金融数学课程论文

一、二叉树模型中的参数估计

1.1 二叉树参数估计算法原理

想要预测股价二叉树，在知道初始值的前提下，还需要知道模型中的的u 和d ，但对于一支只知道对应于日期的股票价格，我们应该进行怎样的数据处理呢？下面通过实证数据对二叉树模型中的参数进行估计。 原理：Hull-White 算法

令2

1

=

p ，并用如下公式计算u 和d: t d u ii t d

u i ?=-?+=+σμ2)(12)

( 我们假设：

k

k k S X S S X S 11011++==，

这里k X 是独立的伯努利随机变量，2

1]/Pr[]/[Pr 11=====--d S S u S S k k k k 则我们可以得出t u ?和t ?2σ的合理估计值为：

∑∑=-=-=-=n

k k k n k k S S n X n U 1

11)1/(1)1(1

其中：

])1/([111

2212

∑=----=n

k k k U n S S n s

U 和2s 是来自实际市场数据n S S S S ，，、、 210的样本均值和样本方差，我们可以

得出u 和σ的估计值为：

t s t U

u ?≈

?≈

σ 则：

t

t d t t u ?-?+=?+?+=σμσμ11

1.2举例应用

我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件1

.

由表可知，001986

.01001986.1=-=U ,010568.0=s ，这个二叉树中所用的t ?和与数据的t ?相同，公式u 和d 可以简化成：

56.550.9914181 1.012554

10==-+==++=S s U d s U u

做4期二叉树图为：

这里的t ?是一天，我们通过选择更大的时间间隔，令7=?t ，即以一周为一个时间段，则有：

56.550.977293)7()7(1 1.033215

)7()7(10==-+==++=S s U d s U u

4期二叉树图变为：

再15=?t 令即以半个月为一个时间段，则有：

1.07072

)15()15(1=++=s U u 988858

.0)15()15(1=-+=s U d 56.550=S

4期二叉树图又变为：

由于该题的t ?可以改变，时间间隔越长，股价“分叉”得更快。

二、 几何布朗运动估计与模拟

2.1几何布朗运动参数估计原理

令)(t S 代表某股票在t 时刻的价格，由以下公式给出S 的模型。 SdB Sdt dS σμ+=

其中，σμ、是常量，B 服从布朗运动，而该方程的解就是几何布朗运动。 即：

])2/(e x p [20t B S S t t σμσ-+=

其中，t B 是均值为0，方差为t 的正态随机变量，由此得到的就是股价的几何布朗运动模型。我们将采用修正的股价模型对欧式看涨期权进行定价，在此之前，要对股价模型进行参数估计，即波动率σ和漂移率μ。

假设我们得到了在一段较长时间[0, T]内的股价数据记录，这段时间由n 个长度相等的子区间t ?组成，再假设我们知道每个子区间末的股价，将股价表示为：

S i ：第i 个子区间末的股价 样本观测值为n+1个； 令U 表示均值，则：

∑=-=n

i i

U

n U 1

1

样本方差用S 2表示，则：

2

1

1

2)()

1(∑=---=n

i i

U U

n S

而U 的观测值的均值为t ?-)2/(2σμ，方差为t ?2σ。 即：

t U ?-=)2/(2σμ

t S ?=22σ 最后算的参数μ和σ为：

t

S U ?+=2

/2μ及t S ?=/σ

而对于t B ，则需要随机产生一系列标准正态分布，通过累加处理获得计算所需要的值。

也可运用对数正态分布模型,即：

2(/2)

0T W T T S S e

σμσ+-=

其中，T W 是一个均值为0，方差为T 的随机正态分布变量，T W 的获取与t B 相仿。

2.2举例应用

我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件2.

