 运动到点C 过程中，点Q 也随之运动. （1）点Q 是（是线段还是弧）；（2）求点Q 运动的路径长. 2.如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点， ∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，求点B 运动的路径长． 3.如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，求点F 所经过的路径长. 4.如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的AB 上有一运动的点 P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设 △OPH 的内心为I ，当点P 在AB 上从点 A 运动到点 B 时，求内心I 所经过的路径长．

5.如图，⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，点P 是直线y=-x+6上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，求切线长PQ 的最小值 6.如图，一根木棒(AB)长为2a ，斜靠在与地面(OM )垂直的墙壁(ON )上，与地面的倾斜角（∠ABO ）为60°，当木棒A 端沿NO 向下滑动到A ′，AA ′＝(23-)a ，求B 端沿直线OM 向右滑动到B ′，木棒中点从P 随之运动到P ′所经过的路径长． 7.如图，在直角坐标系中有一块三角板GEF 按图1放置，其中∠GEF=60°，∠G=90°，EF=4．随后三角板的点E 沿y 轴向点O 滑动，同时点F 在x 轴的正半轴上也随之滑动．当点E 到达点O 时，停止滑动．（1）在图2中，利用直角三角形外接圆的性质说明点O 、E 、G 、F 四点在同一个圆上，并在图2中用尺规方法作出该圆，（不写作法，保留作图痕迹）；（2）滑动过程中直线OG 的函数表达式能确定吗？若能，请求出它的表达式；若不能，请说明理由；（3）求出滑动过程中点G 运动的路径的总长；（4）若将三角板GEF 换成一块∠G=90°，∠GEF=α的硬纸板，其它条件不变，试用含α的式子表示点G 运动的路径的总长． 8.点 A 在反比例函数6 (0)y x x =>图象上的一个动点,AO OP ⊥,60OAP ∠=?.点Q 是OA 的中点，点P 与Q 随点A 运动A 而变化，问点A 运动过程中, （1）点Q 运动路径是什么函数图象，并说明理由. （2）点P 运动路径是什么函数图象，并说明理由. x y P O A

动点轨迹直线型

动点轨迹专题（求路径长）一、求路径长分两步解决：○1取动点在运动过程中特殊的三点（运动开始，运动中，运动结束）位置探求出动点移动的路径形状：若三点共线通常路径为线段；若三点不共线通常路径为圆弧； ○2根据题目条件求路径长，关键是以特殊情形入手，动中求静，化动态问题为静态问题。【动手画图找点，确定轨迹】 1.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，线段BC上一动点P从C开始运动，到点B停止，以AP为边在AC边的左侧作等边△APQ，则点Q的运动路径长为。 2.如图，Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8，P、Q分别是OB、OA上的动点，满足BP=OQ，C为PQ的中点，当Q从O点运动到A点时，则C走过的路径长是。 B

3.如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P是弧AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的内心，在点P运动过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，当点N从O开始到点M到达O时，点D运动的路径长为。 O 4.在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转90°到点B（m，1），若﹣5≤m≤5，则点C运动的路径长为。

【练习】 1.如图，P 为边长为2的正方形ABCD 的边BC 上一动点，将线段DP 绕P 逆时针旋转90°得到线段PE （E 是D 的对应点），M 为线段PE 的中点，当点P 从点C 运动到点B 的过程中，点M 的运动路径长为。 2.在平面直角坐标系中，直线13 3 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点E 沿着某条路径运动，以点E 为旋转中心，将点B 逆时针旋转90°，刚好落在线段OA 上，则点E 的运动路径长为。 P

苏科版九年级数学下对一类动点路径长度问题的探究

对一类动点路径长度问题的探究一、真题再现如图 1 所示，在矩形ABCD 中，4AB =，30DCA ∠=?，点F 是对角线AC 上的一个动点，连结DF .以DF 为斜边作30DCA ∠=?的Rt DEF ，使点E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，点E 的运动路径长是 . 这是一道求动点轨迹长间题.这一类问题通常是寻找第二个动点的起点和终点，再由全等或者相似得以解决.那么，动点轨迹长问题的本质是什么?怎样才能让这类问题的解决思路自然生成呢? 二、变式思考问题如图2，等边ABC ?的边长为4 cm.动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，以AD 为边作等边ADE ，在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长. 分析如图2，连结GE .由ABD 和ACE 全等，可得到BD CE =，则点D 运动的路径长就是点E 运动的路径长，即路径长为4. 变式1 如图3，等边ABC ?的边长为4 cm.动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，以AD 为边作等腰ADE ，且120DAE ∠=?.在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长.

