2009届高考数学快速提升成绩题型训练——不等式
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——不等式
1. 已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时
n
m n f m f ++)
()(＞0
(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x +21)＜f (
1
1
-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围
2 设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ?［1，4］，求实数a 的取值范围
3. 解关于x 的不等式2
)
1(--x x a ＞1(a ≠1)
4. 设函数f (x )=a x 满足条件 当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等
式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围
5. ）
，的解集是的不等式，关于且已知0(110-∞>≠>x a x a a ，求关于的x 不等式0)1
(log >-x
x a 的解集。
6. 解关于)0(1
1
)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式
。
7.已知。，，11222=++=++>>c b a c b a c b a
求证：（1）341<
+
8
22<+
8.某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件。假若定价上涨
)10010
≤ x x ，成即成（注：，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来 的z 倍。 （1） 若来表示当售货金额最大 的常数，用是满足，其中a a a ax y 13 1 <≤=时的x 值； （2） 若x y 3 2 = ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围。 9.已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，。 （1） 求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么； （2） 判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论； （3） 解不等式)2()11(lg )2()11(lg -+-+≥++-f x x f f x x f 。 10.奇函数)0[)(∞+，，且在的定义域为R x f 上是增函数，当2 0π θ≤ ≤时，是否存 在实数m ，使)0()cos 24()32(cos f m m f f >-+-θθ对所有的]2 0[π θ，∈均成立？ 若存在，求出适合条件的所有实数m ；若不存在，说明理由。 11. 设数列{}n a 满足),3,2,1(1 ,211 =+ ==+n a a a a n n n （Ⅰ） 证明：12+>n a n 对一切正整数n 成立； （Ⅱ）令),3,2,1( ==n n a b n n 判断n b 与1+n b 的大小，并说明理由. 12. 设,23)(2c bx ax x f ++=使0=++c b a ,0)1(,0)0(>>f f ，求证： (Ⅰ)a ＞0且-2＜ b a ＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 13. 已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足: 1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<== 证明:（Ⅰ）101n n a a +<<<;(Ⅱ)311 6 n n a a +<. 14. 已知函数1 2 )(++= x x x f ,数列{}n a 满足:11=a ,),3,2,1(),(1 ==+n a f a n n (1)证明:数列{} 2-n a 是单调递减数列. （2）证明：.2 222221< -++-+-n a a a 15. 若关于x 的不等式6|2|<+ax 的解集是)2,1(-，求不等式12 ≤+ax x 的解集 16.设n x x x x ,,,,321 都是正实数,求证: .2112 21322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 17、设1,0≠>a a ，解关于x 的不等式 2log )(log 2+ 18.过点)1,2(P 作直线l 交y x ,正半轴于B A ,两点. (1)若PB PA ?取到最小值,求直线l 的方程 (2)若OAB ?的面积取到最小值,求直线l 的方程 19.设函数,lg )(x x f =正实数b a ,满足)2 ( 2)()(b a f b f a f +==，且b a < （1）求证：0)1)(1(>--b a ; （2）求证：3422<- 20.已知函数1 3 )(++= x x x f ,数列{}n a 满足:11=a ,),3,2,1(),(1 ==+n a f a n n (1)设3-=n n a b 证明:n n b b <+1 （2）证明：n b b b +++ 21<13+ 21. （1）设a>0，b>0且b a ≠，试比较a a b b 与a b b a 的大小。 （2）已知函数()b ax x x f ++=2，1=+q p ，试比较()()y qf x pf +与()qy px f +的大小． 22. 已知实数a,b,c 满足条件：012=++++m c m b m a ，其中m 是正数，对于f(x)=ax 2+bx+c (1)如果0≠a ，证明：01 ? ??+?m m f a (2)如果0≠a ，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。 23. 已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤- 和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤. 24. 