计算股价，先随机生成均值为0，方差为n t ?的正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下：

而后将预测值与实际值进行比较，得到：

根据图可直观地看出，预测值的波动率比较大，整个曲线趋势很不平稳，因此需要进行修正；于是，再随机生成均值为0，方差为1的标准正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下：

而后将预测值与实际值进行比较，得到：

由此可以看出，拟合程度还是很好的，可以用来预测未来几期的股票价格。预测未来两个月的股价，结果如下：

三、B-S 模型及多期二叉树的期权定价

3.1.B-S 期权定价公式：

假设有一股票现价为0S ，V 是看涨期权的价格，

无风险利率

股价漂移率

股价波动率到期时间

执行价=====r X μσT

看涨期权V 值可表示为：)()(210d N Xe d N S V rT --= 其中：

2/2

2

1

()[]x x

N x P Z x e dx

d

-

-∞

=≤=

=

21

d dσ

=-

对于欧式看跌期权的价格P，可表示为：

012

()()

rT

P S N d Xe N d

-

=--+-；

3.2举例应用

我选用了2013年11月16日的执行价，而后通过运用BS公式及多期二叉树计算期权价格的方式，将实际值与两方法的预测值进行比较，而后进行分析，详细数据见附件3。

计算结果数据：

再将预测所得数据与实际值进行拟合比较，得到如下图：

从该图主观地看出，三种期权的价格的趋势基本上一致，拟合程度也比较高，

但对来说，BS 的拟合程度更好一点。这样相对来说主观了一点，接着对数据进行再一次的处理分析：

最后算的，多期二叉树的预测误差的方差为：0.162756979，而几何布朗运动的预测误差的方差为：0.15752995 ，由此也可以得出，几何布朗运动拟合程度更好一些。

四、对冲

4.1做题思路

计算对冲，即计算?值，

1()N d ?=，而21d =

，对一

只股票，在一年的时间里，假设我们每周进行一次对冲，那每周相应的对冲值又

该如何计算呢？

在解这个题目时，最重要的计算出0S 的值，在第一周时，0S 为初始价，但到了第二周，0S 有所变动，它的值为：20exp((/2))T T S S W T μμσ=+-，而对于τ，其值等于到期时间周数与总周期数的比值。对于T W ,先产生随机数，而后再将它转换为正态分布随机数。

4.2举例应用

对于附件2里的数据，T=0.51506849,S0=55.56,X=50,sigma=0.20203053, miu=0.724348005，r=0.04, 假设卖出1000股股票，在这样的情况下，实现对冲为：

课程小结：

对于金融数学这门课程，一个多星期的计算机操作，让我惊叹。突然间才发现，这是一门综合性特别强的学科，才明白自己在某些知识点的掌握上拿捏得不是很好，所以做起来还是有一定的挑战性的，可能在学习理论知识的时候，这样的缺陷不是暴露的特别明显。一开始决定编写C语言，是因为自己电脑上安装了这一软件，如果赶不上进度自己可以补一下，最后才发现自己这一举动是那么的正确，因为自己在C这方面学的不扎实，下课后，我还不得不窝在电脑前一次次修改程序，不过看到自己的程序可以完美实现的时候，真的真的特别开心，“废寝忘食”的程序员生活，稍稍体验了一把，才可以懂得他们为什么会有很大的情绪波动。在做这个课程设计的时候，最麻烦的是计算积分与产生正态分布随机变量，这个涉及到了数值计算方法和概率统计的知识，自然，C语言是基础，在计算积分的时候，我运用了复合梯形公式，但在n的取值上遇到了一点问题，不能很好地把握它的取值。在后面进行分析比较时，我运用了统计预测与决策的相关知识。总的来说，这一个星期真的过的特别充实，懂得了时间的概念。但是时间比较紧张，我们要做的内容又比较多，做的还是不够精细。

附录

源程序如下：

欧式看涨期权：

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define N 200

main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v;

float a[N][N+1];

printf("请输入初始价s0:\n");

scanf("%f",&s0);

printf("请输入每期利率i:\n");

scanf("%f",&i);

printf("请输入增长因子u:\n");

scanf("%f",&u);

printf("请输入下降因子d:\n");

scanf("%f",&d);

printf("请输入执行价X:\n");

scanf("%f",&X);

printf("请输入期数n:\n");

scanf("%d",&n);

r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d);

p=1-q;

printf("股价二叉树为:\n");

for(k=0;k<=n;k++)