分析变式1是将“问题”中的等边ADE 改成等腰三角形，且顶角为120°，我们只须将AB 绕A 点逆时针旋转120°得到'AB ，连结'B E (如图3)，可以证明ABD 和'AB E 全等，从而点D 运动的路径长就是点E 运动的路径长，即路径长为4. 变式2 如图4，等边ABC ?的边长为4 cm.动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，以AD 为边作Rt ADE ，且30E ∠=?.在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长. 分析变式2是将“问题”中的等边ADE 改为Rt ADE ，且30E ∠=?.由3AE AD =，我们将AB 绕A 点逆时针旋转90°，并且扩大到AB 的3倍，得到'AB ，连结'B E (如图4).可以证明'ABD AB E ，且相似比为1：3，从而点E 运动的路径长就是点D 运动的路径长的3倍，即路径长为43. 变式3 如图5，ABC ?中，4BC =cm.动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，2AD AE =且DAE ∠为定角. 在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长. 分析变式3将“问题”中的等边三角形改为普通三角形，4BC =不变，DAE ∠大小确定，而2AD AE =.我们可以将AB 绕点A 逆时针旋转DAE ∠的度数，并且长度缩小到原来的一半，得到'AB ，连结'B E (如图5).可以证明'ABD AB E ，且相似比为2: 1，从而点E 运动的路径长也就是点D 运动的路径长的一半，即路径长为2. 三、数学模型如图6，点C 是定点，,B A 是动点。若BC kAC =，当点B 在直线MN 上运动时，点B 运动的路径长是点A 运动路径长的k 倍.

动点路径长专题(含标准答案)

动点路径长专题一.选择题(共２小题） 1.如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点Ｐ从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点Ｅ，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为(） A. B. C． D. 图1 图２ 2．如图,半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点,CF⊥ＡE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（） A. B. C．D．二.填空题(共9小题） 3.(2013?鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点,连接BP，过点A作ＡＭ垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点Ｍ运动路径的长为_________ ．图3图4 图5 ４.如图，半径为２ｃm,圆心角为９０°的扇形OＡＢ的上有一运动的点P.从点P向半径ＯA引垂线PＨ交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点Ｐ在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_＿____＿__ ． 5.（２０1１?江西模拟)已知扇形的圆心角为60°，半径为１,将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′Ｂ′位置, ①点Ｏ到Ｏ′的路径是OO１→O1O2→O2O′;

②点O到O′的路径是→→； ③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2； ④点O到O′的所经过的路径长为.以上命题正确的是＿＿____＿_＿． 6.(201３?宁德）如图,在Rｔ△AＢＣ纸片中,∠Ｃ＝90°,ＡC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠,得到点C 的对应点D（Ｐ在Ｃ点时，点Ｃ的对应点是本身）,则折叠过程对应点D的路径长是____＿_＿__．图6图７图8 7.如图，已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以ＡP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PＤＢ，连接CD，设ＣD的中点为G，当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是＿＿_＿_____. 8.（２013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AC⊥x轴于点Ｍ，交直线y=﹣x于点Ｎ.若点Ｐ是线段ON上的一个动点,∠APＢ＝30°,ＢA⊥PA,则点Ｐ在线段OＮ上运动时,A点不变,B点随之运动．求当点P从点O运动到点Ｎ时，点B运动的路径长是_________． 9．（2013?桂林)如图，已知线段ＡB=1０，AC＝BD=2,点P是CＤ上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和ＰHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段Ｏ1O2中点G的运动路径的长是＿_______＿．图9图10 图11 1０.（20１３?竹溪县模拟)如图：已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC＝ＤB=1；P是线段CＤ上的动点,分别以AP、PB为边在线段AＢ的同侧作等边△ＡEP和等边△ＰFＢ,连结ＥF,设EF的中点为G;当点Ｐ从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是__＿＿＿___＿. １1．如图，一根长为2米的木棒ＡB斜靠在墙角处，此时ＢC为１米,当A点下滑至A'处并且Ａ'C＝1米时,木棒AB 的中点Ｐ运动的路径长为__＿__＿___ 米. 三.解答题（共1小题） 12.（２012?义乌市模拟）如图,边长为４的等边△AOＢ的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒１个单位长度的速度由点O向点Ａ匀速运动，当点Ｐ到达点Ａ时停止运动,设点P运动的时间是t秒．在点Ｐ的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PＥ绕点P按顺时针方向旋转60°得ＰC.（1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为___＿___＿_; （２)在点P从点O到点A的运动过程中，用含ｔ的代数式表示点C的坐标； (3）在点P从点O到点Ａ的运动过程中,求出点C所经过的路径长．