己知2)(,0bx ax x f a -=>函数， （1）();2,10b a x f R x b ≤≤∈>证明：都有时，若对任意当 （2）时当1>b ，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （3）时，当10≤ 25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 答案： 1. (1)证明 任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－ x 2)= 2 121) ()(x x x f x f --+·(x 1－x 2) ∵－1≤x 1＜x 2≤1， ∴x 1+(－x 2)≠0，由已知 2 121) ()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数 (2)解 ∵f (x )在［－1，1］上为增函数， ∴??? ? ? ? ??? -<+≤-≤ -≤+≤-112111111211x x x x 解得 {x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解 由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1， 故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1， 所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立， 故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0， 只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0， 解得，t ≤－2或t =0或t ≥2 ∴t 的取值范围是 {t |t ≤－2或t =0或t ≥2} 2. 解 M ?［1，4］有两种情况 其一是M =?，此时Δ＜0；其二是M ≠ ?，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围 设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =??［1，4］ (2)当Δ=0时，a =－1或2 当a =－1时M ={－1}?［1，4］；当a =2时，m ={2}?［1，4］ (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2 设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2， 那么M =［x 1，x 2］，M ?［1，4］?1≤x 1＜x 2≤4? ? ?>?≤≤>>?0,410 )4(,0)1(且且a f f 即???? ???>-<>>->+-2 10 71803a a a a a 或，解得 2＜a ＜718， ∴M ?［1，4］时，a 的取值范围是(－1，7 18 ) 3. 解 原不等式可化为 2) 2()1(--+-x a x a ＞0， ①当a ＞1时，原不等式与(x －1 2 --a a )(x －2)＞0同解 由于 21 11211 a a a -=-<<-- ∴原不等式的解为(－∞， 1 2 --a a )∪(2，+∞) ②当a ＜1时，原不等式与(x －1 2 --a a )(x －2) ＜0同解 由于 21 111 a a a -=---, 若a ＜0，211211 a a a -=-<--,解集为(12 --a a ，2)； 若a =0时， 21 1211a a a -=-=--，解集为?； 若0＜a ＜1，211211 a a a -=->--,解集为(2，12 --a a ) 综上所述 当a ＞1时解集为(－∞， 1 2 --a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为?；当a ＜0时，解集为(1 2 --a a ，2） 4. 解 由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成 立 ?????+<-+-+<-?2 11132 2 m x mx x mx mx 在x ∈(0，1]恒成立 整理，当x ∈(0，1)时，?????+<--<1 )1(122 2 x x m x x 恒成立， 即当x ∈(0，1]时，??? ????-+>-<11212 2x x m x x m 恒成立， 且x =1时，?????+<--<1 )1(122 2 x x m x mx 恒成立， ∵2 1 21212-=-x x x 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212 -恒成立?m ＜0 又∵21 12 )1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数，∴112-+x x ＜－1 ∴m ＞1 1 2-+x x 恒成立?m ＞－1 当x ∈(0，1)时，??? ????-+>-<11212 2x x m x x m 恒成立?m ∈(－1，0) ① 当x =1时，?????+<--<1 )1(122 2 x x m x mx ，即是???<<100m ∴m ＜0 ② ∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时， f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0) 5.解集为)2 5 11()2511(+--，， 6、①若)25 1()2511(2150∞++--+< <，，，则原不等式的解集为 a a ； ②若)2 5 1(215∞+++= ，，则原不等式的解集为a ； ③若)2 5 1()1251(215∞++--+> ，，，则原不等式的解集为 a a 。 7.证明：（1）11222=++-==+c b a t c t b a 。又，则令， 。 ，得34 0043)2( 2222)1(1212)(122 22 22 2222<<<-∴+?<=---=--=-+-=+∴t t t b a ab t t t ab t c ab b a c b a 011222=++=++=++ca bc ab c b a c b a 可得，及又由， 。 ，即，从而，即， ，与前面矛盾，故，则，若而3 4 1341101000<+<<<>∴<-<>++≥>>b a t t t c ca bc ab c c b a （2）首先易证， ，令m b a b a b a =++<+222 22 2 。， 。又，，而。又，则19 8 119 8 )21(101212122222<+<∴<-=>?-<-∴<=-->∴<-b a c m m m m c c m m c m c 8.解：该商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是 元，件，元，npz y n x p )10 1()101(-+因而有： 。值最大，这时应有要要使售货金额最大，只。 ，由于的条件下，在a a x z a a a a a a a x a z ax y y x z y n x p npz ) 1(510)1(50131})1(25100])1(5[{1001)10)(10(100 1 )101()101(2 2-= ≤-<∴<≤-++---==-+=?-?+ = （2）。