数学必修1常用公式及结论

数学必修1常用公式及结论

一、集合

1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集

（3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：

子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ?

真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A B ≠

?

集合相等：若：A B B A ??且,则A B =

3、元素与集合的关系：属于 ∈ ；不属于：? ；空集：φ

4、集合的运算：

交集：定义：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B

,A A A A A B B A A B A A B B A B A B A ?=??=??=????????=性质：，，，， 并集：定义：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B

A A A A A A

B B A A B A A B B A B A B B ?=??=?=????????=性质：，，，，， ()()()-()Card A B Card A Card B Card A B ?=+? 补集：定义：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U

C A

()()()()()()()()()

U U U U U U U U U U C A A C A A U C C A A C A B C A C B C A B C A C B ?=??==?=??=?性质：，，，，

5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数

A B A x B y f A B A B →1、映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在 集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射。

,,,().x y x f y y x y f x ?

???

=???

???

??

??

2、函数及其表示传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。函数的三要素：定义域；值域；对应法则函数的表示方法：解析法；列表法；图象法

3、函数的单调性

定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2

① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )在D 上是增函数，D 是f ( x )的递增区间； ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )在D 上是减函数，D 是f ( x )的递减区间。 复合函数的单调性：同增异减

结论：①若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数 ②若为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数

奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

4、函数的最值

()1();2()()00y f x I M x I f x M x I f x M M y f x =∈≤∈==最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：

()对于任意的,都有（)存在,使得.则称是函数的最大值

()1,()2()()00y f x I N x I f x N x I f x N N y f x =∈≥∈==最小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：

()对于任意的都有;()存在,使得.则称是函数的最小值

5、函数的奇偶性

定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意：定义域关于原点对称） 性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；

（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；

（4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 结论：若函数)(x f y =是偶函数，则)

()(a x f a x f --=+； 若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+，即函数)(x f y =的对称轴是x a =； 推广:对于函数)(x f y =(R x ∈),)

()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b a x +=;

两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a x +=对称.

若函数)(x f y =是奇函数，则()()f x a f x a +=---；

若函数)(a x f y +=是奇函数，则()()f x a f x a +=--+,即函数()y f x =对称中心是(),0a ； 推广:对于函数)(x f y =(R x ∈),()()f x a f b x +=--恒成立,则函数)(x f 的对称中心是,02

a b

+??

???

。 ()()()(0)()()f x f x T f x T f x T T f x +=≠6、周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期； 的最小正值叫做的最小正周期，简称周期。

()()()()()()

()()()100,2f

x a f x f x a f x f x a f x f x T

a

f

x ++=+=-+=±

≠=若即或的周期

7、函数图像的画法

(1) 列表、描点、连线； (2) 变换法

平移变换：若将函数)(x f y =的图象向右平移a 、向上平移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象； 即：左加右减，上加下减。

伸缩变换:101x ωω><<横坐标变换：把各点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)

1/()

y f x ωω=到原来的倍（纵坐标不变），即得

1)01)A A A y ><<纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长(或

缩短(到原来的倍, ()

y A f x =(横坐标不变),即得

对称变换：函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称；

函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =(即x 轴)对称；

函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于原点()00，

对称. 函数()y f x a =-与函数()y f b x =-的图象关于直线2

a b x +=

对称；

函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y x =对称； 绝对值变换有两种：()()y f x y f x ==与

由()()y f x y f x =→= 步骤：① 留住x 轴上方的图象；② 将x 轴下方的图象沿x 轴对称上去

③去掉x 轴下方的图象

由()()y f x y f

x =→= 步骤：①

留住y 轴右侧的图象；② 去掉y 轴左侧的图象； ③ 将y 轴右侧的图象沿y 轴对称到y 轴左侧。

三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质

1、顶点坐标公式：24,24b ac b a a ??-- ???

，对称轴：a b x 2-

=，最大（小）值：a b

ac 442

- 2、二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m

? a n

= a

m + n

， （2）n

m n

m

a

a

a

-=÷， （3）( a m ) n = a

m n

（4）( ab ) n = a n ? b n

（5） n n

n b a b a =??

? ?? （6）a 0

= 1 ( a ≠0) （7）n n a a 1=- （8）m

n

m n

a a =

（9）1

n m

m

n

a

a

-

=

2、根式的性质

（1）()n n a a =.

（2）当n 为奇数时，n

n a a =； 当n 为偶数时，,0||,0

n

n a a a a a a ≥?==?

-

3、(01)x y a a a =>≠指数函数定义：一般地把函数且叫做指数函数。

4、指数函数y = a x

(a > 0且a ≠1)的性质：(见表1)

5.指数式与对数式的互化： log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 五、对数与对数函数 1、对数的运算法则：

（1）a b

= N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0 （3）log a a = 1

（4）log a a b = b （5）a log a N = N （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (

N

M ) = log a M -log a N （8）log a N b

= b log a N （9）换底公式：log a N =

a

N b

b l og

l og

（10）推论 log log m

n

a a n

b b m

=

(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).

（11）log a N =

a

N

log

1 （12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…）

2、对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1)的性质：（见表一) 六、幂函数

y x x α

α=定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。 性质：（见表二）

表1 指数函数

()0,1x y a a a =>≠

对数数函数(

)l o g 0,1a y xa a =>≠ 定义域 x R ∈ ()0,x ∈+∞

值域

()0,y ∈+∞

y R ∈

图象

性质

过定点(0,1)

过定点(1,0)

减函数

增函数

减函数

增函数

(,0)(1,)(0,)(0,1)

x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，

(,0)(0,1)(0,)(1,)

x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时，

(0,1)(0,)(1,)(,0)

x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时，

(0,1)(,0)(1,)(0,)

x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，

八. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 九. 函数的零点： 1.定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。即()y f x =的图象与X 轴相交时交点的横坐标。 2.函数零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并有()()0f a f b ?<，那么()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个C 就是零点。 3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度ε）

(1) 确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ?<; (2) 求(),a b 的中点12

a b x +=

(3) 计算1()f x

①若1()0f x =，则1x 就是零点；②若1()()0f a f x ?<，则零点()01,x a x ∈

③若1()()0f x f b ?<，则零点()01,x x b ∈；

（4）判断是否达到精确度ε，若a b ε-<，则零点为a 或b 或(),a b 内任一值。否 则重复（2）到（4）

a b < a b > a b < a b >

表2

幂函数()y x R αα=∈

p q

α=

0α< 01α<< 1α> 1α=

p q 为奇数为奇数

奇函数

p q 为奇数为偶数

p q 为偶数为奇数

偶函数

第一象限性质

减函数

增函数

过定点()11，