2018年中考动点路径专题.docx

之动点线路的长度问题 1. （2015?黄陂区校纟及模拟）如图，扇形AOD中，ZAOD=9L, OA=6,点P为弧AD上任意一点（不与点财口D重合）,PQ丄0D于Q,点I为-OPQ的内心，过0, I和D三点的圆的半径为「则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（） A. 0

所以点I在以0D为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上; 过D、I、O三点作OOS如團，连OD, 0 0, 在优弧DO取点F,连PD, PQ, ■/ZDIO135% /.ZDP f O180°- 135°=45% /.ZDO r090% 而0D=6, .\OO r=DO f=3V2, ??』的值为3伍. 故选：D.

2、在平面直角坐标系中，点65昔着某条路径运动，以点励旋转中心，将点/1(0, 4)逆时针旋转90°到点3%, 1)?若_5冬於5,则点犯动的路径长为 __________________________________ 5>/2 ? 【解析】试题分析：如图右在菸由上取gP(0, 1)彳厘游直线列幸地倂皿丄0吒片，^CNllTN,率造RtA Bcr^RtAACM, iWra, is 接虫苑则点C在ZBPO的平分缕E进而鶴出动枣在直逐动；再分啊情列団仑c的路径端点坐标：①当m=-5时，B (-5, 1) , PB二5,轴于皿ftcffi于 N,同理可得△氐醛2\血呱.??CM=CN, BN=AM,可设PN=PM=€N=CM=a, TP (0, 1) , A (0, 4),二 AP=3, AM=BN=3+a, /.PB=a+3+a=5, /.a=l, /.C (-1, 0);②当ITF5时，B (5, 1),如图2中的B】 ,此时的动点、C杲图2中的C],同理可得C] (4, 5),???C的运动路径长就是CC1的长，由勾股定理可得，CC]二』4-(-1)丁+5, =5>/2 ? 故答案为：5迈?

动点路径长问题解法探究(公开课教案)

动点路径长问题解法探究江夏二中林建平教学目的：1、知识和能力：了解动点路径长问题的基本解题方法。 2、过程和方法：注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识 3、情感态度价值观：培养学生的良好的学习习惯教学重点：动点路径长问题的基本解题方法。教学难点：确定动点路径类型。一、导入：动点路径长问题是近年来中考的热点题型. 常见类型：1、线段2、圆弧3、组合解题步骤：1、取动点在运动过程中特殊的三点（运动开始、运动中、运动结束）位置探索出动点运动的路径形状；三点共线→线段，三点不共线→圆弧 2、第二步，根据题目的已知条件求出动点运动的路径长；二、例题：（2017元调第16题）在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90°到点B(m，1)．若－5≤m≤5，则点C运动的路径长为___________。变式1、将例题中旋转角90°改为60°，其余条件不变。则点C运动的路径长为___________。

变式2、将例题中旋转角90°改为120°，其余条件不变。则点C运动的路径长为___________。

变式3、在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，点B(m，1)，以点B为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90°到点C。若－5≤m≤5，则点C 运动的路径长为。三、课堂检测练习：1、如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．练习1图练习2图练习3图 2、如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径是。 3、如图，矩形ABCD中，AB=8，CD=6，将矩形ABCD在直线上按顺时针方向不滑动的转动90°，转动3次后停止，则顶点A经过的路线长为。 o x y