解得：由501)3 210)(10(1001<<>-+=x x x z 9. （1） 证明：当， ，，且时，)()()()(0a f b f b f a f a b b a b a -≥-≥∴-≥-≥≥+ 。)()()()(b f a f b f a f -+-≥+∴ （2）（1）中命题的逆命题为：0)()()()(≥+?-+-≥+b a b f a f b f a f ① ①的逆否命题是：)()()()(0b f a f b f a f b a -+-<+?<+ ② 仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1） 中命题的逆命题成立。 （2） 根据（2），所解不等式等价于 101 9910211lg ≤<-≥++-x x x ，解得。 10.解：易知0)0()(=f R x f 上递增，且在， )2c o s 24()32(c o s >-+-θθm m f f 22cos cos 4cos 232cos ) 4cos 2()32(cos )cos 24()32(cos 2>-+-?->-?->-?-->-?m m m m m m f f m m f f θθθθθθθθ 。 故或或恒成立，从而 上，不等式，。由题设，在，则令224022112 022020)22(4022]10[10cos 2 2->?????>-+->?????>-<<--=?>-+-≤≤=m m m m m m m m m mt t t t θ 因此，满足条件的实数m 存在，它可取)224(∞+-，内的一切值。 11. 解析：（Ⅰ）证法一： ①当1=n 时，11221+?>=a 不等式成立， ②假设k n =时，12+>k a k 成立 当1+=k n 时， 212 2 21++ =+k k k a a a 2 132k a k + +>1)1(2++>k 1+=∴k n 时，1)1(21++>+k a k 成立 由①②可知，12+>n a n 对一切正整数n 成立. 证法二：由递推公式可得 1 22 12 12--+ +=n n n a a a 2 2 2 22112---+ +=n n n a a a … 1 22 12 212a a a + += 上述各式相加并化简得 + + -+=2 1 2 121)1(2a n a a n 2 2 2 11n a a + + 122222+>-+>n n 又1=n 时，12+>n a n 成立，故12+>n a n （Ⅱ）解法一： 1 111211+???? ??+=+=++n n a n a n a b b n n n n n 1 )12()1(211211+++=+? ?? ?? ++ 2 141 )21(1 2) 1(22<+ - += ++= n n n n n 故.1n n b b <+ 解法二：n a a a n n a n a b b n n n n n n n 222 2 212 2 121111-???? ??+++=-+=-++ ??? ??+-+++ ? ??-++=n n n n n a a n n n 1212121112112 20112111 21n n b b <+.因此.1n n b b <+ 12. 解析：(Ⅰ)因为0)1(,0)0(>>f f ,所以.023,0>++>c b a c 又0=++c b a ,消去b ,得0>>c a , 由0=++c b a 消去c ,得02,0>+<+b a b a 所以.12-<< -a b (Ⅱ)抛物线c bx ax x f ++=23)(2 的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 33,32 又.12-<< -a b 两边乘以31 -得 3 2331<->f f 而,03)3(22<-+- =-a ac c a a b f 所以方程0)(=x f 在区间)3,0(a b - 与)1,3(a b -内分别有一实根,即方程 0)(=x f 在)1,0(有两个实根 13. 解析：（Ⅰ）先用数学归纳法证明.,3,2,1,10 =< ②假设当k n =时,结论成立,即10< 因为10< 由①②可知10< 又因为10< 综上所述101n n a a +<<<. (Ⅱ)设函数.10,6 1sin )(3 <<+ -=x x x x x g 由（Ⅰ）知当10< 从而02 )2(222sin 221cos )('22222=+->+-=+-=x x x x x x x g . 所以)(x g 在)1,0(上是增函数,又)(x g 在]1,0[上连续,且0)0(=g . 所以当10< 即061sin 3>+-n n n a a a ,故.6 13 1n n a a <+ 14. 解析：本题以函数、数列为载体，考查不等式证明的基本方法，在证明的过程中，要对所证的不等式适当变形、合理放缩. (1)证明:由题意得21 2 2)(21-++= -=-+n n n n a a a f a 21 ) 12(1222-?+-=+--+= n n n n n a a a a a )0(>n a 22)12(-<--=n n a a ∴221-<-+n n a a 所以数列{} 2-n a 是单调递减数列 （2）证明：由(1)的证明过程可知， n n n n n a a a a )12(2)12(2)12(2)12(211221-=--<<--<--<---- 所以n n a a a )12()12()12(222221-++-+-≤-++-+- ] )12(1[2 212)12(1] )12(1)[12(n n ----= -----= 2 2 2 212=--< 故.2 222221< -++-+-n a a a 15.解：由不等式6|2|<+ax 的解集是)2,1(-得 2,1-是方程62=+ax 的两个根，故|22|2+=+-a a 又0≠a 所以222+=-a a 4-=a 不等式 12≤+ax x 即12 4≤+-x x 02425≤+--x x 5 2<∴x 或21 >x 所以不等式 12≤+ax x 的解集是),2 1 ()52,(+∞-∞ . 16、证明：因为n x x x x ,,,,321 都是正实数， 1112 12123322 122212,2,,2,2x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n ≥+≥+≥+≥+-- 上述各式相加，得： )(2)()(2112112 21322221n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x +++≥+++++++++-- ∴.2112 2 132 222 1n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 17、解：设t x a =log 则原不等式化为 221<-+t t ①当21- 3-<<-t ②当021<≤-t 时，,221<++t t ,31 1 <≤-t ③当0≥t 时，1,221<<-+t t t 所以10<≤t 综上所述：13<<-t 即 1log 3<<-x a ⑴当1>a 时，由1log 3<<-x a 得 ,1 3 a x a << （2）当10< a 得.1 3a x a < < 所以，当1>a 时，原不等式的解集是? ?? ???