{

for(j=1;j<=k+1;j++)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,k-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

printf("%.6lf ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("期权二叉树为:\n");

{

for(j=n+1;j>=1;j--)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,n-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]>X)

a[n][j]=a[n][j]-X;

else

a[n][j]=0;

printf("%f ",a[n][j]);

}

printf("\n");

for(k=n-1;k>=0;k--)

{

for(j=k+1;j>=1;j--)

{

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]);

printf("%.6lf ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("欧式看涨期权定价为: ");

printf("%f \n",a[0][1]);

}

}

欧式看跌期权:

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define N 200

main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t, w,v;

float a[N][N+1];

printf("请输入初始价s0:\n");

scanf("%f",&s0);

printf("请输入每期利率i:\n");

scanf("%f",&i);

printf("请输入增长因子u:\n");

scanf("%f",&u);

printf("请输入下降因子d:\n");

scanf("%f",&d);

printf("请输入执行价X:\n");

scanf("%f",&X);

printf("请输入期数n:\n");

scanf("%d",&n);

r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d);

p=1-q;

printf("股价二叉树为:\n");

for(k=0;k<=n;k++)

{

for(j=1;j<=k+1;j++)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,k-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("期权二叉树为:\n");

{

for(j=n+1;j>=1;j--)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,n-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]

a[n][j]=X-a[n][j];

else

a[n][j]=0;

printf("%f ",a[n][j]);

}

printf("\n");

for(k=n-1;k>=0;k--)

{

for(j=k+1;j>=1;j--)

{

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]);

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("欧式看跌期权定价为: ");

printf("%f \n",a[0][1]);

}

}

欧式向上敲出障碍看跌期权：

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define N 200

main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;

float a[N][N+1];

printf("请输入初始价s0:\n");

scanf("%f",&s0);

printf("请输入每期利率i:\n");

scanf("%f",&i);

printf("请输入增长因子u:\n");

scanf("%f",&u);

printf("请输入下降因子d:\n");

scanf("%f",&d);

printf("请输入执行价X:\n");

scanf("%f",&X);

printf("请输入期数n:\n");

scanf("%d",&n);

printf("请输入向上敲出障碍期权Q:\n");

scanf("%f",&Q);

r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d);

p=1-q;

printf("股价二叉树为:\n");

for(k=0;k<=n;k++)

{

for(j=1;j<=k+1;j++)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,k-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("期权二叉树为:\n");

{

for(j=n+1;j>=1;j--)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,n-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]

a[n][j]=X-a[n][j];

else

a[n][j]=0;

printf("%f ",a[n][j]);

}

printf("\n");

for(k=n-1;k>=0;k--)

{

for(j=k+1;j>=1;j--)

{

if(a[k][j]

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]);

else

a[k][j]=0;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("欧式向上敲出障碍看跌期权定价为: ");

printf("%f \n",a[0][1]);

}

}

欧式向上敲出障碍看涨期权：

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define N 200

main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;

float a[N][N+1];

printf("请输入初始价s0:\n");

scanf("%f",&s0);

printf("请输入每期利率i:\n");

scanf("%f",&i);

printf("请输入增长因子u:\n");

scanf("%f",&u);

printf("请输入下降因子d:\n");

scanf("%f",&d);

printf("请输入执行价X:\n");

scanf("%f",&X);

printf("请输入期数n:\n");

scanf("%d",&n);

printf("请输入向上敲出障碍期权Q:\n");

scanf("%f",&Q);

r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d);

p=1-q;

printf("股价二叉树为:\n");

for(k=0;k<=n;k++)

{

for(j=1;j<=k+1;j++)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,k-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("期权二叉树为:\n");

{

for(j=n+1;j>=1;j--)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,n-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]>X&&a[n][j]

a[n][j]=a[n][j]-X;

else

a[n][j]=0;

printf("%f ",a[n][j]);