中考数学专题复习-路径长

复习专题：动点运动的路径长问题【学习目标】 1、正确判断动点运动路径的“直”和“弯”； 2、确定动点运动路径的“起点”和“终点”； 3、熟练求动点运动路径的长度【导学指导】一、知识链接 1、平行四边形的性质 2、三角形的中位线 3、圆的定义、性质及判定二、自主探究（一）“直”路径问题1：如图，已知AB=10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和△PDB ，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长是问题1图巩固练习1图【巩固练习1】如图，二次函数42 12+--=x x y 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点，则点P 所经过的路线长为（二）“弯”路径问题2：将两块全等的三角板ABC 和DEC 按如图所示的位置放置．∠B=60°，AC=2，若三角板ABC 绕点C 沿逆时针方向旋转，使点E 恰好落在斜边AB 上，则点A 运动路径的长度为方法总结：当判断出点的路径为一段时，关键在于找出及的度数问题2图问题3图巩固练习2 问题3：如图，在Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿PB 折叠，得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路径长是_________ 【巩固练习2】如图，直线y=-x+4与两坐标轴交A 、B 两点，点P 为线段OA 上的动点，连接BP ，过点A 作AM 垂直于直线BP ，垂足为M ，当点P 从点O 运动到点A 时，则点M 运动路径的长为________

动点的路径长问题

动点的路径长问题一．内容对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：_________．解决动点路径长问题思路：_________ 二．例题分析（一）、运动路径是圆弧 1．（2013?宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是_________．（第1题）（第2题）（第3题） 2．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为_________米． 3．（2013?鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为_________．（二）、运动路径是线段 4．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G 移动路径的长是_________．（第4题）（第5题） 5.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝6， BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q 分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)． (3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

初中数学动点问题解题技巧,动点题解题三步骤,初三数学动点解题思路

双动点问题动点问题是初中数学中的热门问题，也是让人欢喜让人忧的一类问题．其中的数学模型隐藏在变化的运动背后，很多同学容易被这类问题的已知条件迷惑，虽练习很多仍然“闻动色变”，实在爱不起来．但如果会透过现象看本质，找到运动过程中不变的规律，这一类问题又会让人感觉精彩绝伦，回味无穷。本文就动点问题中如何找到双动点类型中的运动轨迹与大家分享．动点题有时不止一个点在动，如果有两个动点，其中一个随着另一个的运动而运动，题目往往研究第二个动点的一些规律，比如最大最小值，经过的路径长等．解决问题的关键是找到第二个动点的运动轨迹．一、直线型运动 1．如图，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，求点E移动的路径长．分析：要求点E移动的路径长，首先要确定点E的运动轨迹。连结CE，如图②,

易证△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60°，因为∠ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在点D从点B开始移动至点C的过程中,点E的运动轨迹是过点C且平行于AB的一条线段，确定了轨迹，再确定起始与终止位置就可求出路径长．答案：4 2．已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，点G移动的路径长是_____．

分析：延长AC、BD相交于点E，因为∠A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，同理PC∥EB，所以四边形CPDE是平行四边形，连结EP，所以EP、CD互相平分，

动点路径长专题(含答案)

动点路径长专题一．选择题（共2小题） 1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动 B C D．图1 图2 2．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）．C D． 3．（2013?鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A 作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为_________．图3 图4 图5 4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_________． 5．（2011?江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置， ①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′； ②点O到O′的路径是→→； ③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2； ④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是_________．

6．（2013?宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是_________．图6 图7 图8 7．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_________． 8．（2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_________． 9．（2013?桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是_________．图9 图10 图11 10．（2013?竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________． 11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为_________米．三．解答题（共1小题） 12．（2012?义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P 运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为_________；（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．

动点路径长解题策略

动点路径长的解题策略智慧锦囊初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究此问题时，可以分三步： (1).利用函数描点法大胆猜想:即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；（2）寻找不变量，严格证实猜想：在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点. （3）利用特殊值算出动点路径长动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。①线段。当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧. 范例点睛例1（2012张家界）如图1，已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_______．例2（2011湖州）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D．设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．本王闯关 1.∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 2.（2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点 N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是． 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边的中点，动点P、Q在正方形的边上运动,且PQ= 4.若点P从点A 出发,沿ABE的路线向点E运动,相应的,点Q在DA、AB上运动。则点P从A到E的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长等于二、计算与证明 1.（2014?金华）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 2. (2012福州)如图,在Rt△ABC中，∠C=90o,AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长. 3.（2014?连云港）已知线段AB=8．（1）如图1，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过路径长．（2）如图2，以AP、 PB为边作两个正方形。若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长． 4.(2010南京)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。 P是MG中点，请直接写出点P运动路线长。

初三中考数学专题(动点轨迹,路经长)

初三中考数学专题（动点轨迹，路经长） 1.如图，等腰Rt△AOB中，△AOB＝90°，OA＝，△O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（） A．B．C．D． 2.已知△O，AB是直径，AB＝4，弦CD△AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF 垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（） A．πB．C．πD．2 3.如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．