< 当1>a 时，原不等式的解集是???? ?? <<31|a x a x 18、解：设直线l 的方程为：)2(1-=-x k y 则)21,0(),0,1 2(k B k A --，)0( （1）k k OB OA S OAB 211 22121--== ? 4)]1 ()4(4[21)1()4(421≥-+-+=-+-+= k k k k 当且仅当,14k k -=-且0 1 -=k 时取等号. 此时，直线l 的方程是：,22 1 +-=x y )042(=-+y x （2） () ) 1(48441144,1)1 (22222 2k k k k PB PA k PB k PA ++=+??? ? ??+=?+=+= 4≥ 当且仅当2 21 k k = 且0 19、证明：（1）由)()(b f a f =得b a lg lg = b a b a lg lg ,0≠∴<< ，b a lg lg -=，得1=ab b a <<0 ，所以0)1)(1(>--b a （2）由)2( 2)(b a f b f +=得2 lg 2lg b a b += 02lg ,12>+∴=>+b a ab b a 2lg lg b a b +=∴，得2 )2 (b a b +=， 所以224222+=+=-a ab a b b ，又10102<<∴< 3422<-<∴b b 20、证明：（1）因为1 3 )(++= x x x f ,数列{}n a 满足:11=a ,),3,2,1(),(1 ==+n a f a n n 所以1 ) 3)(13(313311+--=-++= -=++n n n n n n a a a a a b = 31 1 3-+-n n a a 33)13(-<-- <-=3n n a b n n n b b )13()13()13(21-<<-<--- 所以n n b b b )13()13()13(221-++-+-<+++ 3 213) 13(1] )13(1)[13(--< -----= n 13+= 即n b b b +++ 21<13+ 21. 解：(1)根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。 b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( 当a>b>0时， 0,1>->b a b a ,则1)(>-b a b a ，于是a a b b >a b b a 当b>a>0时，0,1<--b a b a ，于是a a b b >a b b a 综上所述，对于不相等的正数a,b ，都有a a b b >a b b a 解(2)作差()()y qf x pf +—()qy px f +=()() b ay y q b ax x p +++++22()2 qy px +- ()b qy px a -+-()()pqxy y q q x p p 21122--+-=()()()2 2 1y x p p y x pq --=-= ()1∴当y x =时，()()012 =--y x p p 得()()y qf x pf +=()qy px f +。 （2）当y x ≠时，()02>-y x ∴①当0,1==o rp p 时，()()012 =--y x p p 得 ()()y qf x pf +=()qy px f +。②当10< >--y x p p 得 ()()y qf x pf +>()qy px f +。③当01<>orp p 时，()()012 <--y x p p 得 ()()y qf x pf +<()qy px f +。 综上所述：当y x =或0,1==orp p 时()()y qf x pf +=()qy px f +。当y x ≠且 10< ()qy px f +。当y x ≠且01<>orp p 时 ()()y qf x pf +<()qy px f +。 22. 解：（1）()()()()21211111122 2 2 2++-=?? ????+-+=??????++++=???? ????+??? ??++??? ??+=??? ??+?m m m a m a m am am m c m b m am am c m m b m m a a m m f a 所以01 ? ??+?m m f a （2）由于f(0)=c,f(1)=a+b+c,当a>0时, 因为01 ??+?m m f a ,所以 01 ? ??+m m f 若c>0,,f(0)=c>0,所以方程f(x)=0在??? ?? +1,0m m 内有解,若c ≤0, ()()02211>-+= +??? ??+--++=++=m c m a c m a m c m a c b a f 所以方程在?? ? ??+1,1m m 内有解 当a<0时,同理可证 故0≠a 时,方程f(x)=0在(0,1)内有解 23. 证 法 一 ： （ I ） 任 取 则由,,,2121x x R x x ≠? )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ 和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ② 可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-?-≤--≤-λ， 从而 1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知 .0)]()()[()(00000200矛盾=--≤- ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得 （II ）由)(a f a b λ-= ③ 可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ 202))(1(a a --=λ （III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-= 22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-= 22)]([)]()([2)(a f a f b f a b a b +--?--≤λ （用②式） 222)]([)]()()[(2 )]([a f a f b f a b a f +---=λ λ 2222)]([)(2 )([a f a b a f +-??- ≤λλ λ （用①式） 2 2 22222)] ()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-= 证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数λ,,,,,,,2100x x x b a b a 以及它们的抽象函数值(*)f 。