}

printf("\n");

for(k=n-1;k>=0;k--)

{

for(j=k+1;j>=1;j--)

{

if(a[k][j]

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]);

else

a[k][j]=0;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("欧式向上敲出障碍看涨期权定价为: ");

printf("%f \n",a[0][1]);

}

}

欧式向下敲出障碍看跌期权：

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define N 200

main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;

float a[N][N+1];

printf("请输入初始价s0:\n");

scanf("%f",&s0);

printf("请输入每期利率i:\n");

scanf("%f",&i);

printf("请输入增长因子u:\n");

scanf("%f",&u);

printf("请输入下降因子d:\n");

scanf("%f",&d);

printf("请输入执行价X:\n");

printf("请输入期数n:\n");

scanf("%d",&n);

printf("请输入向下敲出障碍期权Q:\n"); scanf("%f",&Q);

r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d);

p=1-q;

printf("股价二叉树为:\n");

for(k=0;k<=n;k++)

{

for(j=1;j<=k+1;j++)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,k-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("期权二叉树为:\n");

{

for(j=n+1;j>=1;j--)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,n-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]Q)

a[n][j]=X-a[n][j];

else

a[n][j]=0;

printf("%f ",a[n][j]);

}

printf("\n");

for(k=n-1;k>=0;k--)

{

for(j=k+1;j>=1;j--)

{

if(a[k][j]>Q)

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]);

else

a[k][j]=0;

printf("%f ",a[k][j]);

}

}

printf("欧式向下敲出障碍看跌期权定价为: ");

printf("%f \n",a[0][1]);

}

}

欧式向下敲出障碍看涨期权：

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define N 200

main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;

float a[N][N+1];

printf("请输入初始价s0:\n");

scanf("%f",&s0);

printf("请输入每期利率i:\n");

scanf("%f",&i);

printf("请输入增长因子u:\n");

scanf("%f",&u);

printf("请输入下降因子d:\n");

scanf("%f",&d);

printf("请输入执行价X:\n");

scanf("%f",&X);

printf("请输入期数n:\n");

scanf("%d",&n);

printf("请输入向下敲出障碍期权Q:\n");

scanf("%f",&Q);

r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d);

p=1-q;

printf("股价二叉树为:\n");

for(k=0;k<=n;k++)

{

for(j=1;j<=k+1;j++)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,k-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("期权二叉树为:\n");

{

for(j=n+1;j>=1;j--)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,n-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]>X&&a[n][j]>Q)

a[n][j]=a[n][j]-X;

else

a[n][j]=0;

printf("%f ",a[n][j]);

}

printf("\n");

for(k=n-1;k>=0;k--)

{

for(j=k+1;j>=1;j--)

{

if(a[k][j]>Q)

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]);

else

a[k][j]=0;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("欧式向下敲出障碍看涨期权定价为: ");

printf("%f \n",a[0][1]);

}

}

美式看跌期权：

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#define N 100

main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,T;

float a[N][N+1];

printf("请输入初始价s0:\n");

scanf("%f",&s0);

printf("请输入每期利率i:\n");

scanf("%f",&i);

printf("请输入增长因子u:\n");

scanf("%f",&u);

printf("请输入下降因子d:\n");

scanf("%f",&d);

printf("请输入执行价X:\n");

scanf("%f",&X);

printf("请输入期数n:\n");

scanf("%d",&n);

r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d);

p=1-q;

printf("股价二叉树为:\n");

for(k=0;k<=n;k++)

{

for(j=1;j<=k+1;j++)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,k-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

printf("%f ",a[k][j]);

}

printf("\n");

}

printf("期权二叉树为:\n");

{

for(j=n+1;j>=1;j--)

{

w=pow(u,j-1);

v=pow(d,n-j+1);

a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]

a[n][j]=X-a[n][j];

else

a[n][j]=0;

printf("%f ",a[n][j]);

}

printf("\n");

for(k=n-1;k>=0;k--)

{

for(j=k+1;j>=1;j--)

{

T=X-a[k][j];

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]);