4.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ△OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（） A. B. C.1 D.2 5.已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且△BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当△ODB＝45°时，求证：OE平分△BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度． 6.如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是． 7.如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（） A．2B．2C．D．5

求解动点路径长问题

运用“三点法”求解动点路径长问题初中数学中动点路径问题，一般有两种情况:线段或圆弧.本文提出一种求动点路径长的方法——三点法，“三点”指动点的起点，终点与过程点.该方法分为三步:(1)精准作图，运用刻度尺，圆规及量角器等工具作出位置较为精准的“三点”.(2)大胆猜测，若“三点”共线，则动点路径为线段;若“三点”不共线，则动点路径为圆弧.(3)小心验证，根据画出的“三点图”，运用相似三角形、“定角定长定圆”等方法对猜想进行严格的证明. 一、知识准备 1、基本概念如图1，在Rt ABC ?中，6,8AC BC ==，90C ∠=?.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC 延长线上的一个定点，连结PD ，过点D 作DE PD ⊥，连结PE ，且2 tan 5 DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 . 在图1中，点P 是“主动”在边AB 上开始动的点，称为“主动点”;点E 是跟着点P 在运动的点，称为“从动点”.又点P 从点A 运动到点B ，当点P 与点A 重合时记作点1P ，称为“主动点的起点”，此时1E 称为“从动点的起点”，此时作出符合要求的图形(如图2)，称该图为“起点图”;当点P 与点B 重合时记作点2P ，称为“主动点的终点”，此时2E 称为“从动点的终点”，作出符合要求的图形(如图3)，称该图为“终点图”.区别于起点1P ，终点 2P ，将图1中的点P 称为“主动点的过程点”，此时E 称为“从动点的过程点”，相应地把图1称为“过程图”.将起点图，终点图，过程图放在同一个图形中，将这个图形称为“三点图”(如图4). 2、定角定长定圆固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为定圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角. 引例1 如图5，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，使90ACB ∠=?，作出点C 的运动路径.

专题5 路径长问题1

动点路径长（2016?日照）阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

（2017?碑林区校级二模）小明与小颖在做关于两个边长和为定值的动态等边三角形的研究．已知线段AB=12，M是线段AB上的任意一点．分别以AM、BM为边在AB的上方作出等边三角形AMC和等边三角形BMD，连接CD．（1）如图①，若M为AB的中点时，则四边形ABDC的面积为．（2）如图②，试确定一点M，使线段CD取最小值，并求出这个最小值．（3）如图③，设CD的中点为O，在M从点A运动到点B的过程中，△OAB的周长是否存在最小值？如果存在，请求出最小周长和点O从最初位置运动到此时所经过的路径长；若不存在，请说明理由．

(2010?桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB 为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H． ∵∠A=∠FPB=60°， ∴AH∥PF， ∵∠B=∠EPA=60°， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点， ∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵CD=10-2-2=6， ∴MN=3，即G的移动路径长为3．如图, 在Rt△ABC中，∠C＝90o, AC＝9，BC＝12，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB 于点D，连接PQ. 点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）. （1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝__________, PD＝___________；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻成为菱形，求点Q的速度. （4）如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.

动点路径长专题含答案

. I 动点路径长专题一．选择题（共2小题） 1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（） A．B．C．D．图1 图2 2．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（） A．B．C．D．二．填空题（共9小题） 3．（2013?鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为_________ ．图3 图4 图5 4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA 于点H．设△OPH的心为I，当点P在上从点A运动到点B时，心I所经过的路径长为_________ ． 5．（2011?模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置， ①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′； ②点O到O′的路径是→→； ③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2； ④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是_________ ．

6．（2013?）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是_________ ．图6 图7 图8 7．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_________ ． 8．（2013?）如图，已知点A是第一象限横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_________ ． 9．（2013?）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是_________ ．图9 图10 图11 10．（2013?竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________ ． 11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为_________ 米．三．解答题（共1小题） 12．（2012?义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为_________ ；（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．

动点路径长解题策略定稿版

动点路径长解题策略 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

例2（2011湖州）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D．设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．本王闯关 1.∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 2.（2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是． 3. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边的中点，动点P、Q在正方形的边上运动,且PQ= 4.若点P从点A出发,沿ABE的路线向点E运动,相应的,点Q在DA、AB上运动。则点P从A到E的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长等于二、计算与证明 1.（2014?金华）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．