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元”——把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。 题设中两个主要条件是关于21x x -与)()(21x f x f -的齐次式。而点 ))(,(11x f x 、))(,(22x f x 是函数图象上的两个点，2121/)()(x x x f x f --是连接这两点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。 设21,x x 为不相等的两实数，则0||,0)(21221>->-x x x x 由题设条件可得： 2121)()(0x x x f x f --< <λ和1|) ()(|2 121≤--x x x f x f 。 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 1.（2018?卷Ⅱ）设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围 2.（2013?辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1 （1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集； （2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 4.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 5.（2017?新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分） （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 6.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 7.（2018?卷Ⅰ）已知 （1）当时，求不等式的解集 （2）若时，不等式成立，求的取值范围 8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 10.（2014?新课标II）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）． （1）证明：f（x）≥2； （2）若f（3）＜5，求a的取值范围． 11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．（1）求的值； 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 2012高考真题分类汇编：不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即12 1 <<-x 或1=x ，所以不等式的解为12 1 ≤<- x ，选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b B.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b C.若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a -2a=a b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其 余选项用同样方法排除．故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ， 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ，目标函数为300400Z x y =+， 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 2015-2019高考数学全国卷真题（不等式选讲） 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ．证明： （1）22211 1 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像； (2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f ． （1）求不等式1)(≥x f 的解集； （2）若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围． 第45炼 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12 111n n n H a a a = ++ + （2 ）几何平均数：n G = （3）代数平均数：12n n a a a A n ++ + = （4）平方平均数： n Q = 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a === 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b + ≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 3y x x =+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两 个 2x ，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如3 02 x << ，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求 m n x y +的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求 32 x y +的最小值 解： ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值 解：()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y += 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< 题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－ 1，1］，m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x + 21)＜f (1 1-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 21∈［－1，1］，1 1-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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